精品解析：河南省信阳市罗山县实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年罗山县实验中学九年级（下）开学调研 数学试卷 命题人：陈平平 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 车辆到达路口，遇到绿灯 B. 任意画一个五边形，其外角和是 C. 在标准大气压下，水的温度达到时水沸腾 D. 图形在旋转过程中面积不变 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是两条切线，切点分别是A，B，已知，，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 8. 点A()、B()、C()是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若，，则，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________． 12. 若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为__________． 13. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算 （2）解方程： 17. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都隆重开幕．某中学组织学生观看7月30日的比赛项目，某班数学兴趣小组为了解本班同学当日最期待观看的比赛项目，设计了一份调查问卷，要求每人只选一种最喜欢的比赛项目．将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）该班共调查了__________人；在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整．若该中学共有1800人，请估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数； （3）在观看比赛项目当天，张强，王东都想从“武术”，“射击”，“柔道”三种比赛项目中选一种项目进行观看，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ； （2）画出绕点O按顺时针旋转后图形，并直接写出的坐标 ； （3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 20. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，点在的延长线上，，，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 图1 素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米． 图2 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值． 任务3 分析计算 喷泉口A升高最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 23. （1）在中，，，，点，分别在，边上，且，，设，所在直线的夹角为． 填空：________，______． 拓展探究 （2）将绕点逆时针旋转，连接，，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情形给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在（1）的条件下，绕点逆时针旋转的过程中，当，，三点共线时，请直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年罗山县实验中学九年级（下）开学调研 数学试卷 命题人：陈平平 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，熟知定义是解本题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论． 【详解】解：从左到右，第二、第三、第四个图形是中心对称图形，第一个图形不是中心对称图形．故中心对称图形有3个． 故选：B． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 车辆到达路口，遇到绿灯 B. 任意画一个五边形，其外角和是 C. 在标准大气压下，水的温度达到时水沸腾 D. 图形在旋转过程中面积不变 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一分析即可． 【详解】解：A、车辆到达路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项正确； B、任意画一个五边形，其外角和是，是必然事件，故本选项错误； C、通常加热到时，水沸腾是不可能事件，故本选项错误； D、图形在旋转过程中面积不变，是必然事件，故本选项错误； 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 的取值范围是且， 故选：D． 4. 将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法求概率，画出树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种，再由概率公式求解即可，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“中国”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率为， 故选：B． 5. 如图，是两条切线，切点分别是A，B，已知，，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理以及弧长的求解，由切线的性质推出，求出，由弧长公式即可得到的长． 【详解】解：∵是两条切线，切点分别是A，B， ∴半径，半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长， 故选：D． 6. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转得到，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求出． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ， , ， ． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 8. 点A()、B()、C()是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意确定反比例函数图象所在象限，并确定每个象限内图象的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】反比例函数， 函数图象在二、四象限，并且在每个象限内随的增大而增大， ， 、两点在第四象限，在第二象限， ，， ． 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图象的增减性，能够准确判断反比例函数图象所在象限，并且在每个象限内的增减性是解决本题的关键． 9. 如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似； 图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似； 图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似； 图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似； 综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若，，则，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称轴为直线，抛物线开口向下，当时取得最大值，即可判断①③，根据时，，即可判断②，根据对称性即可判断④． 【详解】∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，所以①正确； ∵时， 即 ∴，故②不正确； 抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴函数的最大值为， ∴（m为任意实数），即，故③不正确； ∵，，对称轴为直线，则， 故④正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．根据点关于原点对称的点的坐标为，求出a、b，进而可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为__________． 【答案】0或-1 【解析】 【分析】分类讨论，当时，原方程为一次函数，与轴有一个交点；当，判别式为0. 【详解】∵函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点 当， 即 ，此时； 当，原函数为y＝﹣2x+1与轴有一个交点，此时. 故答案为：0或-1. 【点睛】根据函数图像与轴有一个交点，二次项含参数进行分类讨论. 13. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y轴平行，，，可得A、C坐标，根据反比例函数图象过点A、C，可得关于m的方程，即可求出m的值，进而可求出k值．正确表示出点A、C的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，， ∴，， ∵反比例函数的图象同时经过点A与点C， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，矩形的性质，根据平移的规律得到平移后的函数解析式，再根据矩形的性质得，由于的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到的最小值． 【详解】∵， ∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， 而轴， ∴的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8， ∴对角线的最小值为8． 故答案为：8． 15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算 （2）解方程： 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程的求解，熟练掌握各运算法则和一元二次方程的解法是解答的关键． （）先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数和二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可； （）根据解一元二次方程解法解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都隆重开幕．某中学组织学生观看7月30日的比赛项目，某班数学兴趣小组为了解本班同学当日最期待观看的比赛项目，设计了一份调查问卷，要求每人只选一种最喜欢的比赛项目．将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）该班共调查了__________人；在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整．若该中学共有1800人，请估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数； （3）在观看比赛项目当天，张强，王东都想从“武术”，“射击”，“柔道”三种比赛项目中选一种项目进行观看，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 【答案】（1）60， （2）图见解析；估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数为300人； （3）两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图． （1）用最喜欢武术的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以喜欢水球的人数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数； （2）先求得观看“射箭”和“柔道”比赛项目的学生人数，即可将条形统计图补充完整；再用1800乘以样本中最喜欢射击的人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人恰好抽到同一比赛项目的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：（人）， 所以该班共调查了60人； 在扇形统计图中，表示“水球”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：60，； 【小问2详解】 解：观看“射箭”比赛项目的学生人数（人）， 观看“柔道”比赛项目的学生人数（人）， 补全图形如图： （人）， 所以估计该中学学生最期待观看“射击”比赛项目的学生人数为300人； 小问3详解】 解：画树状图为：（用、、分别表示“武术”，“射击”，“柔道”三种比赛项目） 共有9种等可能的结果，两人恰好选择同一种比赛项目的结果数为3种， 所以两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形，并直接写出的坐标 ； （3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图一旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案． 【小问1详解】 如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求.点的坐标为， 故答案为:； 【小问3详解】 如图, 连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的， ∵点的坐标为， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 20. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】17.4m 【解析】 【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可． 【详解】解：设佛像的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部为， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， ∴tan∠DAC= = ≈0.77， 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴佛像的高度约为17.4m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，点在的延长线上，，，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）连接，由为直径， ，由，得出，得出，由，得出，得出，由为半径，得出是的切线； （2）连接，由，设，，则，由，，得出，得出，由，得出，得出，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，连接， ， 设，，则， ，， ， ∴， ， ， ， ， ，即的半径为． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 图1 素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米． 图2 问题解决 任务1 建立模型 以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值． 任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． 任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式； 任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值； 任务3:：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解． 【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为， 可设抛物线的函数表达式为， 抛物线过， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 任务2：由题意，喷泉池的半径为米， 令，则， 喷水口升高的最小值为米； 任务3：当向上平移个单位， 则， 令，， 解得：，（舍去）， 米， 建议花卉的种植宽度为米． 23. （1）在中，，，，点，分别在，边上，且，，设，所在直线的夹角为． 填空：________，______． 拓展探究 （2）将绕点逆时针旋转，连接，，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情形给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在（1）的条件下，绕点逆时针旋转的过程中，当，，三点共线时，请直接写出点到的距离． 【答案】（1），2；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）满足条件的的值为或． 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出，的值即可； （2）如图2中，结论仍然成立．利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）分两种情形分别画出图形，利用三角函数的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图1中， 在中，，， ， ， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：，2； （2）如图2中，结论仍然成立． 理由：， ， ， ， ， ； （3）①如图中，作于，交的延长线于． 在中，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ； ②如图中，由， 可得：， ， 综上所述．满足条件的值为或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$