精品解析：山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期期末数学试题

怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期期末考试 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式展开式的常数项为（ ） A. B. 70 C. D. 4. 相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数越接近，变量相关性越强 B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C. 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得最小值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 11. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 13. 已知函数在时取得极大值4，则______． 14. 设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_____________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． （1）求m的值； （2），不等式恒成立，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 17. 已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． （1）求的值，并证明为奇函数． （2）若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 18. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； （2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． 19. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： （2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期期末考试 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项. 【详解】，，，. 故选：D. 3. 二项式展开式的常数项为（ ） A. B. 70 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，令得出后代入计算即可得. 【详解】， 令，即，故， 即展开式的常数项为. 故选：D. 4. 相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以， 因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近， 所以. 故选：D. 5. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案. 【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓， 当时，，且的值随x的增大逐渐增大， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭， 结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象， 故选：D 6. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 详解】由题意，． 故选：A． 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 8. 已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解． 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有． 因为，都有，所以， 所以，又函数的图象在x轴上方， 所以，所以，即函数的周期为4． 当，可得，所以， 当，可得，所以，所以， 所以. 故选：C． 二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数越接近，变量相关性越强 B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C. 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相关系数与决定系数的意义分析判断即可. 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得最小值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 11. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项． 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得. 【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法， 再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法， 所以不同站法的种数为. 故答案为：24 13. 已知函数在时取得极大值4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 14. 设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，即可得到，则不等式，即，再根据指数函数的性质得到，解得即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则，所以，又，所以， 所以，则， 所以不等式，即，即，即， 即，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． （1）求m的值； （2），不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可. （2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可. 【小问1详解】 或， 又因为函数在上单调递增， ，（舍）， ，. 【小问2详解】 ，恒成立， ，恒成立． 令，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 故． 16 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，，则， ∴，， 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得当时，恒成立， ∴在时恒成立， ∵，则，由于二次函数上单调递减， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围是． 17. 已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． （1）求的值，并证明为奇函数． （2）若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 【答案】（1）；证明见解析 （2）证明见解析；解集为 【解析】 【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可. （2）证明的单调性，再由单调性解不等式. 【小问1详解】 令，得， 又函数的值域为，∴． ∵， ∴， ∴， ∴为奇函数． 小问2详解】 任取，． ． ∵，∴． ∵当时，，∴，∴． 又函数的值域为， ∴，即， ∴为上的增函数． 由，即，化简得． ∵， ∴，∴． 又为上的增函数，∴， 故的解集为． 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究： ①赋值法求特定元素的函数值； ②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性； ③利用单调性解相关表达式. 18. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 （1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； （2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）， （2）的分布列为 2 3 4 期望为 【解析】 【分析】（1）的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用的概率为求出的值； （2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成的分布列. 【小问1详解】 因为总共抽取100人进行调查，所以， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为， 所以． 【小问2详解】 从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4. 则， ， ． 所以的分布列为 2 3 4 所以. 19. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： （2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）45 （2）（i） 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 有； （ii） 【解析】 【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得； （2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为， 年龄在50岁以下的居民所占比例为， 所以分位数位于内， 由， 所以，样本数据的分位数为45； 【小问2详解】 （i）由题知，列联表： 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 根据列联表中的数据，可得： 所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联； （ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为， ， ， 所以， 所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $