2.1 代数式（3知识点+7题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

2.1 代数式 课程标准 学习目标 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 ①能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系； ②体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值； 知识点01 用字母表示数 ·能被２整除的整数叫做偶数，不能被２整除的整数叫做奇数． ·设ｋ表示任意一个整数，用含有ｋ的式子表示： ①任意一个偶数：2k； ②任意一个奇数：2k-1． 【即学即练1】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【即学即练2】三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 知识点02 代数式 ·用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式； ·单个的数或字母也是代数式． ·代数式的表示 ①如果出现乘号，可写成“·”或不写； ②数字与字母相乘时，数字写在字母前； ③字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式； ④数字与数字相乘时，“× ”号不能省． ⑤如果式中出现除法，如ｓ÷ｖ，一般写成． 【即学即练3】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【即学即练4】下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． ·单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成，是的系数。 ·单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 【即学即练5】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）代数式的系数是 ，次数是 ． 【即学即练6】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． ·多项式：几个单项式的和叫做多项式。 其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项。 ·多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 ·整式：单项式和多项式统称整式。 【即学即练7】在式子、、、、中，多项式有 个． 【即学即练8】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【即学即练9】把多项式按字母的降幂排列： ． 知识点03 代数式的值 ·求代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 【即学即练10】如果，那么 ． 整体思想在代数求值中的应用：根据式子中的结构，在条件和问题中找公共部分，再整体代入求值。 ·案例①给出，求： 观察式子中的字母和系数：， 确定公共部分：2a+b 整体代入： ·案例②已知，求： 公共部分： 变形+整体代入：，， 【题型一：已知字母的值求代数式的值】 例1．若是关于x的五次四项式，则 ． 变式1.（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【方法技巧与总结】多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，根据次数的值列方程解题。 【题型二：已知字母的值求代数式的值】 例2．已知有理数x，y，数，，且，则 ． 变式2-1.（22-23六年级上·山东淄博·期中）如图，均为有理数，图中各行，各列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 变式2-2.已知，，且，则 ． 【题型三：已知式子的值求代数式的值】 例3．代数式的值为2，则的值为 ． 变式3．若，则代数式的值为 ． 【方法技巧与总结】运用整体思想：根据代数式的值，整体代入求值 【题型四：程序流程图与代数式求值】 例4．（23-24七年级上·四川南充·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，我们发现第一次得到的结果为，第次得到的结果为，……，请你探索第次得到的结果为 ． 变式4-1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，则第一次输出结果为10，第二次输出结果为5，…，依次类推，第2020次输出的结果为 ． 变式4-2．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【方法技巧与总结】根据图中的计算程序，按照箭头顺序代数求值、找出运算规律进行解题 分奇、偶：程序中有两种运算方式，反复输入时要根据输入数的奇偶性，转换计算方式。 【题型五：单项式的规律探索】 例5．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 变式6-1.观察下列单项式：，，，，…，根据你发现的规律，第n个单项式为 ． 变式6-2.观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【方法技巧与总结】观察单项式的系数、字母指数，归纳得出通用规律 ·隔项负数的表示： 首项为正数，第二项为负数：通式前；首项为正数，第二项为负数：通式前 ·奇数、偶数的表示： 奇数：2n+1（3、5、7······）或2n-1（1、3、5······） 偶数：2n（2、4、6······）或2n-2（0、2、4······） 【题型六：数字规律探索】 例6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是 ． 变式6-1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 变式6-2．观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； 变式6-3．将整数1，2，3，，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，．则第20次转弯的是 ． 【方法技巧与总结】数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。 【题型七：图形规律探索】 例7．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 变式7. 51．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 一、选择题 1．一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加3米，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米 A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·安徽滁州·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2023个单项式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下列书写：①；②；③；④；⑤；⑥千克中，正确的是： ．（填写序号即可） 4.学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 5.多项式是 次 项式． 6.若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 7．一次式中b的系数是 ，常数项是 ． 8．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知，则 ． 9．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是 ． 10．（江苏省徐州市2024-2025学年七年级上学期新生入学数学测试题）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形个数占小长方形总个数的 ． 三、解答题 6．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 1．由于受禽流感影响，某市2月份鸡的价格比1月份下降，3月份比2月份下降，已知1月份鸡的价格为24元/千克，设3月份鸡的价格为m元/千克，则（    ） A． B． C． D． 2．观察下列算式：，，，…，这列算式的规律可表表示为： 3．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 1．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 代数式 课程标准 学习目标 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 ①能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系； ②体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值； 知识点01 用字母表示数 ·能被２整除的整数叫做偶数，不能被２整除的整数叫做奇数． ·设ｋ表示任意一个整数，用含有ｋ的式子表示： ①任意一个偶数：2k； ②任意一个奇数：2k-1． 【即学即练1】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 【即学即练2】三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 【答案】 / / 【详解】解：三个连续的偶数，中间的数是那么其余的两个数分别是和． 故答案为：，． 知识点02 代数式 ·用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式； ·单个的数或字母也是代数式． ·代数式的表示 ①如果出现乘号，可写成“·”或不写； ②数字与字母相乘时，数字写在字母前； ③字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式； ④数字与数字相乘时，“× ”号不能省． ⑤如果式中出现除法，如ｓ÷ｖ，一般写成． 【即学即练3】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦不是代数式； ⑧不是代数式． 代数式有5个， 故选：B． 【即学即练4】下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. 数字与字母相乘，一般省略乘号或用“”代替，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； B. 书写规范，符合题意； C. 单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； D. 两个字母相除，一般写成分数形式，故应写为，故原选项书写不规范，不合题意． 故选：B． ·单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成，是的系数。 ·单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 【即学即练5】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）代数式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【详解】解：代数式的系数是，次数是， 故答案为：，． 【即学即练6】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． ·多项式：几个单项式的和叫做多项式。 其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项。 ·多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 ·整式：单项式和多项式统称整式。 【即学即练7】在式子、、、、中，多项式有 个． 【答案】2 【分析】此题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，据此进行判断即可． 【详解】解：在式子、、、、中， 、是多项式，共2个， 故答案为：2 【即学即练8】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【详解】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 【即学即练9】把多项式按字母的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，按字母x的指数由高到低排列．根据多项式中的指数从大到小，对多项式的项进行排列即可． 【详解】解：由题意知，按字母x的降幂排列为， 故答案为：． 知识点03 代数式的值 ·求代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 【即学即练10】如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性与代数式的求值计算，解题的关键是求得a与b的值． 根据绝对值的意义先确定a、b的值，然后再代值计算即可． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴， 则， 故答案为：4． 整体思想在代数求值中的应用：根据式子中的结构，在条件和问题中找公共部分，再整体代入求值。 ·案例①给出，求： 观察式子中的字母和系数：， 确定公共部分：2a+b 整体代入： ·案例②已知，求： 公共部分： 变形+整体代入：，， 【题型一：已知字母的值求代数式的值】 例1．若是关于x的五次四项式，则 ． 【答案】 【详解】解：多项式是关于的五次四项式， ，， ． 故答案为：． 变式1.（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若关于的多项式是四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：多项式是四次三项式， ， ， 故答案为：． 【方法技巧与总结】多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，根据次数的值列方程解题。 【题型二：已知字母的值求代数式的值】 例2．已知有理数x，y，数，，且，则 ． 【答案】或16 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或16． 变式2-1.（22-23六年级上·山东淄博·期中）如图，均为有理数，图中各行，各列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 变式2-2.已知，，且，则 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【题型三：已知式子的值求代数式的值】 例3．代数式的值为2，则的值为 ． 【答案】2020 【详解】解：∵代数式的值为2， ， ， 故答案为：2020． 变式3．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是求代数式的值，把所求代数式变形为，把已知条件代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【方法技巧与总结】运用整体思想：根据代数式的值，整体代入求值 【题型四：程序流程图与代数式求值】 例4．（23-24七年级上·四川南充·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，我们发现第一次得到的结果为，第次得到的结果为，……，请你探索第次得到的结果为 ． 【答案】 【详解】解：按照程序： 当时， 第一次输出的数为， 第二次输出的数为， 第三次输出的数为， 第四次输出的数为， 第五次输出的数为， 第六次输出的数为， 第七次输出的数为， 第八次输出的数为， 第九次输出的数为， 第十次输出的数为， 第十一次输出的数为， 第十二次输出的数为， 第十三次输出的数为， 可见，输出数自第二个数开始每个数循环一次， ， 第次得到的结果为， 故答案为：． 变式4-1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，则第一次输出结果为10，第二次输出结果为5，…，依次类推，第2020次输出的结果为 ． 【答案】 【详解】解：第一次输出结果为10， 第二次输出结果为5， 第三次输出结果为， 第四次输出结果为， 第五次输出结果为， 第六次输出结果为， 第七次输出结果为， 第八次输出结果为， 第九次输出结果为， …， 可以发现，从第四次开始每三次运算循环， ∴， 故第2020次输出的结果为， 故答案为：． 变式4-2．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 【方法技巧与总结】根据图中的计算程序，按照箭头顺序代数求值、找出运算规律进行解题 分奇、偶：程序中有两种运算方式，反复输入时要根据输入数的奇偶性，转换计算方式。 【题型五：单项式的规律探索】 例5．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)； (2)；系数为：，次数为： 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： （2）解：由（1）可得出第个单项式为： 故第个单项式是：，它的系数为：，次数为： 变式6-1.观察下列单项式：，，，，…，根据你发现的规律，第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】根据第2、4、6个单项式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：观察可知，第2个单项式为， 第4个单项式为， 第6个单项式为， 归纳类推得：第个单项式为 故答案为：． 变式6-2.观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题是单项式的规律题，根据题意可得单项式的系数为，次数为，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为， 第16个单项式为， 故答案为：． 【方法技巧与总结】观察单项式的系数、字母指数，归纳得出通用规律 ·隔项负数的表示： 首项为正数，第二项为负数：通式前；首项为正数，第二项为负数：通式前 ·奇数、偶数的表示： 奇数：2n+1（3、5、7······）或2n-1（1、3、5······） 偶数：2n（2、4、6······）或2n-2（0、2、4······） 【题型六：数字规律探索】 例6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数． 分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和． 【详解】第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：， 第3个“三角形数”：， 第4个“三角形数”：， 第5个“三角形数”：， 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：， 第3个“正方形数”：， 第4个“正方形数”：， 第5个“正方形数”：， ∴． 故答案为：40． 变式6-1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 【答案】671 【分析】本题考查了规律型：由题意可求得，，，则可得该数列从第1个数起每3个数循环出现，从而可求解． 【详解】解：，，且， ，解得：， 同理求得：，， 该数列从第1个数起，以，，5每3个数循环出现， ， ，， ． 故答案为：671． 变式6-2．观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； 【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； 变式6-3．将整数1，2，3，，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，．则第20次转弯的是 ． 【答案】111 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是观察数据，找出规律． 偶次转弯处的数字分别为：把这些数看成一个数列，则可找出第次转弯的数字是，即可求解． 【详解】解：∵转弯处的数字为， 其中偶次转弯处的数字分别为：把这些数看成一个数列，第20次转弯的数字是这个数列的第10项， ， ∴第次转弯的数字是， ∴第20次转弯的数字是， 故答案为：111． 【方法技巧与总结】数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。 【题型七：图形规律探索】 例7．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 变式7. 51．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ， 第个等式：， 故答案为：； （3）草垛的最底端有2024支小正方形草束， ． 一、选择题 1．一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加3米，新的长方体体积比原来增加（    ）立方米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是字母表示数的类型题以及长方体的计算公式．增加的长方体的体积是一个长、宽、高分别是a米、b米、3米，依据长方体的体积等于长×宽×高，可知增加的体积是立方米． 【详解】解：增加的长方体体积是一个长、宽、高分别是a米、b米、3米， 所以新的长方体体积比原来增加立方米． 故选：A． 2.（23-24七年级上·安徽滁州·期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第2023个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为单项式规律题．发现规律为奇数个单项式的系数为负，偶数个单项式的系数为正，第n个单项式系数的绝对值是，指数是n是解题是关键． 【详解】解：根据所给单项式发现奇数个单项式的系数为负，偶数个单项式的系数为正，第n个单项式系数的绝对值是，指数是n，即公式为， ∴第2023个单项式是， 故选C． 二、填空题 3．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下列书写：①；②；③；④；⑤；⑥千克中，正确的是： ．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，①应该书写为：； ②应该书写为：； ③书写正确； ④应该书写为：； ⑤应该书写为：； ⑥千克，应该书写为：千克， 书写正确的是：③， 故答案为：③． 4.学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【答案】 买个足球和个篮球一共的价钱 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，求代数式的值，根据单价数量总价，确定，分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义，把的值代入代数式，求出结果即可，熟练掌握知识点额应用是解题的关键． 【详解】表示买个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 故答案为：买个足球和个篮球一共的价钱， 当，时， ， ， ， 故答案为：． 5.多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】此题主要考查了多项式的定义，解题的关键是理解多项式的定义，用到的知识点为：多项式的次数由组成多项式的单项式的最高次数决定；组成多项式的单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式． 几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此解答即可得出答案． 【详解】解：次数最高的项为，次数为3，一共有3个项， 所以多项式是三次三项式． 故答案为：三；三． 6.若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， 解得， 故答案为：． 7．一次式中b的系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数及多项式项数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可解答． 【详解】解：一次式中b的系数是，常数项是1． 故答案为：，1． 8．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察可得：分子是连续的自然数，分母是分子的平方加1，由此即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察可得：分子是连续的自然数，分母是分子的平方加1， ∴按此规律排列下去，这列数中的第10个数是， 故答案为：． 10．（江苏省徐州市2024-2025学年七年级上学期新生入学数学测试题）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形个数占小长方形总个数的 ． 【答案】 【分析】本题考查了数与形结合的规律．找出规律，按照规律计算是解题的关键． 按照图中规律可知，第1个黑长方形，1个白长方形，第2个黑长方形，2个白长方形，第3个黑长方形，3个白长方形，第4个黑长方形，4个白长方形，第5个黑长方形，5个白长方形，第6个黑长方形，6个白长方形，第7个黑长方形，然后先求出小长方形的总个数，然后按照黑长方形个数小长方形的总个数即可求解． 【详解】解： 出现7个黑长方形时，小长方形总个数为：， 所以黑长方形个数占小长方形总个数的． 故答案为：． 三、解答题 6．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】本题考查了单项式，整式，二项式的定义．根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】解：（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤ 1．由于受禽流感影响，某市2月份鸡的价格比1月份下降，3月份比2月份下降，已知1月份鸡的价格为24元/千克，设3月份鸡的价格为m元/千克，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式．首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降，即可求出三月份鸡的价格． 【详解】解：∵2月份鸡的价格比1月份下降，1月份鸡的价格为24元/千克， ∴2月份鸡的价格为元， ∵3月份比2月份下降， ∴3月份鸡的价格为元， 即． 故选：D 2．观察下列算式：，，，…，这列算式的规律可表表示为： 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， 故答案为：． 3．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查流程图问题、数字规律等知识点，总结归纳出从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键． 先分别求出第一次输出的结果为625，第二次输出的结果为125，第三次输出的结果为25，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，然后计算出第六次输出的结果5，进而发现从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，据此即可解答． 【详解】解： 第一次输出的结果：， 第二次输出的结果：， 第三次输出的结果：， 第四次输出的结果：， 第五次输出的结果：， 第六次输出的结果：， 第七次输出的结果：， 第八次输出的结果：， 第九次输出的结果， 由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5， 所以第2023次输出结果为1． 故答案为：1． 1．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）观察算式：；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：（   ）； (2)用含n的等式表示上面的规律 ；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)9； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，含乘方的有理数混合运算，代数式表示式，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键． （1）根据题干规律直接解题即可； （2）根据题干规律总结，即可找出规律为； （3）利用（2）中规律将原式变换为，即可推出中间项可全部约去，最后直接计算第一项和最后一项约分后剩下乘积的即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ， ， 依次类推， 可得规律为： ； （3）解： ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$