第11章 简单几何体 知识归纳与题型突破（八类题型清单） -2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第11章 简单几何体 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 Ⅱ 、简单几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12图1-1 棱柱 ⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-2 长方体 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质图1-3 圆柱 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高) S正棱锥全 = c h’ + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征图1-4 棱锥 4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形； ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。图1-5 圆锥 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长) S圆锥全 = πr·(r + l) V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高) 5 棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 正棱台的结构特征 ⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形； ⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式 S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)图1-6 棱台 S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的结构特征 6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形； ⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)图1-7 圆台 S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2图1-8 球 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； ⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图； ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； ⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 Ⅲ、空间几何体的直观图 1-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 1-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°； ⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面； ⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。 结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 1-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”； ⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 03 题型归纳 题型一　简单几何体的结构特征 例题 1．给出下列四个命题： ①棱柱的侧面都是平行四边形； ②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ③直棱柱的侧面是矩形； ④正棱柱的侧面是全等的矩形． 其中真命题的序号是 （填所有真命题的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】利用棱柱的性质判断①；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，②正确；利用直棱柱的性质判断③；利用正棱柱的性质判断④． 【解析】①中，棱柱的侧棱互相平行，侧面都是平行四边形，正确； ②中，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，正确； ③中，直棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱平行且相等，即侧面是矩形，正确； ④中，正棱柱为底面为正多边形的直棱柱，侧面是全等的矩形，正确； 故答案为：①②③④ 巩固训练 2．“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”） 【答案】充要 【分析】利用直棱柱的概念及线面垂直的判定定理即得. 【解析】由“棱柱有相邻两个侧面是矩形”可知侧棱垂直底面，则“棱柱是直棱柱”；由直棱柱的定义可知，“棱柱是直棱柱”可推出“棱柱有相邻两个侧面是矩形”，故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的充要条件. 故答案为：充要. 3．已知：“是长方体”，：“是直平行六面体”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直平行六面体和正方体的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】根据直平行六面体的定义知：底面为平行四边形的直四棱柱为直平行六面体， 长方体的定义可为：底面为矩形的直四棱柱为长方体， 而直平行六面体的底面不一定为矩形，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有 个． 【答案】4 【解析】试题分析：如下图，已知三棱锥P-ABC，PA平面ABC，BCAB，则BCPB，PAAC，所以四个三角形均为直角三角形．对于其它一般的三棱锥中，直角三角形的个数就少于4个． 考点：对多面体表面的多边形的研究． 【方法点睛】对于一些常见的特殊的几何体应熟练的掌握其性质．例如：�什么样的三棱锥中其四个面是四个直角三角形；�正多面体有哪几种？�正四面体的一些常用的结论；……． 题型二　表面积与体积 例题 5．正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】根据几何关系求四棱锥的高，再代入体积公式，即可求解. 【解析】作平面，点是底面正方形的中心， ，，则， 所以四棱锥的体积. 故答案为： 巩固训练 6．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【解析】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 7．若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】由圆锥的轴截面是等边三角形及面积，分析圆锥的母线长和底面半径长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答． 【解析】由题意：圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，其面积为， 对于轴截面有：， ， ， 故圆锥的母线，底面半径， 则圆锥的高． 故圆锥的体积， 故答案为：． 8．已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意，确定外接球的直径，根据勾股定理计算即可求解. 【解析】如图，该长方体的外接球的直径为，设其半径为， 则， 得，所以该外接球的表面积为. 故答案为：      题型三　简单几何体的计算、截面问题 例题 9．空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，DC的中点，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据三角形中位线求出的长，即可求得答案. 【解析】如图，由于点F，G分别是AD，DC的中点， 所以， 所以. 故答案为： 巩固训练 10．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状. 【解析】连接， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又四边形为正方形，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 同理可证明⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 故平面即为平面， 则截该正方体所得截面的形状为三角形.    故选：A 11．若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 【答案】 【分析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径，根据题意结合球的性质分析求解. 【解析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径， 由题意可得，解得， 所以平面截球所得圆面面积为. 故答案为：. 12．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用棱锥平行于底面的截面性质，把分别用底面面积表示即可得解. 【解析】如图，平行于锥体底面的截面与锥体的高，棱分别交于点， 显然平面平面，令截面面积为，锥体底面面积为 有，且与方向相同，则， 同理，于是∽，有， 而，则，由比例的性质可得， 此时，截得的锥体的体积与原锥体的体积有：， 当截面平分棱锥的高时，，即， 当截面平分棱锥的体积时，，则， 所以. 故答案为：. 13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 【答案】/ 【分析】从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，最短路程为.本来是空间最值问题，利用展开图，转化为平面两点连线最短问题，即两点之间线段最短，即，再利用的长计算出对应的弧长，因为因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，进而算圆锥底面圆的半径，再算出面积，圆锥的高；带入圆锥的体积公式求出体积. 【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，从点P绕圆锥爬行一周后回到点P处，根据两点之间线段最短，爬行的最短路程为展开图中线段,即，已知圆锥形物体的母线长为3，即,在中，由余弦定理得， 又因为，所以，所以, 因为展开图得弧长与圆锥底面圆的周长相等，所以,即. 又勾股定理得, 所以圆锥体积. 故答案为：               14．如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】 设，用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值． 【解析】 圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为r，，由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故答案为： 15．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    【答案】 【分析】作出截面，分析可知截面是边长为的正六边形，计算出截面面积即可. 【解析】因为、分别为、的中点，则且， 因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，，设平面交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，则， 因为为的中点，所以，为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形，    因为，则， 所以，， 因为，则，所以，，则为的中点， 同理可知，为的中点，易知六边形是边长为的正六边形， 所以，截面面积为. 故答案为：. 16．如图，已知正四棱柱，､为上､下底面的中心，O为的中点.过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为 . 【答案】14 【分析】根据正四棱柱的特征判断截面面积最小或最大时截面的位置，进而求底面边长和体高，再应用棱柱的表面积公式求的表面积. 【解析】由题设，过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面， 当截面面积最小时截面与底面平行，故截面积与底面积相等，易知：底面正方形的边长为1； 当截面面积最大时截面过或，易知：棱柱的高为3； 综上，四棱柱的表面积为. 故答案为：14 17．已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 【答案】A 【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【解析】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为， 则截面积, 故甲是真命题; 对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台, 则所以容器所装水的多面体的体积, 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大， （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于. ②当在线段上时，如图，设，的中点为， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为， 此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故命题乙是真命题. 故选：A. 【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解. 题型四　简单几何体的应用 例题 18．已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为 米.（取，结果精确到个位） 【答案】22 【分析】利用展开前后卷纸的体积相等可得答案. 【解析】设圆柱的高为，则卷纸的体积为， 每层纸的厚度为厘米，展开后的体积为， 所以，解得厘米， 所以这个卷纸的长度为22米. 故答案为：22. 巩固训练 19．一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）.图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为E，F，，，则 .    【答案】/1 【分析】根据三棱柱的体积公式求解. 【解析】设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为， 则根据等体积可得,所以， 所以，又因为， 所以相似于，且, 所以， 故答案为: . 20．半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【分析】依题意作圆锥轴截面图，按球缺的定义结合几何条件即可求解. 【解析】如图所示为圆锥轴截面，,为小球与圆锥侧面的切线上两点，圆锥母线， 设内切球的半径为.由题意是等边三角形，则，， 所以小球的半径. 又，所以，则， 解得，则是中点， 同理可得是中点，所以， 故到的距离为，则上部分球缺的高， 上部分即较小部分球缺的体积为， 则较小部分球缺的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 题型五　空间位置关系与计算 例题 21．在棱长为1的正方体中，是的中点，若都是上的点，且是上的点，则三棱锥的体积是 . 【答案】 【分析】 根据题意画出直观图，结合图形利用锥体的体积公式即可求解. 【解析】根据题意画出直观图，如下图： ， 又是的中点，则三棱锥的高， 于是. 故答案为：. 巩固训练 22．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .    【答案】 【分析】设三棱柱为高为，底面积为，则，点到平面的距离为，利用柱体和锥体的体积公式可求得. 【解析】设三棱柱为高为，底面积为，则，点到平面的距离为， 所以，，，故. 故答案为：. 23．如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可. 【解析】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F， 因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又，，所以，所以四边形为菱形， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 24．如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    【答案】 【分析】连接，即可证明平面，则为与平面所成的角，进而求得，即可得四棱锥的体积. 【解析】如图，在直三棱柱中， ∵，则，即，又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成的角，即， ∵，∴， 又，∴. ∴.    故答案为：. 25．如图，PA⊥平面，，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求四棱锥的侧面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据线线平行，即可得为所求，利用三角形的边角关系即可求解, （2）求解每个面的面积，即可求解侧面积. 【解析】（1）取AD的中点F，连接EF、PF． ∵，∴的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小． 由，，平面，是矩形，得，，，， ∴， ∴异面直线与所成的角的大小等于； （2）∵平面，，，，，． ∵平面，平面，所以，又，平面, ∴平面，平面,∴，，． 连接AE，由，得，同理，， 又，∴， 由勾股定理逆定理得，∴． ∴四棱锥的侧面积为 26．如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18． (1)求正三棱柱的体积； (2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由棱柱的体积公式即可求得答案； （2）取AC的中点E，在中可求得，则异面直线与BC所成的角可求. 【解析】（1）设底面边长为a，高为h，则，所以； （2）取AC的中点E，连接DE和，则就是异面直线与BC所成的角（或其补角） 在中，，，， 异面直线与BC所成的角为. 27．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【解析】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 题型六　多面体与旋转体 例题 28．三棱锥中，，，，，若三角形和都是等腰直角三角形，则，，可能的不同取值有 种. 【答案】3 【分析】分情况讨论哪一个角是直角即可求解. 【解析】根据题意可画简图如下，为等边三角形，且，都是等腰直角三角形，分类讨论如下： ①时，， 此时中，，所以，， 此时，； ②时，，此时中，， 此时，此时； ③，时，，此时中，， 此时，此时； 所以，，的取值有3种不同情况． 故答案为：3. 巩固训练 29．2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到） 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构，取等角线组中两条线段，及相应的对棱围成一个矩形，求出这个矩形的对角线的夹角即得． 【解析】如图，取根据正二十面体的结构，取等角线组中两条线段，及相应的对棱围成一个矩形，矩形对角线交点为，是正二十面体外接球球心，，棱， ， ． 故答案为： 　 30．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有 条． 【答案】13 【分析】根据八面体的结构特征：所有棱长相等，根据旋转轴的定义即可判断旋转轴的条数. 【解析】由题设，八面体所有棱长都相等， 所有以为轴旋转可以与自身重合，共3条； 过正方形对边中点的直线为旋转轴，旋转可以与自身重合，共有6条轴； 过八面体相对面中心为旋转轴，旋转可以与自身重合，共有4条轴. 故答案为：13 题型七　切接问题 例题 31．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 【答案】 【分析】可以将三棱锥放置在长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥的体积分成四个小三棱锥的体积和，根据可求得内切球的半径，可得答案． 【解析】将三棱锥放置于长、宽、高分别是的长方体中（如图所示）， 则，解得， 而三棱锥外接球即为该长方体的外接球， 所以三棱锥外接球半径； 三棱锥的体积， 而三棱锥的表面积， 在中，由余弦定理得，， 所以，故； 设三棱锥内切球的半径为r， 则，所以． 故答案为：． 巩固训练 32．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】如图，根据面面垂直的性质可得平面，确定球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【解析】在中，，为的中点， 则，. 又平面平面，平面平面平面，， 所以平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 所以三棱锥的外接球球心必位于上，如图， 设球心为，半径为，则， 有，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 33．如图所示，在梭长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 . 【答案】 【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解. 【解析】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，则四边形是菱形， 设在平面的射影为， 则正三棱锥可知，点是的外心， ，则， 由，得，所以， 再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆， 该圆恰为的内切圆，记为圆， 同理，在平面（即平面）上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到中点时，取得最小值， 此时取得最大值， 当运动到射线与圆的公共点时，取得最大值， 此时取得最小值， 综上所述，直线与平面所成角的正切值为取值范围为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 题型八　其他问题 例题 34．三棱锥中，点是斜边上一点．给出下列四个命题： ①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形； ②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为； ③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2； ④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①由三垂线定理及线面垂直的性质定理得结论判断，②把三棱锥补形为正方体，正方体的外接球就是三棱锥的外接球，正方体的对角线就是外接球的直径，从而可云计算出球体积判断，③利用直角三角形的内切圆直径等于两直角边长之和减去斜边长，得内切圆半径后可求得棱锥的高，从而可得体积判断，根据线面角的定义得出线面角后，求出其正弦值，并让动点运动，得出角的正弦值的变化情况，从而得角的最大值判断④． 【解析】①，平面，平面，则，同理， 又，是在平面上的射影，∴， 因此三棱锥的四个面都是直角三角，①正确； ②，已知说明三棱锥可以补形成以为邻边的正方体，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球， 正方体的对角线长为，则外接球半径为，球体积为，②正确； ③， 在直角三角形中，，则，设是内心，则内切圆半径为，从而， 在三棱锥中，平面，而平面，则， ，， 因此，③正确； ④， 由选项A讨论知平面，平面，则平面平面， 因此过作，垂足为，则平面， 是在平面上的射影，因此在平面上的射影在上，如图，且， 由平面，平面，得，是直线与平面所成的角，， 由图可知，当从向移动时，增大，减小，因此增大， ∴当与重合时（此时与重合），最大，即最大， ，，因此的最大值为，④错误． 正确的是①②③， 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查空间垂直问题，外接球问题，锥体的体积及线面角，解题关键是掌握线面垂直的判定与性质定理，充分利用三垂线定理及其逆定理可以简化线线垂直的证明，特殊棱锥的外接球可把棱锥补形为长方体（或正方体、直棱柱等），便于确定外接球球心，得球半径． 巩固训练 35．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】假设平面，得到，假设不垂直，假设不成立，①错误，取中点，连接，，得到②正确，得到答案. 【解析】对①：假设平面，平面，则， 则，，故不垂直，假设不成立，①错误； 对②：取中点，连接，为线段的中点，则， 则在以为球心，半径为的球上，②正确； 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 简单几何体 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 Ⅱ 、简单几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12图1-1 棱柱 ⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-2 长方体 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质图1-3 圆柱 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高) S正棱锥全 = c h’ + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征图1-4 棱锥 4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形； ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。图1-5 圆锥 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长) S圆锥全 = πr·(r + l) V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高) 5 棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 正棱台的结构特征 ⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形； ⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式 S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)图1-6 棱台 S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的结构特征 6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形； ⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)图1-7 圆台 S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题图1-8 球 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； ⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图； ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； ⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 Ⅲ、空间几何体的直观图 1-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 1-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°； ⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面； ⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。 结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 1-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”； ⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 03 题型归纳 题型一　简单几何体的结构特征 例题 1．给出下列四个命题： ①棱柱的侧面都是平行四边形； ②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ③直棱柱的侧面是矩形； ④正棱柱的侧面是全等的矩形． 其中真命题的序号是 （填所有真命题的序号）． 巩固训练 2．“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”） 3．已知：“是长方体”，：“是直平行六面体”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有 个． 题型二　表面积与体积 例题 5．正四棱锥的所有棱长为a，则它的体积是 ． 巩固训练 6．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 7．若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 8．已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 题型三　简单几何体的计算、截面问题 例题 9．空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，DC的中点，则的值为 ． 巩固训练 10．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 11．若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 12．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 . 13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点p出发，绕圆锥爬行一周后回到点p处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥体积为 . 14．如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 . 15．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    16．如图，已知正四棱柱，､为上､下底面的中心，O为的中点.过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为 . 17．已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 题型四　简单几何体的应用 例题 18．已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为 米.（取，结果精确到个位） 巩固训练 19．一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）.图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为E，F，，，则 .    20．半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为 . 题型五　空间位置关系与计算 例题 21．在棱长为1的正方体中，是的中点，若都是上的点，且是上的点，则三棱锥的体积是 . 巩固训练 22．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .    23．如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 24．如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积 ．    25．如图，PA⊥平面，，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求四棱锥的侧面积． 26．如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为18． (1)求正三棱柱的体积； (2)若D是AB的中点，求异面直线与BC所成的角的大小． 27．已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 题型六　多面体与旋转体 例题 28．三棱锥中，，，，，若三角形和都是等腰直角三角形，则，，可能的不同取值有 种. 巩固训练 29．2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到） 30．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有 条． 题型七　切接问题 例题 31．已知三棱锥中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为 ． 巩固训练 32．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 33．如图所示，在梭长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 . 题型八　其他问题 例题 34．三棱锥中，点是斜边上一点．给出下列四个命题： ①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形； ②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为； ③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2； ④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 巩固训练 35．如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（    ）． A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$