专题03 有理数压轴题数轴上的动点问题分类训练（7种类型70道）-2024-2025学年七年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版2024）

专题03 有理数压轴题数轴上的动点问题分类训练 （7种类型70道） 专题目录 【类型1 定值问题】 1 【类型2 求速度】 5 【类型3 变速问题】 9 【类型4 求t值】 13 【类型5 存在性问题】 17 【类型6 最值问题】 20 【类型7 动点重合问题】 24 【类型1 定值问题】 1．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 2．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）    (1)求此时刻快车头与慢车头之间相距 单位长度； (2)从此时刻开始，若快车以个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 秒两列火车的车头、相距个单位长度； (3)在（）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），则这段时间是 秒，定值是 单位长度． 3．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 4．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 5．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 6．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 7．解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 8．数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点之间的距离记作或．例如：当，时，点之间的距离|；当，时，点之间的距离；当，时，点之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离或．如图，数轴上点分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是______，点表示的数是______，点，之间的距离______（用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 9．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，与互为相反数．线段在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M，N分别为的中点． (1)求的长； (2)当等于2时，判断的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由； (3)设，线段运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段从开始运动到完全通过线段的时间为___________（用含m的式子表示） 10．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 【类型2 求速度】 11．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 12．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 13．如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 14．如图，在一条数轴上从左至右取，，三点，使得，到原点的距离相等，且到的距离为4个单位长度， 到的距离为8个单位长度． （1）在数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ，点表示的数是 ． （2）在数轴上，甲从点出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点出发也向右做匀速运动． ①若甲恰好在点追上乙，求乙的运动速度． ②若丙从点出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲､乙､丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度． 15．已知，在数轴上分别表示，．    对照数轴填写表格： ，两点的距离 若，两点间的距离记为，试问和，有何数量关系； 求出数轴上到和的距离之和为的所有整数的和； 若点表示的数为，当点在什么位置时，取得的值最小． 动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动．运动到秒时，两点相距个单位长度．已知动点，的速度之比是（速度单位：个单位长度/秒）．求两个动点运动的速度． 16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40． 【综合运用】（1）点B表示的数是__________． （2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离． （3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； （4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．    17．如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数a（a＜﹣2），点O对应0，点C对应3，AB=2（AB表示点A到点B的距离）． （1）填空：点C到原点O的距离　 　，：点B对应的数　 　．（用含有a的式子） （2）如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点O和点C，若BC=5，求a的值和点A在刻度尺上对应的刻度． （3）如图3，在（2）的条件下，点A以1单位长度/秒的速度向右运动，同时点C向左运动，若运动3秒时，点A和点C到原点D的距离相等，求点C的运动速度． 18．如图，射线OM上有三点A、B、C，OC=45cm, BC=15cm, AB=30cm，已知动点P、Q同时运动，其中动点P从点O出发沿OM方向以速度2cm/s匀速运动，动点Q从点C出发沿CA方向匀速运动，当点Q运动到点A时，点Q停止运动（点P继续运动）.设运动时间为t秒. （1）求点P运动到点B所用的时间； （2）若点Q运动速度为每秒1cm，经过多少秒时，点P和点Q的距离为30cm； （3）当PA=2PB时，点Q恰好在线段AB的三等分点的位置，求点Q的速度. 19．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）    (1)求点运动的速度； (2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来； (3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度． 20．数轴上有不同两点，，点表示的数为，点表示的数为．    (1)若点表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点与点之间的距离为6，且点在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，在数轴上有两动点，，若动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，经过2秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过6秒相遇，求点与点的运动速度． 【类型3 变速问题】 21．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 22．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 23．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 24．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 25．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 26．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 27．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 28．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．      29．已知，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,且a,b满足. （1）点A表示的数为________，点B表示的数为________； （2）设点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．若在数轴上存在一点C，使BC=2AC，则点C表示的数为__________； （3）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒2个单位长度的速度向左运动；同时另一小球乙从点B以每秒2个单位长度的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来速度的两倍向相反的方向运动.设运动的时间为t秒，请用含t的代数式分别表示出甲、乙两小球到原点的距离. 30．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【类型4 求t值】 31．如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 32．已知是最大的负整数，、满足，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度． （1）点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； （2）运动1秒时，点、两点之间的距离为______个单位长度，点、两点之间的距离为______个单位长度；运动秒时，点表示的数字是______，点表示的数字是______（含的式子表示） （3）运动秒时点、两点之间的距离等于点、两点之间的距离，求值． 33．如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足． （1）求的值； （2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合； （3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为 ①当时，求点表示的有理数； ②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 34．在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 35．已知数轴上有A、B两个点． （1）如图1，若AB=a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且，则AC=　 　，CB=　 　，MC=　 　（用含a的代数式表示）； （2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20． ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB=3BN． ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值． 36．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 37．如图，线段 AB=24，动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 AB运动，运动时间为 t 秒（t>0），M 为 AP 的中点. （1）当点 P 在线段 AB 上运动时， ①当 t 为多少时，PB=2AM？②求2BM-BP的值. （2）当 P 在 AB 延长线上运动时，N 为 BP 的中点，说明线段 MN 的长度不变，并 求出其值. （3）在 P 点的运动过程中，是否存在这样的 t 的值，使 M、N、B 三点中的一个点 是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出 t 的值；若没有，请说明理 由. 38．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 39．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 40．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒． (1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）； (2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值； (3)当线段的长为7时，直接写出t的值． 【类型5 存在性问题】 41．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 42．已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 43．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 44．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 45．点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长； (2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 46．如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．    (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 47．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 48．如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点的右侧，且到点的距离是18；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍． (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为8？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数：若不存在，请说明理由． 49．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　． (2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为　　． (3)同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣5|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (5)数轴上是否存在一个点P到-2和1的距离之和是6的点？若存在请写出这个点P所对应的数． 50．在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示的数为． (1)在图中画出当时，点A关于点B的“伴侣点”P； (2)当点P表示的数为，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数 ； (3)点A从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒． ①点B表示的数为 （用含t的式子表示）； ②是否存在t，使得此时点A关于点B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【类型6 最值问题】 51．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 52．如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 53．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离表示为．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若，请描述这个式子表示的意义； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； (3)当a为多少时，的值最小，最小值是多少？ 54．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 55．点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 56．点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 57．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    58．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 59．阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 60．点、在数轴上分别表示有理数、，点与原点两点之间的距离表示为，则，类似地，点与原点两点之间的距离表示为，则，点与点两点之间的距离表示为．请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)填空： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和的两点之间距离是3，则有理数是______． (2)求满足的所有整数的和______． (3)已知．求的最大值为______． 【类型7 动点重合问题】 61．如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，．请回答以下问题：    (1)与之间距离为________，，中点对应的数为________． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请思考出所有的移动方法，并直接写出移动后对应的数________． (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为个单位长度？ 62．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 63．已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 64．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 65．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则C点与表示数______的点重合； (3)动点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向移动，当A，B，P中恰有一个点到其余两点的距离相等时（A，B，P三点互不重合），求点P移动的时间t的值． 66．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所对应的数； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数； （3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？ 67．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 68．已知A，B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且，P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A，B的位置，并求出A，B两点之间的距离． （2）若PB表示点P与点B之间的距离，PA表示点P与点A之间的距离，当P点满足时，直接写出点P对应的数． （3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推… ①在这个移动过程中，点P和与A能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． ②写出点P移动第n（n是自然数）次后所对应的数． 69．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 （1）求出秒钟后动点所处的位置； （2）如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 70．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的有理数是　 　，点B表示的有理数是　 　，点C表示的有理数是　 　． （2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动． ①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？ ②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数压轴题数轴上的动点问题分类训练 （7种类型70道） 专题目录 【类型1 定值问题】 1 【类型2 求速度】 17 【类型3 变速问题】 31 【类型4 求t值】 48 【类型5 存在性问题】 64 【类型6 最值问题】 79 【类型7 动点重合问题】 94 【类型1 定值问题】 1．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且．    (1)____________；_____________；线段____________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)运动时间为12秒或1秒 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题， （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，用点B表示的数减去点A表示的数，即可求解； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 由（1）得：，， ∵， ∴， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 2．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）    (1)求此时刻快车头与慢车头之间相距 单位长度； (2)从此时刻开始，若快车以个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶 秒两列火车的车头、相距个单位长度； (3)在（）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），则这段时间是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1)； (2)秒或秒； (3)，． 【分析】()根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； ()根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； ()由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解. 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）； （2）（秒）或（秒）， 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头和相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值，（秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题是解题的关键． 3．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四： 点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 4．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 5．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) 或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 6．我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 7．解答题 【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为 （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有，则的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点，则我们有五等分点公式：点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在定值，为 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，然后根据的中点所对应的数为10，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1） ， ， ， 点N是的中点， 的中点N所对应的数为：， 故答案为：； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为． ， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为 ， ， 当时，，不是定值 当时，，是定值 当时，，不是定值 ∴当时，存在定值，为． 8．数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点之间的距离记作或．例如：当，时，点之间的距离|；当，时，点之间的距离；当，时，点之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离或．如图，数轴上点分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是______，点表示的数是______，点，之间的距离______（用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 【答案】(1)8 (2)①，，②或③当时，为定值；当时，为定值 【分析】（1）直接根据|即可得出答案； （2）①移动过程中点表示的数是，点表示的数是，点，之间的距离，则答案可得；②令，求解即可；③首先求出，然后讨论和的值即可． 【详解】（1）解：根据题意， ． 故答案为：8； （2）①根据题意， 点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动， 故点表示的数是：， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动， 故点表示的数是：， 点，之间的距离． 故答案为：，，； ②根据题意，可得， ∴， ∴或； ③由题意可知，在点，出发的同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，则点的数是：， 所以， ， ， ∵当时，． 当时，； 当时，． ∴当时，，为定值， 当时，，为定值． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值方程以及化简绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解本题的关键． 9．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，与互为相反数．线段在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M，N分别为的中点． (1)求的长； (2)当等于2时，判断的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由； (3)设，线段运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段从开始运动到完全通过线段的时间为___________（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2)的长度是定值，，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据相反数的定义得到，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）设线段的运动速度为个单位长度每秒，运动时间为t秒，在运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为，再根据数轴上两点中点公式表示出M、N，再根据数轴上两点距离公式求出的值即可得到答案； （3）同（2）求出线段的长为，再根据当线段从开始运动到完全通过线段的路程为，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度是定值，，理由如下： 设线段的运动速度为个单位长度每秒，运动时间为t秒， ∴运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为， ∵点M，N分别为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴； （3）解：设线段运动到完全通过线段的时间为t， ∴运动t秒后，点D表示的为，点C表示的数为， ∵点M，N分别为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴ ∵当线段从开始运动到完全通过线段的路程为， ∴当线段从开始运动到完全通过线段的时间为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，数轴上的动点问题，用数轴表示有理数，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 10．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 【答案】(1)2 (2)①2021；②见解析 【分析】（1）根据数轴上两点之间中点的表示方法，直接列式计算即可； （2）①用含a、b的代数式表示AM、BM，根据AM＝2BM列式求出a＋2b＝9即可解决问题； ②分两种情况进行解答，一种是m＜b时，另一种是m＞b时，分别根据AM＝3BM列式整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段的中点对应的数是：， 故答案为：2； （2）①由m＝3，b＞3，且AM＝2BM， 可得3−a＝2（b−3）， 整理得：a＋2b＝9， 所以，a＋2b＋2012＝9＋2012＝2021； ②当a＝−3，且AM＝3BM时，需要分两种情形： Ⅰ：当m＜b时，则m−（−3）＝3（b−m）， 整理得：3b−4m＝3； Ⅱ：当m＞b时，则m−（−3）＝3（m−b）， 整理得：2m−3b＝3； 综上，小明的演算发现并不完整． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，根据数轴上的点表示的数，求两点间的距离和中点所表示的数等，当不知道点所在位置的时候，要注意分情况讨论，避免漏解． 【类型2 求速度】 11．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 12．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，是否存在某个时刻（秒），使得两点的距离为5，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或 (2)的值为2或6； (3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，相反数的意义，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）利用相反数的意义和分类讨论的思想方法解答即可； （2）利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）由题意求得点的运动时间为5秒，运动距离为10，则点的速度可求；设动点的原速为，利用代数式表示出，的长度，利用列出方程解答即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． 设点表示的数为， 点表示的数是，且， ， 或． 故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时， ，． 设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇， ， ． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5， 或， 解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10， 运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：， ， 或． 动点的原速为或． 13．如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)点的速度为或 【分析】（1）根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，再根据两点之间的距离的计算方法即可求解； （2）根据点，点的运动，设运动时间为秒，用含的式子表示点到点的距离，点到点距离，根据题意列式求解即可； （3）根据点的运动关系可以求出点对应的数字，及的值，根据动点运动的规律分别求出点所对应的数字，并表示它们的距离，根据行程问题的数量关系的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：中，，， ∴，解得，；，解得，， ∴、两点之间距离为． （2）解：点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，点对应的数是，点对应的数是， ∴点到点的距离为，点到点距离为， ∴①时，则， ∴，解得，； ②，且，即时， ∴，解得， ③，时， ∴，解得，； 综上所述，点到点的距离是点到点距离的倍时，运动时间为秒或秒． （3）解：点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，设点对应的数是， ∴①点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动， ∴，解得，， ∴点到点的距离为，点到点的距离为， ∵点从点到点的速度为个单位长度/秒， ∴， ∵、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、， ∴点对应的数字是，点对应的数字是， 此时，点从点向右运动，点从点向左运动，且点从点向右运动， ∴①当点运动秒时，点运动的路程为，则此时点对应的数字为， ∵此时点和点的距离为个单位长度， ∴，则或（不符合题意，舍去）， ∴点与点的距离为， ∴点的速度为； ②当点运动秒时，点运动的路程为，则点对应的点的数字是， ∴点从点运动到的路程为， ∴点的速度为； 综上所述，点的速度为或． 【点睛】本题主要考查数轴上动点与距离的综合，掌握数轴上两点之间的距离的表示，动点的运动与数字的对应关系，行程问题的数量关系是解题的关键． 14．如图，在一条数轴上从左至右取，，三点，使得，到原点的距离相等，且到的距离为4个单位长度， 到的距离为8个单位长度． （1）在数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ，点表示的数是 ． （2）在数轴上，甲从点出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点出发也向右做匀速运动． ①若甲恰好在点追上乙，求乙的运动速度． ②若丙从点出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲､乙､丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度． 【答案】（1），2，10；（2）①2；②乙的运动速度为或个单位长度/秒． 【分析】（1）A，B到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，则AB=4，OA=OB=2， 可以得到A表示的数为-2，B表示的数为2，再由 C到B的距离为8个单位长度，得到C表示的数为10； （2）①先求出AC的距离，从而求出甲从A运动到C的时间，即可求出乙的速度； ②分乙与丙未相遇时和乙与丙相遇后两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵A，B到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度， ∴AB=4， ∴OA=OB=2， ∴A表示的数为-2，B表示的数为2， ∵ C到B的距离为8个单位长度， ∴C表示的数为10， 故答案为：，2，10； （2）①∵A表示的数为-2，C表示的数为10， ∴AC=12 ∴甲从A运动到所用的时间为：（秒）， ∴乙的速度为：（个单位长度/秒）． ②甲与丙相遇的时间为：（秒）， 因为甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度， 所以此时乙与丙的运动时间为：（秒）． 设乙的运动速度为个单位长度/秒． 当乙与丙未相遇时，由题意得， 解得； 当乙与丙相遇后，由题意得， 解得． 综上，乙的运动速度为或个单位长度/秒． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15．已知，在数轴上分别表示，．    对照数轴填写表格： ，两点的距离 若，两点间的距离记为，试问和，有何数量关系； 求出数轴上到和的距离之和为的所有整数的和； 若点表示的数为，当点在什么位置时，取得的值最小． 动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动．运动到秒时，两点相距个单位长度．已知动点，的速度之比是（速度单位：个单位长度/秒）．求两个动点运动的速度． 【答案】（1），，；（2）或；（3）0；（4）；（5）动点运动的速度为个单位长度/秒，动点运动的速度为个单位长度/秒． 【分析】（1）根据a和b在数轴上的位置即可直接数出A和B之间的距离； （2）根据d和a、b的大小即可直接得到三者之间的大小关系； （3）到7和-7的距离之和为14的所有整数，就是7和-7之间的所有整数，然后求和； （4）|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到-1和到2的距离的和，据此即可确定； （5）根据路程的和是15个单位长度，速度比是3：2，时间是3秒，即可求得二者的速度． 【详解】解：(1)0－(﹣6)=6；﹣4－（﹣6）=2；2－（﹣10）=12 由可知：或； 要在-7和7之间的整数均满足到7和-7的距离之和为14，有：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7， 所有满足条件的整数之和为：-7+（-6）+（-5）+（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3+4+5+6+7=0； 根据数轴的几何意义可得和之间的任何一点均能使取得的值最小． 故可得：点的范围在：时，能满足题意． 设的速度是个单位长度/秒，的速度是个单位长度/秒． 根据题意得， 解得：． 所以，动点运动的速度为个单位长度/秒，动点运动的速度为个单位长度/秒． 【点睛】此题考查了数轴及数轴上两点间的距离，解答本题的关键是理解数轴上两点距离表示和求法，以及绝对值的几何意义． 16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40． 【综合运用】（1）点B表示的数是__________． （2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离． （3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； （4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．    【答案】（1）－20；（2）100；（3）9个单位长度/秒；（4）PT－MN的值不变，值为30． 【分析】（1）根据AB=60，点A对应的数是40，得出点B对应的数；（2）根据AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（3）假设点R速度为a单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（4）分别表示出PT，MN的值，进而求出PT-MN的值； 【详解】解： （1）∵AB=60，点A对应的数是40， ∴点B对应的数为：40-60=－20； 故答案为-20； （2）∵BC：AC=4：7， ∴BC：AB=4：3， ∵AB=60， ∴BC=80， ∴AC=140， ∵点A对应的数是40， ∴点C对应的数为40-140=-100； ∴C到原点的距离为100； 故答案为100； （3）设R的速度为a个单位长度/秒，则P的速度为3a个单位长度/秒，Q的速度为（2a－5）个单位长度/秒； 由题意得：， 解得：， ， 答：Q的速度为9个单位长度/秒． （4）PT－MN的值不变； 理由如下：设运动时间为t 秒，则P：， T：， M：， O：0， R：， N：， PT， MN， PT－MN； 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握一元一次方程的应用，数轴是解题的关键. 17．如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数a（a＜﹣2），点O对应0，点C对应3，AB=2（AB表示点A到点B的距离）． （1）填空：点C到原点O的距离　 　，：点B对应的数　 　．（用含有a的式子） （2）如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点O和点C，若BC=5，求a的值和点A在刻度尺上对应的刻度． （3）如图3，在（2）的条件下，点A以1单位长度/秒的速度向右运动，同时点C向左运动，若运动3秒时，点A和点C到原点D的距离相等，求点C的运动速度． 【答案】（1）3；a+2；（2）C对应3，点A在刻度尺上对应的刻度为2.4 cm；（3）C的速度是单位长度/秒或单位长度/秒． 【详解】试题分析：（1）根据两点间的距离解答即可； （2）根据两点间的距离解答即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 试题解析：（1）点C到原点O的距离3；点B对应的数a+2； （2）∵AB=2，BC=5，C对应3 ∴a=3﹣7=﹣4， ∵刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点D和点C，又OC=3 ∴（8.7﹣6）÷3=0.9 即个单位长度对应0.9cm， ∵AC=7 ∴点A在刻度尺上对应的刻度 8.7﹣0.9×7=2.4 cm； （3）3秒钟时点A对应﹣1 ①点C与点A关于原点对称 点C的速度单位长度/秒； ②点C与点A重合点C的速度单位长度/秒； 综上点C的速度是单位长度/秒或单位长度/秒． 18．如图，射线OM上有三点A、B、C，OC=45cm, BC=15cm, AB=30cm，已知动点P、Q同时运动，其中动点P从点O出发沿OM方向以速度2cm/s匀速运动，动点Q从点C出发沿CA方向匀速运动，当点Q运动到点A时，点Q停止运动（点P继续运动）.设运动时间为t秒. （1）求点P运动到点B所用的时间； （2）若点Q运动速度为每秒1cm，经过多少秒时，点P和点Q的距离为30cm； （3）当PA=2PB时，点Q恰好在线段AB的三等分点的位置，求点Q的速度. 【答案】(1)30秒;(2)15秒或60秒;(3) . 【分析】(1)算出OB的距离,利用速度公式求出即可. (2)当P在Q右侧或左侧时,分别列出方程解出即可. (3)当P在B的右侧或左侧时,分别列出方程解出即可. 【详解】(1)∵OC=45,BC=15, ∴OB=45+15=60, ∴点P运动到点B所用时间为:60÷2=30(秒) (2)由题意可知:OP=2t,CQ=t, ①当点P在点Q的右侧时,OP+30=CQ+45即2t+30=t+45,解得t=15. ②当点P在点Q的左侧时,OP-30=CQ+45即2t-30=t+45,解得t=75. 75＞45,不符合题意,舍去. ∴PA=30时,OP=45+15+30+30=120. ∴t=120÷2=60. ∴经过15秒或60秒时,点P和点Q的距离是30cm. (3)①当点P在点B的右侧时,OP=2t,PB=15+45-2t=60-2t, PA=30+15+45-2t=90-2t, ∵PA=2PB ∴90-2t=2(60-2t), ∴t=15 ∵点Q运动后的位置是AB的三等分点, ∴BQ=AB=10或BQ=AB=20 ∴点Q的运动速度为:或. ②当点P在点B的左侧时,PA=90-2t,PB=2t-60 ∴90-2t=2(2t-60) ∴t=35 ∴点Q的运动速度为:或. 综上所述,点Q的速度为:. 【点睛】本题考查线段上的动点问题,关键在于分情况讨论,需要满足题意. 19．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）    (1)求点运动的速度； (2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来； (3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度． 【答案】(1)2 (2)；12 (3)5秒或7秒 【分析】（1）运用运动到3秒时，算出A点运动后的位置，再根据两点相距15个单位长度解答即可； （2）根据（1）算出各自的运动路程即可； （3）根据相遇前和相遇后、两点之间相距5个单位长度分类讨论即可； 【详解】（1）运动到3秒时，A点运动到， 因为两点相距15个单位长度，故运动后B点对应的数：， 故B点的速度为：个单位长度/秒； （2）当时， 点运动路程为：个单位长度 ；点运动路程为：个单位长度； 点表示的数为： ，点表示的数为：12；    （3）相遇前、两点之间相距5个单位长度时，； 相遇后、两点之间相距5个单位长度时，； 故问经过5秒或7秒时，两点之间相距5个单位长度． 【点睛】该题主要考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间距离，解题的关键是结合数轴进行分析． 20．数轴上有不同两点，，点表示的数为，点表示的数为．    (1)若点表示的数的相反数是，求点表示的数． (2)若点与点之间的距离为6，且点在点的右侧，求的值． (3)在（1）的条件下，在数轴上有两动点，，若动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，经过2秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过6秒相遇，求点与点的运动速度． 【答案】(1)1 (2)1 (3)； 【分析】（1）根据题意求出点表示的数，再求出的值，即可得到点表示的数； （2）列出一元一次方程求解即可； （3）设点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒，根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数的相反数是， ∴点表示的数是8， 又∵点表示的数为， ∴， 解得：， ∴点表示的数为； （2）解：∵点与点之间的距离为6，且点在点的右侧， 根据题意得，， 解得：； （3）解：在（1）的条件下，点与点之间的距离为7， 设点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒， 根据题意得：， 解得：， ∴点的运动速度为单位长度/秒，点的运动速度为单位长度/秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【类型3 变速问题】 21．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 【答案】(1)，； (2)，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，分别求出动点在、、段的时间即可； （2）根据题意得出两点在段相遇，分别表示出点运动到上时表示的数即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：、、， ∴动点从点运动至点需要：（秒）， 动点从点运动至点需要：（秒）， 故答案为：，； （2）解：∵点到点需要：（秒）， 点到点需要：（秒）， ∴两点在段相遇 点运动到上时表示的数为：； 点运动到上时表示的数为：； ∴ 解得：； 此时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题．掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数的关键． 22．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 23．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 24．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3） ＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0， 解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒． 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 25．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间； （3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 26．已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 27．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 28．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；② (3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可； （2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ， 所以表示的点与表示6的点重合， 故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 可得， 解得： 故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为． 所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 29．已知，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,且a,b满足. （1）点A表示的数为________，点B表示的数为________； （2）设点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．若在数轴上存在一点C，使BC=2AC，则点C表示的数为__________； （3）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒2个单位长度的速度向左运动；同时另一小球乙从点B以每秒2个单位长度的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来速度的两倍向相反的方向运动.设运动的时间为t秒，请用含t的代数式分别表示出甲、乙两小球到原点的距离. 【答案】（1）-2,4（2）0或-8（3）2t+2；4-2t或4t-8 【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=4； （2）根据两点间距离的表示列出绝对值方程，然后求解即可； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤2时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞2时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离； 【详解】（1）由题意得，a+2=0，b-4=0， 解得a=-2，b=4， 所以，点A表示-2，点B表示4； （2）设点C表示x，由题意得，|4-x|=2|-2-x|， 所以，4-x=-2（-2-x）或4-x=2（-2-x）， 解得x=0，或x=-8， 所以，点C表示的数为0或-8； （3）甲：∵小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动， ∴甲到原点的距离为|-2-2t|=2t+2， ∵小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙到达原点的时间为4÷2=2， ∴当0≤t≤2时，小球到原点的距离为4-2t， 当t＞2时小球到原点的距离为4（t-2）=4t-8. 【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 30．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 【类型4 求t值】 31．如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 【答案】(1) (2) (3)的值是或或或 【分析】（1）根据千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向，即可得到答案； （2）根据速度时间路程，计算出小时行走的路程，再减去2即可得到答案； （3）分四种情况：从到，当小明在点的左边时；从到，当小明在C点的右边时；返回时小明在C点的右边；返回时小明在点的左边，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向， 点所表示的有理数是； （2）解： ， 时，点所表示的有理数是； （3）解：从到，当小明在点的左边时，， 从到，当小明在C点的右边时，， 之间的距离是，点所表示的有理数是， 点表示的数为， 当返回时小明在C点的右边时，， 当返回时小明在点的左边时，， 综上所述，当小明距离地时，的值是或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握行程问题中速度、时间和路程的关系是解此题的关键． 32．已知是最大的负整数，、满足，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度． （1）点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； （2）运动1秒时，点、两点之间的距离为______个单位长度，点、两点之间的距离为______个单位长度；运动秒时，点表示的数字是______，点表示的数字是______（含的式子表示） （3）运动秒时点、两点之间的距离等于点、两点之间的距离，求值． 【答案】（1）、、；（2）2，4，，；（3）或 【分析】（1）根据有理数的有关概念，绝对值和平方的非负性，求解即可； （2）根据点的运动方向和运动速度，分别求得1秒时和秒时，点、分别表示的数，即可求解； （3）根据点、表示的数，求得、两点之间的距离和点、两点之间的距离，求解即可． 【详解】解：（1）是最大的负整数，∴ ∵ ∴， 、、分别是点、、在数轴上对应的数 ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 故答案为、、 （2）运动1秒时，点表示的数为0，点表示的数为 则点、两点之间的距离为2个单位长度，点、两点之间的距离为4个单位长度 运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 故答案为2，4，， （3）由（2）得运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 所以，、两点之间的距离为，点、两点之间的距离 由题意可得： 所以，或 解得或 当或秒时，点、两点之间的距离等于点、两点之间的距离 故答案为或 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了绝对值、平方的性质，数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离以及绝对值方程，解题的关键是掌握数轴的有关性质，灵活运用相关性质进行求解． 33．如图：在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足． （1）求的值； （2）若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数_______表示的点重合； （3）点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为 ①当时，求点表示的有理数； ②当点表示的有理数与点的距离为个单位长度时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】（1），，；（2）10；（3）①2, ②2秒、4秒、14秒或16秒． 【分析】（1）根据可得，，从而得出a，c的值，再根据b是最小的正整数，得出b的值即可； （2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与点A重合的数； （3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可； ②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B左侧1个单位时，分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， b是最小的正整数， ∴， ∴，， （2）∵， ∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折， ∴， ∴点A与数10重合， 故答案为：10 （3）∵AC的长度为， ∴当时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒） ∴此时点P表示的数为：7-5=2， ∴当时，点表示的有理数是2 ②当P从A向C运动过程中， 当P在B的左侧1个单位时，P运动时间为2秒； 点P在点B的右侧1个单位时，P运动时间为4秒； 当P由C返回的过程中， 当点P在点B的右侧1个单位时从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒） 当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒） 故答案为：2秒、4秒、14秒或16秒． 【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数轴上数的表示方法． 34．在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8 【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可； （2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可； ②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a 由得， 解得 设线段AB的外相关点表示的数为b 由得， 解得 故答案为：和； （2）①运动时间为t秒 点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧 则 当时，，解得； ②同（1）可得：内相关点M表示的数为 外相关点N表示的数为 由相反数的定义得， 解得 故t的值为1.8. 【点睛】本题考查了数轴的定义、相反数的定义，理解新定义是解题关键. 35．已知数轴上有A、B两个点． （1）如图1，若AB=a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且，则AC=　 　，CB=　 　，MC=　 　（用含a的代数式表示）； （2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20． ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB=3BN． ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值． 【答案】（1）a，a，a；（2）2秒时恰好满足MB=3BN；（3）当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度． 【分析】（1）根据题意中的等量关系用a表示出AC,CB,MC即可； （2）①假设x秒C在B右边时，恰好满足MB=3BN，据此得出方程，求出x的值即可； ②点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30），再分情况推论①当点P移动18秒时，②点Q在点P的右侧，③当点Q在点P的左侧，即可得出结论. 【详解】解：（1）∵AB=a，C为线段AB上的一点，且=， ∴AC=AB=a，CB=AB=a， ∵M是AB的中点， ∴MC=AB﹣AB=a， 故答案为 a， a， a； （2）∵若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20， ∴AB=BC=30， 设x秒时，C在B右边时，恰好满足MB=3BN， ∵BM=（8x+4x+30），BN=（30﹣4x﹣2x）， ∴当MB=3BN时，（8x+4x+30）=3×（30﹣4x﹣2x）， 解得：x=2， ∴2秒时恰好满足MB=3BN； （3）点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30）， ①当点P移动18秒时，点Q没动，此时，PQ两点间的距离恰为18个单位； ②点Q在点P的右侧，∴20﹣3（t﹣30）﹣（20﹣t）=18， 解答：t=36， ③当点Q在点P的左侧，∴20﹣t﹣[20﹣3（t﹣30）]=18， 解答：t=54； 综上所述：当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度． 【点睛】本题考查了两点间的距离与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握两点间的距离与一元一次方程的应用. 36．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5. 【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算 即可； ③分类讨论. 试题解析： 解得： 故答案为 ① 解得： ②AP的中点F表示的数是 OB的中点E表示的数是 所以 所以 ③ 解得： ,解得： 解得： 37．如图，线段 AB=24，动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 AB运动，运动时间为 t 秒（t>0），M 为 AP 的中点. （1）当点 P 在线段 AB 上运动时， ①当 t 为多少时，PB=2AM？②求2BM-BP的值. （2）当 P 在 AB 延长线上运动时，N 为 BP 的中点，说明线段 MN 的长度不变，并 求出其值. （3）在 P 点的运动过程中，是否存在这样的 t 的值，使 M、N、B 三点中的一个点 是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出 t 的值；若没有，请说明理 由. 【答案】（1）①6②24（2）12（3）18或36 【详解】试题分析：（1）①分两种情况讨论：点P在点B左边；点P在点B右边，分别求出t的值即可； ②AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论； （2）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，表示出MN的长度，即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①当P在线段AB上时；②当P在线段AB的延长线上，M在线段AB上时；③当P和M都在线段AB的延长线上时． 试题解析：解：（1）①设出发x秒后PB=2AM，当点P在点B左边时，PA=2x，PB=24﹣2x，AM=x，由题意得：24﹣2x=2x，解得：x=6； 当点P在点B右边时，PA=2x，PB=2x﹣24，AM=x，由题意得：2x﹣24=2x，方程无解． 综上所述：出发6秒后PB=2AM． ②∵AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，∴2BM﹣BP=2（24﹣x）﹣（24﹣2x）=24； （2）∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，∴MN=PM﹣PN=x﹣（x﹣12）=12（定值）； （3）①当P在线段AB上时，如图1，有AP=2t，BP=24-2t，AM=MP=t，PN=NB=12-t，MN=12．若MN=NB，则12=12-t，解得t=0，不合题意，舍去． ②当P在线段AB的延长线上，M在线段AB上时，如图2，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=24-t， PN=NB=t-12．若MB=NB，则24-t=t-12，解得t=18． ③当P和M都在线段AB的延长线上时，如图3，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=t-24， PN=NB=t-12，MN=BN-BM=t-12-（t-24）=12．若MB=MN，则t-24= 12，解得t=36． 综上所述：t=18或36． 点睛：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 38．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 39．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 40．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒． (1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）； (2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值； (3)当线段的长为7时，直接写出t的值． 【答案】(1)4，3 (2) (3)8或9 【分析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可； （2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可； （3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴； 当时，点N表示的数为，点N表示的数为， ∴； 故答案为：4，3； （2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴， 解得； （3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得， 解得，不符合题意； 当点N在点A停留时，由题意得，， 解得，不符合题意； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，， 解得，不符合题意； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，， 解得； 当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【类型5 存在性问题】 41．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 42．已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；22 (2)经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点 (3)存在，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出结果即可； （2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可； （3）设运动的时间为秒，先求出点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，根据得出；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． 故答案是：；22． （2）解：如图1所示：    图1， 的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或， 情形①：， 则运动的时间； 情形②：， 则运动的时间． 因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点． （3）解：存在；    图2 理由：设运动的时间为秒， 点对应的数为， 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 则， ， 由得； ①当时，， 解得：， 此时点对应的数为； ②当时，， 解得且， 此时点对应的数为； ③当时，， 解得且，舍去； 综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程． 43．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4)或5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． （1）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （2）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （3）根据中点坐标公式即可求解； （4）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）x与之间的距离表示为， 故答案为：； （3）． 故点P对应的数是1， 故答案为：1； （4）点P在点A的左边， x的值是； 点P在点B的右边， x的值是． 故x的值是或5． 44．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2  13 (2)1或或 (3)①；②存在，t的值为或 【分析】（1）根据“等腰距离”的定义，即可求解； （2）设点N表示的数为x，分两种情况讨论若M，N两个点表示的数互为相反数；若M，N两个点表示的数不是互为相反数，结合“等腰距离”的定义，即可求解； （3）①先求出当点P运动时，点P，Q表示的数，结合“等腰距离”的定义，即可求解；②根据题意可得P，Q两个点表示的数不是互为相反数，再根据“等腰距离”的定义，可得，解出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A和点B的“等腰距离”为； ∵点F表示的数为9， ∴点A和点F的“等腰距离”为； 故答案为：2；13 （2）解：设点N表示的数为x， 若M，N两个点表示的数互为相反数，则点N表示的数为1，此时满足点M和点N的“等腰距离”为， 若M，N两个点表示的数不是互为相反数， ∵点M表示的数为，点M和点N的“等腰距离”为， ∴， 解得：或； 综上所述，点N表示的数为1或或； 故答案为：1或或 （3）解：①根据题意得：当点P运动时，点P表示的数是， 点Q表示的数是， 点P和点Q的“等腰距离”为； 故答案为： ②存在， 根据题意得：P，Q两个点表示的数互为相反数，则点P和点Q的“等腰距离”最大为， ∴P，Q两个点表示的数不是互为相反数， ∴， 解得：或； 即存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5，此时 t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程，理解“等腰距离”的定义是解题的关键． 45．点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长； (2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由； (3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)正确的结论为①的值不变，其值为2 【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长； （2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断； （3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出， ，再分别代入①和②求出其值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 答：的长为4； （2）∵， ∴， ∴BC==5． 设点P在数轴上对应的数是m， ∵， ∴， 令， ， ∴或． ①当时， ， ； ②当时， ，（舍去）； ③当时， ， ． ∴当点P表示的数为或时，； （3）解：设P点所表示的数为n， ∴， ． ∵PA的中点为M， ∴． ∵N为的四等分点且靠近于B点， ∴B， ∴①=2（不变）， ②（随点P的变化而变化）， ∴正确的结论为①，且． 【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式． 46．如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．    (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)秒或4秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题．比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点P到点A，点B的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【详解】（1） ， 故点A，B表示的数分别为、3， 若点P到点A，点B的距离相等， 则 故点对应的数是1． （2）当在之间，(不可能有)； 当在的左侧，，得 ； 当在的右侧，，得． 故点对应的数为或4； （3）设经过秒后点P到点A，点B的距离相等， 此时点A，B，P表示的数分别为， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则，解得：， 当点在右侧时，此时、重合，则，解得：． 故它们同时出发，秒或4秒后到点、点的距离相等． 47．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)）1或3 (2)或或0或1 (3)存在，1或3 【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离计算公式，即可求解； （2）根据题意可得表示x的点到表示1的点和表示的点的距离之和为3，由此分图1，图2，图3三种情况讨论求解即可； （3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得 ，然后分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，表示数轴上表示x的数到表示2的数的距离为1， ∴或， 故答案为：1； （2）解：表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和， 分下列三种情况：①当表示数x的点在到1之间时，如图1，    此时成立； 满足条件的x的整数为，，0，1； ②当表示数x的点在左侧时，如图2， 此时，不存在这样的点； ③表示数x的点在1右侧时，如图3， 此时，不存在这样的点． 故答案为：或或0或1． （3）解：存在，理由如下： 设点M所表示的数位m，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b， ∵点M和N重合， ∴点N所表示的数为n， ∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点， ∴，， ∴， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上，存在，此时的长为1或3． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 48．如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点的右侧，且到点的距离是18；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍． (1)点表示的数是______；点表示的数是______； (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为8？ (3)在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)点表示的数为1或 【分析】（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数； （2）根据题意，分点与点相遇前，点与点相遇后两种情况讨论即可求解； （3）分点在点左侧时，点在点右侧时两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是；点表示的数是； （2）解：由题意可知，分两种情况： 点与点相遇前：，解得； ②点与点相遇后：，解得； 综上所述，当为或时，点与点之间的距离为8； （3）解：假设存在， 当点在点左侧时，，， ， ，解得， 此时点表示的数是-3+4×1=1； 当点在点右侧时，，， ， ，解得，此时点表示的数是， 综上所述，在运动过程中存在，此时点表示的数为1或． 【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在解决类似的问题时，要防止漏解． 49．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　． (2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为　　． (3)同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣5|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (5)数轴上是否存在一个点P到-2和1的距离之和是6的点？若存在请写出这个点P所对应的数． 【答案】(1)7 (2) (3)-2，-1，0，1 (4)|x﹣3|+|x﹣5|有最小值，2 (5)存在，点P所对应的数是-3.5或2.5 【分析】（1）根据已知直接计算可得； （2）根据距离公式求解即可； （3）根据距离公式得到|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，由距离为3即可求出整数； （4）根据|x﹣3|+|x﹣5|的意义即可得到最小值； （5）分情况列方程解答． 【详解】（1）解：数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）∵|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，且|x+2|+|x﹣1|＝3， ∴x在-2与1之间， ∴这样的整数有-2，-1，0，1， 故答案为：-2，-1，0，1； （4）|x﹣3|+|x﹣5|有最小值， ∵|x﹣3|+|x﹣5|理解为：在数轴上，有理数x所对应的点到3和5所对应的点的距离之和， ∴当3≤x≤5时，|x﹣3|+|x﹣5|有最小值，最小值为5-3=2； （5）数轴上存在一个点P到-2和1的距离之和是6的点， 设点P表示的数为y， 当y<-2时，，解得y=-3.5； 当-2≤y≤1时，，无解，舍去； 当y>1时，，解得y=2.5； 综上，数轴上存在一个点P到-2和1的距离之和是6的点，点P所对应的数是-3.5或2.5． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，解绝对值方程，正确理解数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键． 50．在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示的数为． (1)在图中画出当时，点A关于点B的“伴侣点”P； (2)当点P表示的数为，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数 ； (3)点A从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒． ①点B表示的数为 （用含t的式子表示）； ②是否存在t，使得此时点A关于点B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)①；②存在，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合 【分析】（1）当时，，将点A向右移动2个单位长度，由此求出点P表示的数，并作图即可； （2）根据点A和点P表示的数可知，点P是由点A向左平移5个单位得到的，据此求解即可； （3）①根据点B的运动方向和运动速度即可求解；②运动的时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，分为点B在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，将点A向右移动2个单位长度，此时点P表示的数为：，作图如下： （2）解：∵点P表示的数为，点A表示的数为， ∴点P是点A向左移动5个单位长度得到的， ∴且， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （3）解：①点B从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒，则点B表示的数为， 故答案为：； ②解：存在，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合，理由如下： 运动的时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， 分两种情况： 当时，，此时点A关于点B的“伴侣点”P表示的数为：， 由于，故，不可能与原点重合； 当时，，此时点A关于点B的“伴侣点”P表示的数为：， ∴当时，点P与原点重合， 综上，存在，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论． 【类型6 最值问题】 51．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 52．如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得解；③由的意义，结合即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 53．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离表示为．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若，请描述这个式子表示的意义； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； (3)当a为多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)数轴上表示数a和数的两点之间的距离为3 (2)6 (3)当时式子的值最小，最小值为9 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值：熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据题中给出的数轴上两点之间的距离的含义即可解答； （2）根据数a的点位于与2之间，，即可求解； （3）根据表示数轴上表示数a和数、1、4之间的距离和，利用数形结合思想即可求解； 【详解】（1）解：等式表示的几何意义是： 数轴上表示数和数的两点之间的距离为3， （2）∵表示数轴上表示数a和数、2之间的距离和， 又∵数a的点位于与2之间，， ∴； （3）∵表示数轴上表示数a和数、1、4之间的距离和， ∴当时式子的值最小，最小值为． 54．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【答案】(1)8；12 (2) (3)有最小值，最小值为4 (4)11 【分析】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和，即可； （4）根据题意可得表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和，即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：8；12． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据题意得：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和， ∵， ∴有最小值，最小值为4； （4）解：根据题意得：表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和， ∴当时，有最小值，最小值为． 55．点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 【答案】(1) (2)①最小值为；②点表示的数为，点表示的数为． 【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的运用，绝对值的意义． （1）根据题意，数轴上的点和点重合，可得到点重合的数，即可; （2）根据题意，则表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和，即可；根据对应的点与对应的点重合，则数轴从对应的点处折叠，即可求出，． 【详解】（1）由数轴折叠可知，数轴上的点和点重合， 所以折叠的点表示的数是2， ∴点与表示数的点重合． 故答案为：． （2）∵表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和 ∴当的值最小时，所对应的点的位置应该在对应的点和对应的点之间 ∴的最小值为； ∵对应的点与对应的点重合， ∴数轴从对应的点处折叠， ∵，两点之间的距离为（点在点的左侧）, ∴点与对应的点之间的距离为，点与对应的点之间的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为． 56．点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 57．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5； (2)5 (3)见解析； 【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可； ②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可； ③由图1可知，当时，的最小，最小值为5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得； 故的值或． ②若点在线段上，得，， ； ③由图1可知，    当时，的最小， 原式， ， 故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； 故答案为：5； （3）如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ， ， ， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． 58．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 【答案】(1)5 (2)或 (3)8 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示3与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据原式的最小值为2，得到在表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可获得答案； （3）设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数，分情况讨论当点处在数轴上不同位置时式子的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：的最小值是5，理由如下： ， 在数轴上点分别表示数、3、，如下图，   几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以，的最小值是5； （2）当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为2， 所以，当为或时，原式的最小值是2； （3）式子的最小值是8，理由如下：①③④ 设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数， ①如下图，当点在点左侧时，   ； ②如下图，当点与点重合时，   ； ③如下图，当点在线段上时，   ； ④如下图，当点与点重合时，   ； ⑤如下图，当点在线段上时，   ； ⑥如下图，当点与点重合时，   ； ⑦如下图，当点在点右侧时，   ． 综上所述，式子的最小值是8． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 59．阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 【答案】(1)C (2)线段长度的最小值为； (3)，3 【分析】（1）根据径向对称的定义直接求解即可； （2）设点N所对应的数为m，点A和点F的中点所对应的数为，若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； （3）设线段上有一点T，T点表示的数是x，由题意可得，求出x的范围是，当L点运动到表示1的数时，t的值最小，当K点运动到表示5的数时，t的值最大． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B，C表示的数分别为，4， ∴点A和点B的中点表示的数为，点A与点C的中点表示的数为， ∵点O为原点，点M表示的数为2， ∴点C与点A关于线段径向对称； 故答案为：C； （2）解：设点N所对应的数为m， ∵点A表示的数为，点F表示的数为6， ∴点A和点F的中点所对应的数为， 若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； ∴线段长度的最小值为； （3）解：K点运动后表示的数是，L点运动后表示的数是， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵T点与A点关于线段径向对称， ∴在线段上， ∴， ∴， 当L点运动到表示1的数时，， 解得， 当K点运动到表示5的数时，， 解得， ∴t的最小值为，最大值为3， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键． 60．点、在数轴上分别表示有理数、，点与原点两点之间的距离表示为，则，类似地，点与原点两点之间的距离表示为，则，点与点两点之间的距离表示为．请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)填空： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和的两点之间距离是3，则有理数是______． (2)求满足的所有整数的和______． (3)已知．求的最大值为______． 【答案】(1)①4；②|m+1|；③2或-4 (2)-7 (3)9 【分析】(1) ①根据题意即可求得；②根据题意即可求得；③根据题意可得|m+1|=3，解方程即可求得； (2)根据的几何意义是数轴上表示x的点到表示2与-4的点的距离之和为6，可得，可得x可取的整数，据此即可求得； (3)由原式可得，由，，，可得，，，据此即可求得． 【详解】（1）解：①数轴上表示1和的两点之间的距离是|1-(-3)|=4； ②数轴上表示和的两点之间的距离是|m-(-1)|=|m+1|； ③由数轴上表示和的两点之间距离是3，得 |m+1|=3， 故m+1=3或m+1=-3， 解得m=2或m=-4， 故有理数是2或-4， 故答案为：①4；②|m+1|；③2或-4； （2）解：的几何意义是数轴上表示x的点到表示2与-4的点的距离之和为6， ∵4-(-2)=4+2=6， ∴， ∴x可取的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2， 故满足的所有整数的和为： (-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-7， 故答案为：-7； （3）解：∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，即， 故答案是：9． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离的求法，绝对值的几何意义，理解和掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键． 【类型7 动点重合问题】 61．如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，．请回答以下问题：    (1)与之间距离为________，，中点对应的数为________． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请思考出所有的移动方法，并直接写出移动后对应的数________． (3)若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动： ①当点运动多少秒时，点和点重合？ ②当点运动多少秒时，，之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)，， (3)①秒；②秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离以及数轴上的动点问题． （1）利用数轴上两点间距离的知识即可求解； （2）分情况讨论点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； （3）设点运动秒，应用一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 、分别表示的数是，， 与之间距离为， ，中点对应的数为， 故答案为：，； （2）设点移动后对应的数为， 当点在点的左侧时，， 即， 解得：； 当点在点和点之间时，， 即， 解得：； 当点在点的右侧时，， 即 解得：； 故答案为：，，； （3）①设点运动秒时，点和点重合， 根据题意得：， 解得:, 点运动秒时，点和点重合； ②设点运动秒时，，之间的距离为个单位长度， ， ， 解得：或， 点运动秒或秒时，，之间的距离为个单位长度． 62．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案； （2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可； （3）分情况进行讨论列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，， ， ， 解得； ②当点在点左边，，， ， ， 解得； ③当点在点右边，不符合题意； 故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，， 解得， ②当点位于木棒左侧时，， 解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动， ， 故舍去， 故点移动的时间为秒． 63．已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，10 (2)①3；②点对应的数为或2 (3)点和与能重合，第10次移动时重合，理由见解析 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出的值，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）①由绝对值的定义得，从而推断出，由两点间的距离即可求出点所表示的数，从而即可得到答案；②分两种情况：当点在之间时；当点在的右侧时，根据之间的关系，分别求出点表示的数即可得到答案； （3）先表示出移动次后，点对应的数为：，再分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ，， 解得：，， 点在数轴上对应的数为6，点在数轴上对应的数为，画出图如下：     ，； （2）解：①由（1）可知：， ， ， ， 数轴上一点距点7个单位长度， 点在数轴上表示的数为：， ； ②如图，在数轴上的位置表示如下：   ，点满足， 点可能在之间，也可能在的右侧， 当点在之间时，， ， 点对应的数为：， 当点在的右侧时，， 点对应的数为：， 综上所述：点对应的数为或2； （3）解：点和与能重合， 理由如下： 动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…， 移动次后，点对应的数为：， 当为偶数时，点对应的数为： ， ， 当为奇数时，点对应的数为： ， ，不符合题意，舍去， 综上所述，点第10次移动时，点与点重合． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 64．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)1140秒或1164秒 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解； （4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点走过的路程是， 处于：； （2）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，． （3）解：第次移动后，点运动时间为 ， 设，当为奇数时， ∴点在表示数为的位置上； 当为偶数时，点在表示数的位置 故答案为：，，． （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 65．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则C点与表示数______的点重合； (3)动点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向移动，当A，B，P中恰有一个点到其余两点的距离相等时（A，B，P三点互不重合），求点P移动的时间t的值． 【答案】(1)，，8 (2) (3)1或4或7 【分析】（1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是，再根据8与的距离可得答案； （3）分点P在点B右边、点P在点A与点B之间和点P在点A左边三种情况求解即可． 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴ 即 ， ∵b是最大的负整数， ∴． 故答案为：，，8； （2）当与重合时，折叠点是， ∴与点C点重合的点表示的数为： 故答案为：； （3）根据题意可知，，， ①当点P在点B右边时，若，则， 所以点P表示的数是5， ∴， ∴（秒）； ②当点P在点A与点B之间时，若，则， 所以点P表示的数是， ∴， ∴（秒）； ③当点P在点A左边时，若，则， 所以点P表示的数是， ∴， ∴（秒）； 综上可得，t的值为1或4或7． 【点睛】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 66．已知数轴上，M表示－10，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，点P，点Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所对应的数； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向左运动，设点P、Q在数轴上的D点相遇，求点D的表示的数； （3）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒向右运动，问经过多少秒时，P，Q两点重合？ 【答案】（1）30；（2）15；（3）20秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离得出结果； （2）利用时间=路程÷速度和算出相遇时间，再计算出点D表示的数； （3）利用时间=路程÷速度差算出相遇时间即可． 【详解】解：（1）-10+40=30， ∴点N表示的数为30； （2）40÷（3+5）=5秒， -10+5×5=15， ∴点D表示的数为15； （3）40÷（5-3）=20， ∴经过20秒后，P，Q两点重合． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相遇问题和追击问题之间的数量关系． 67．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【答案】（1）；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ距离为200. 【分析】(1)根据求数轴上两点之间的距离的方法计算. (2)根据追及问题的计算公式，路程差=速度差时间，直接计算或者列方程解答即可. (3)首先要想到问题P，Q两点的距离为200有两种情况，即P，Q相遇之前和相遇之后，再根据相遇问题的计算公式，路程和=甲运动路程+乙运动路程，路程=速度时间，直接计算或者列方程解答. 【详解】（1）由题意得，，所以点A所对应的数. （2）点 P 与点 Q 运动的路程差为 600，速度差为 5，故， 则120秒后P、Q两点重合. 另解：假设运动 x 秒时 P、Q 重合， 则有.解得 (3)PQ 距离为 200 时有两种情况： 相遇前（Q 在 P 的右边）： 相遇后（P 在Q的右边）： 故运动73.3或100秒时PQ距离为 200. 【点睛】本题结合数轴考查了两点之间的距离，还有追及问题和相遇问题，点的运动问题一定要思考清楚其整个运动过程，化动为静，找到其符合题意的时刻，再寻找数量关系解答. 68．已知A，B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且，P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A，B的位置，并求出A，B两点之间的距离． （2）若PB表示点P与点B之间的距离，PA表示点P与点A之间的距离，当P点满足时，直接写出点P对应的数． （3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推… ①在这个移动过程中，点P和与A能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． ②写出点P移动第n（n是自然数）次后所对应的数． 【答案】（1）数轴表示见解析，A，B两点之间的距离为12；（2）P对应的数是4或20；（3）①点P第12次移动后，能够与点A重合；说明见解析；② 【分析】（1）根据绝对值的非负性确定a，b的值，得到点A，B表示的数，进而求出AB之间的距离； （2）设点P表示的数为x，若，可分两种情况，①当点P在点A与点B之间时，二是点P在点A的右侧，表达出PB和PA，列出方程即可解答； （3）①分别计算出点P前几次运动后表示的数，找出规律，即可得出点P可以与点A重合； ②由①的计算过程即可得出关于n的代数式表示点P表示的数． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴a=8，b=-4， ∴A，B在数轴上对应的数分别为8，-4， 数轴表示如下图所示： A，B两点之间的距离为8-（-4）=12 （2）若，设点P表示的数为x， 则①当点P在点A与点B之间时，PA=8-x，PB=x-(-4) ∴x-(-4)=2(8-x) 解得:x=4， ∴点P表示的数为4； ②当点P在点A的右侧时，PA=x-8，PB=x-(-4)， x-(-4)= 2(x-8) 解得：x=20 综上所述，P对应的数是4或20； （3）①点P第一次移动后表示的数是：-4-1=-5； 点P第二次移动后表示的数是：-5+3=-4+2=-2； 点P第三次移动后表示的数是：-2-5=-4-3=-7， 点P第四次移动后表示的数是：-7+7=-4+4=0， …… ∵-4+12=8， ∴点P第12次移动后，能够与点A重合； ②由①可知，点P第n次移动后表示的数是：． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了绝对值的非负性以及数轴上两点之间的距离，熟知数轴上各点与全体实数一一对应及数轴上两点之间的距离是解题的关键． 69．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 （1）求出秒钟后动点所处的位置； （2）如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】（1）－2 ；（2）能，95s或105s 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】解：（1）∵2×5=10， ∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10， Q处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）动点从原点出发，能与点重合 ①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ∴n=19 ∴动点Q走过的路程是： 1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-18|+19， =1+2+3+…+19， =； ∴时间=190÷2=95秒； ②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则 ∴n=20 ∴动点Q走过的路程是 1+|-2|+3+|-4|+5+…+19+|-20|， =1+2+3+…+20， = 时间=210÷2=105秒 ∴动点从原点出发，第一次与点重合需95秒或105秒 【点睛】本题考查了数轴的知识，（2）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是解题的关键． 70．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）点A表示的有理数是　 　，点B表示的有理数是　 　，点C表示的有理数是　 　． （2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动． ①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？ ②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数． 【答案】（1）﹣10，10，26；；（2）①当t＝22时，点Q第一次与点P重合；②点Q一共运动了96个单位长度，此时点Q所表示的有理数是8 【分析】（1）根据题意求出点A表示的有理数是﹣10，结合相反数的概念可知点B表示的有理数，根据AC＝36即可求出点C表示的有理数. （2）①点Q第一次与点P重合时， OQ = BP +10，据此列出方程6（t﹣20）＝（t﹣20）+10求解即可； ②根据题意求得点Q的运动时间，然后由运动路程=时间×速度列出式子即可求出运动路程，结合点C表示的有理数是26可求出点Q所表示的有理数即可求解． 【详解】（1）设点A表示的有理数是﹣a，则由题意得：﹣2a＝20， 解得a＝﹣10， 所以点A表示的有理数是﹣10，点B表示的有理数是10． 因为AC＝36， 所以点C表示的有理数是26． 故答案是：﹣10；10；26； （2）①由题意得，次数BP＝t﹣20，OQ＝6（t﹣20） 6（t﹣20）﹣10＝t﹣20， 解得t＝22． 20＜22＜36． 所以当t＝22时，点Q第一次与点P重合； ②BC＝16，16÷1＝16（秒） 16×6＝96 96÷26＝3余18，26﹣18＝8 所以，点Q一共运动了96个单位长度，此时点Q所表示的有理数是8． 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于结合实际运用数轴解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$