精品解析：山东省菏泽市成武县育青中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023—2024学年度九年级寒假开学数学试题 注意事项： 1．本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟． 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 在实数2，3，4，5中，比小的数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，立体图形的俯视图是　　 A. B. C. D. 4. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于不等式组的整数解恰有3个，则取值范围为（ ） A. 1＜≤2 B. 2＜≤3 C. 1≤＜2 D. 2≤＜3 6. 如图，中，，与的平分线交于点P，过P作的平行线，分别交，与点M，N，则图中等腰三角形的总个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，已知线段利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点AB为圆心，以m长为半径作弧，两弧相交于点C和D． ②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． 则m的长可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 9. 若，则_____． 10. 据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为_____千瓦． 11. 若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________． 12. 一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示，当ρ＝2.5kg/m3时，V=_________． 13. 如图，已知，，，，则的度数是__________． 14. 如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____． 三．解答题（共10小题，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 15 计算：. 16. 先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 17. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 18. 项目学习，请你根据活动小组测得的数据，求世纪之舟的高（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 项目 内容 课题 测量吉林市“实际之舟”的高度 示意图 如图，用测角仪在点处测得“世纪之舟”顶端的仰角是，前进一段距离到达点，用测角仪测得“世纪之舟”顶端的仰角是，且、、在同一直线上． 测量数据 度数 的度数 长度 测角仪，的高度 50米 米 19. 越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈．某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10000元． A、B两种型号车今年的进货和销售价格表： A型车 B型车 进货价 1100元/辆 1400元/辆 销售价 ？元/辆 2000元/辆 （1）今年A型车每辆售价为多少元？ （2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最多？ 20. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 21. 某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________； （3）已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________； （4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人． 22. 如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点M，若，求的长． 23. 如图1，在中，，，点D是的中点，连接，点E是上一点，连接并延长交于点F． （1）若点F是中点，求证：； （2）如图2，若， ①求证：； ②猜想的值并写出计算过程． 24. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标； （3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度九年级寒假开学数学试题 注意事项： 1．本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟． 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 在实数2，3，4，5中，比小的数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】首先把2，3，4，5分别写成算术平方根的形式，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵22＝4，32＝9，42＝16，52＝25， ∴2＝，3＝，4＝，5＝， ∵4＜8，9＞8，16＞8，25＞8， ∴2＜，3＞，4＞，5＞， ∴在实数2，3，4，5中，比小的数的个数有1个： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是把2，3，4，5分别写成算术平方根的形式． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项的运算法则即可判断． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是解题的关键． 3. 如图，立体图形的俯视图是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：立体图形的俯视图是C．故选C． 考点：简单组合体的三视图． 4. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是， ∴右侧交点横坐标的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键． 5. 若关于的不等式组的整数解恰有3个，则取值范围为（ ） A. 1＜≤2 B. 2＜≤3 C. 1≤＜2 D. 2≤＜3 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据已知条件，原一元一次不等式组的整数解恰有3个，确定该不等式组解集的公共解集，进而求得的取值范围． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 根据题意，不等式组的整数解恰有3个，可知其整数解为：-1，0，1 因此． 故选：Ａ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、不等式的解集等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，中，，与的平分线交于点P，过P作的平行线，分别交，与点M，N，则图中等腰三角形的总个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，根据平行线的性质即可证明，得到，则是等腰三角形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到都是等腰三角形，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形一共有5个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 7. 如图，已知线段利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点AB为圆心，以m的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． ②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． 则m的长可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：由题意可得：， 即， 故选：A 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），熟练掌握基本作图是解题的关键． 8. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用图像与y轴交点位置得，则可对①进行判断；利用对称性可判断点A在点的左侧，当时，，可对②进行判断；利用点，，可得代入抛物线解析式可对③进行判断；利用对称性得代入抛物线解析式可对④进行判断；从而得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ， 故①正确； 点B到对称轴的距离大于2， 点A到对称轴的距离大于2， 点A在的左侧， 当时，， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 故③错误； 点A与点B关于直线对称， ， 是关于x的一元二次方程的一个根， 故④正确； 故正确选项是①②④共3个． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，抛物线与坐标轴交点，二次函数图像上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 9. 若，则_____． 【答案】30 【解析】 【分析】先因式分解，再把已知条件代入计算即可． 【详解】解：2ab(a-b)， ∵ab=3，a-b=5， ∴原式=2×3×5 =30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握用提公因式法分解因式是解题的关键． 10. 据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为_____千瓦． 【答案】1.82×107 【解析】 【详解】18200000=1.82×107， 故填：1.82×107. 11. 若关于的分式方程有正整数解，则整数为____________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x-2），把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得， x-4=-kx， 整理得，（1+k）x=4， 所以， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴1+k=1或1+k=2或1+k=4， 解得k=0或k=1或k=3， 检验：当k=0时，x=4，此时x-2≠0，符合题意； 当k=1时，x=2，此时x-2=0，不合题意，舍去； 当k=3时，x=1，此时x-2≠0，符合题意； 所以k=0或3． 故答案为：0或3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 12. 一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示，当ρ＝2.5kg/m3时，V=_________． 【答案】2.4; 【解析】 【分析】首先设V＝，再把（1.5,4）代入可求得k的值，进而可得解析式；再把ρ＝2.5代入函数解析式可得到V的值. 【详解】设V＝，∵图像经过点（1.5,4）， ∴4＝ ，解得k＝6， ∴V＝ 把ρ＝2.5代入V＝可得：V＝2.4. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质. 13. 如图，已知，，，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，根据平行线性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，求出∠CAE＋∠ACE＝180°−（2x＋2y），求出∠AEC＝2（x＋y），∠AFC═2（x＋y），即可得出答案． 【详解】解：连接AC， 设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°， ∴∠CAE＋3x＋∠ACE＋3y＝180°， ∴∠CAE＋∠ACE＝180°−（3x＋3y），∠FAC＋∠FCA＝180°−（2x＋2y） ∴∠AEC＝180°−（∠CAE＋∠ACE） ＝180°−[180°−（3x＋3y）] ＝3x＋3y ＝3（x＋y）， ∠AFC＝180°−（∠FAC＋∠FCA） ＝180°−[180°−（2x＋2y）] ＝2x＋2y ＝2（x＋y）， ∴∠AEC＝∠AFC＝129°． 故答案为：129°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形内角和定理求解是解答此题的关键． 14. 如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____． 【答案】（210，﹣210） 【解析】 【分析】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得点A1的坐标为（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得点A2的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐标，即可找到规律，据此即可求得． 【详解】解：当x＝1时，y＝2， ∴点A1的坐标为（1，2）； 当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2， ∴点A2的坐标为（﹣2，2）； 同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…， ∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1）， A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）． ∵20＝4×4+4， ∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）． 故答案为：（210，﹣210）． 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键． 三．解答题（共10小题，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 15. 计算：. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案. 【详解】解：原式 . 【点睛】此题主要考查了实数负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键. 16. 先化简再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），原式 （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式，去括号法则，积的乘方运算法则，将括号展开，再合并同类项，最后将代入计算即可； （2）先将括号内进行通分，分子分母能因式分解的先因式分解，除法改写为乘法，再进行化简，最后根据分式有意义的条件，求出x的值，将其代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，原式． 17. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 项目学习，请你根据活动小组测得的数据，求世纪之舟的高（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 项目 内容 课题 测量吉林市“实际之舟”的高度 示意图 如图，用测角仪在点处测得“世纪之舟”顶端的仰角是，前进一段距离到达点，用测角仪测得“世纪之舟”顶端的仰角是，且、、在同一直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 测角仪，的高度 50米 米 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， 设米，在中，利用正切定义求出米，在中，利用正切定义求出米，证明四边形、均为矩形，然后利用矩形的性质求解即可． 【详解】解：设米． 在中，， ； 在中，， ， ． ，，， ∴四边形为矩形， 同理，四边形为矩形． ，即，， ． 答：世纪之舟的高为米． 19. 越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也激烈．某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10000元． A、B两种型号车今年的进货和销售价格表： A型车 B型车 进货价 1100元/辆 1400元/辆 销售价 ？元/辆 2000元/辆 （1）今年A型车每辆售价为多少元？ （2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最多？ 【答案】（1）今年A型车每辆售价为1600元 （2）当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多 【解析】 【分析】（1）根据A型车今年与去年售价之间的关系设未知数，利用“A型车今年与去年销售数量相同”的等量关系建立分式方程，并求解． （2）设A型车数量为a，根据获利=（售价-进价）×销量，列出获利w与a之间函数关系式，在a的取值范围下运用函数增减性解决利润最大问题即可． 【小问1详解】 解：设今年A型车每辆售价为x元，由题意得， 解得x=1600， 经检验，x=1600是原方程的解，且符合题意， 答：今年A型车每辆售价为1600元． 【小问2详解】 解：设计划新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆， 由题意得60-a≤2a，即a≥20，又a≤60 故20≤a≤60 设这批越野自行车售出后获利w元， 则w=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a） ∴w=-100a+36000（20≤a≤60） ∵-100＜0， ∴w随着a的增大而减小，要使获利w最大，即a取最小值20， ∴60﹣a＝60﹣20＝40（辆）， 答：新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，需要注意分式方程的解要进行检验，在自变量的范围内，运用一次函数增减性求解函数最值是解题的关键． 20. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 21. 某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________； （3）已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________； （4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人． 【答案】（1）抽样调查； （2）300，30 （3） （4）3000 【解析】 【分析】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查； （2）读图可得，A组有45人，占15%，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘100%即可得出答案； （3）根据概率公式计算即可； （4）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可； 【小问1详解】 根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查； 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 教育局抽取的初中生人数为：（人） B组人数为： ∴B组所占的百分比为： ∴ 小问3详解】 ∵9名初中生中有5名男生和4名女生， ∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是 【小问4详解】 样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比 ∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 22. 如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点M，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，通过证明得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，如图，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，然后证明，再利用相似比计算的长． 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， 设的半径为，则，， 在中，，解得， 在中，， ， ， ， ，即， ． 23. 如图1，在中，，，点D是的中点，连接，点E是上一点，连接并延长交于点F． （1）若点F是中点，求证：； （2）如图2，若， ①求证：； ②猜想的值并写出计算过程． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②，计算过程见解析 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （2）①连接CE，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，，得出，则可得出结论； ②由①可得出AF和CF的值，化简的比值则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点D是的中点，点F是中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 ①证明：连接， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，； 设，则，， ∴， ∴， ∴； ②解：猜想：， 理由如下： ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标； （3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），P点的坐标为 （3）存在，，；，；， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可； （2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标； 方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标； （3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵，对称轴为直线，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：方法一：连接OP， 设，易知，， ∵，， ∴四边形PABC的面积， ∴ 又∵， ∴ ∴当时，， ∴此时P点的坐标为； 方法二：易知，，故直线AC的方程为 设， ∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q， ∴， ∵点P在AC上方， ∴， ∴ ， ∴四边形PABC面积， ∴当时，S有最大值， ∴此时P点的坐标为． 【小问3详解】 存在点N． ①当N在y轴上时， ∵四边形PMCN为矩形， 此时，，； ②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则， ∴， ∵四边形PMCN为矩形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点M在对称轴上，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴P点的坐标为， ∵P点在抛物线上， ∴ 解得，（舍）， ∴，； ③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则， ∴， ∵四边形PMCN为矩形时， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点M在对称轴上，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴P点的坐标为， ∵P点在抛物线上， ∴ 解得（舍），， ∴，， 综上：，；，；， 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$