精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第二十六中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第二十六中学九年级数学开学测试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 5. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 7. 二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A. 向下、直线、 B. 向下、直线、 C. 向下、直线、 D. 向上、直线、 8. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ） A. B. C. π D. 2π 10. 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 12. 已知实数，满足，，则______． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为________． 14. 将抛物线向右平移一个单位，所得函数解析式为___ 15. 在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为_____． 16. 如图，在中，于点的长为，则弦的长为___________． 17. 如图，，是的切线，A，B是切点，若，则___________． 18. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 三、解方程（共8分） 19. 解方程 （1） ； （2） ． 四、解答题（共58分） 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21. 等边在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针方向旋转得． （1）求出点B的坐标； （2）当与的纵坐标相同时，求出a的值； （3）在（2）的条件下直接写出点的坐标． 22. 如图，已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是___________． 23. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作⊙，交于点，交于点，为边上一点，且． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 25. 如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分 （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 26. 一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率． （1）布袋里红球有多少个? （2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 27. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威第二十六中学九年级数学开学测试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项，符合一元二次方程定义，符合题意，选项正确； 选项，含有分式，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误； 选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误； 选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 3. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 4. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长． 【详解】解：方程分解得：， 解得：，， 若2为底，3为腰，三角形三边为3，3，2，周长为； 若2为腰，3为底，三角形三边为2，2，3，周长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 5. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，将变形为，利用根与系数的关系求出，利用一元二次方程的根的定义求出， 整体代入即可求解． 【详解】解： a，b是方程的两个实数根， ，， ， ， 故选C． 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意； C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7. 二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A. 向下、直线、 B. 向下、直线、 C. 向下、直线、 D. 向上、直线、 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解． 【详解】解：∵，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 8. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 9. 如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，为等边三角形，，可得弧长的值． 【详解】解：如图连接、、 ∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角，弧长等知识．解题的关键在于找出弧长所对的圆心角以及半径． 10. 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用A、B、C、D表示，画出树状图如下; 共有12种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有2种， 则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为． 故选：B 二、填空题（共24分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把把代入原方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故答案为0． 12. 已知实数，满足，，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】由已知可得，是方程的根，当时，可直接化简，当时，由根与系数关系可得，，，整理后代入即可求解．本题考查了根与系数关系以及分式的化简求值，解题的关键是根据情况熟练应用知识点． 【详解】解：实数，满足，， 可将，看作是方程的根， 当时， ， 当时， 由根与系数关系可得，，整理代入， ， 故答案为：或2． 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由图可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与旋转．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 14. 将抛物线向右平移一个单位，所得函数解析式为___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先确定抛物线的顶点坐标为，根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移一个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的函数解析式为． 故答案为． 15. 在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，通过概率求白球的个数，利用即可求得白球个数． 【详解】解：根据题意，，解得． 故答案为：4． 16. 如图，在中，于点的长为，则弦的长为___________． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理．根据垂径定理即可求解． 【详解】解：∵于点的长为， ∴． 故答案为：． 17. 如图，，是的切线，A，B是切点，若，则___________． 【答案】##132度 【解析】 【分析】根据切线的性质，以及四边形的内角和是，进行求解即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质．熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键． 18. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查顶点坐标，利用图形的对称性计算是解题的关键． 三、解方程（共8分） 19. 解方程 （1） ； （2） ． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 四、解答题（共58分） 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式大于零列式求解即可． 【详解】解：由题意知：， 方程有两个不相等的实数根， 且， 即， 解得， 且． 21. 等边在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针方向旋转得． （1）求出点B的坐标； （2）当与的纵坐标相同时，求出a的值； （3）在（2）的条件下直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）当或时，点与点纵坐标相同． （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）如图1所示过点B作，垂足为C．由等边三角形的性质和特殊锐角三角函数值可知，，从而可求得点B的坐标； （2）如图2所示，根据平行线的性质和旋转的定义可确定出a的值； （3）利用旋转的性质可知，从而可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：如图1所示过点B作，垂足为C． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 在中， ， ∴． ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 ∵点与点的纵坐标相同， ∴． ①如图2所示：当时，点与点纵坐标相同． 如图3所示： 当时，点与点纵坐标相同． ∴当或时，点与点纵坐标相同． 【小问3详解】 如图2所示：由旋转的性质可知， 点B的坐标为， ∴点的坐标为． 如图3所示：由旋转的性质可知：点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质，锐角三角形函数的应用，掌握相关性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）把点代入抛物线解析式中，即可求得m的值，得到抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标； （2）当，求出抛物线与x轴的交点，再结合函数图象即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵ ∴抛物线开口向下，当时，函数y有最大值，为， ∵当时，， 解得：， ∴当时，x的取值范围是或． 23. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作⊙，交于点，交于点，为边上一点，且． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 【答案】（1）见解析； （2）⊙的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． （1）连接，首先根据全等三角形的判定定理及圆周角定理，即可证得，，再根据平行线的性质及切线的判定定理，即可证得结论； （2）连接，首先根据圆周角定理及等腰三角形的性质，即可证得，设⊙的半径为，则，则，再根据，列出方程，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵是⊙的直径， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是⊙的半径， ∴为⊙的切线； 【小问2详解】 如图：连接， ∵是⊙的直径， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设⊙的半径为，则，则， ∵， ∴， 解得， 故⊙的半径为． 25. 如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分 （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：连接，如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可； （2）连接、，由题干得为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，得出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，交于点M， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又由（1）知，，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性质、平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式． 26. 一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率． （1）布袋里红球有多少个? （2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】（1）布袋里的红球有2个 （2） 【解析】 【分析】本题考查概率，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可； （2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率． 【小问1详解】 设红球的个数为x，由题意可得：， 解得：， 经检验是方程的根． 答：布袋里的红球有2个； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知共有30种均等可能结果，两次摸到的球都是白球的有6种可能， （摸得两白）． 27. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为： （2）点D的坐标为或 （3）存在满足条件的Q点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）设点D的坐标为，利用的面积为10，列出等式求解即可； （3）分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可． 【小问1详解】 将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 设点D的坐标为， 、， ， ∴， 即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为：， 假设存在，设，， ， 分两种情况讨论： 当为四边形的对角线时，，， ∴， 即， 此时点Q的坐标为； ②当为边时，，， ∴，即， 解得：或， 此时点Q的坐标为或． 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $