山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 怀仁市大地学校2023-2024学年度下学期期末考试 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为 A．7 B．12 C．18 D．24 2．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．二项式展开式的常数项为 A． B．70 C． D． 4．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则 A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是 A．   B．   C．   D．   6．设随机变量X的分布列为，，则的值为 A． B． C． D．. 7.已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是 A． B． C． D． 8.已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且， 则 A．3 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是 A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 10． 对于函数，下列说法正确的有 A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是 A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ． 13．已知函数在时取得极大值4，则 ． 14．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值； (2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围 16．（15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 17.（15分）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． (1)求的值，并证明为奇函数． (2)若，， 且，证明为上的增函数，并解不等式． 18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； (2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． 19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页） 数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) 怀仁市大地学校2023-2024学年下学期期末考试 ( 姓 名： _________________________________________ )高二数学·答题卡 ( 考 号： ) ( 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 ) ( 贴条形码区 ) ( 注意事项 ) ( 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 ， 错误填涂 [ × ] [ √ ] [／] ) ( 一、选择题（共 58 分） 1 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 0 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 1 ． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1 2 . 1 3 . 1 4 . 三、解答题（ 共7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 . （1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 . （1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 . （1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 . （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 本 区 域 禁 止 作 答 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（    ） A．7 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】 根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】 从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建南平·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项. 【详解】，，，. 故选：D. 3．（23-24高二上·辽宁·期末）二项式展开式的常数项为（    ） A． B．70 C． D． 【答案】D 【分析】由，令得出后代入计算即可得. 【详解】， 令，即，故， 即展开式的常数项为. 故选：D. 4．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由散点图得负相关，所以， 因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近， 所以. 故选：D. 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】 根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案. 【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓， 当时，，且的值随x的增大逐渐增大， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭， 结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象， 故选：D 6．设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，． 故选：A． 7.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【解答过程】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B. 8（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解． 【解答过程】因为的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有． 因为，都有，所以， 所以，又函数的图象在x轴上方， 所以，所以，即函数的周期为4． 当，可得，所以， 当，可得，所以，所以， 所以. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（    ） A．相关系数越接近，变量相关性越强 B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【答案】BD 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABD 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西渭南·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ． 【答案】24 【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得. 【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法， 再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法， 所以不同站法的种数为. 故答案为：24 13．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 14．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 . 【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，即可得到，则不等式，即，再根据指数函数的性质得到，解得即可. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则，所以，又，所以 ， 15．（13分）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值； (2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围 【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可. （2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可. 【解答过程】（1）或， 又因为函数在上单调递增， ，（舍）， ，. （2），恒成立， ，恒成立． 令，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 故． 16．（15分）（23-24高二上·河北沧州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】（1） 当时，，则， ∴，， 曲线在点处的切线方程为，即． （2） 由题意得当时，恒成立， ∴在时恒成立， ∵，则，由于二次函数在上单调递减， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围是． 17.（15分）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． (1)求的值，并证明为奇函数． (2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 【解题思路】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可. （2）证明的单调性，再由单调性解不等式. 【解答过程】（1）令，得， 又函数的值域为，∴． ∵， ∴， ∴， ∴为奇函数． （2）任取，． ． ∵，∴． ∵当时，，∴，∴． 又函数的值域为， ∴，即， ∴为上的增函数． 由，即，化简得． ∵， ∴，∴． 又为上的增函数，∴， 故的解集为． 18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表： 年龄段（单位：岁） 被调查的人数 10 15 20 25 5 赞成的人数 6 12 20 12 2 (1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值； (2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以， 因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以． （2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4. 则， ， ． 所以的分布列为 2 3 4 所以. 19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： (2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)45 (2)（i）列联表见解析；有；（ii） 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为， 年龄在50岁以下的居民所占比例为， 所以分位数位于内， 由， 所以，样本数据的分位数为45； （2）（i）由题知，列联表为： 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 根据列联表中的数据，可得： 所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联； （ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为， ， ， 所以， 所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$