精品解析：浙江省温州市洞头区第一中学2024-2025学年新高一分班考数学试题

2024级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1.试卷分值：100分；建议时长：90分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 下图中可表示函数图象是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 4. “黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知不等式的解集为， 则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 6. 关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EFAC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若．且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于x的不等式的解集可以是 B. 关于x的不等式的解集可以是 C. 函数在上可以有两个零点 D. “关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 12. 已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 用列举法表示集合为：___________. 14. 分解因式__________． 15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 16. 设函数，当时，恒有成立，则的最小值为__________. 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17. 集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a取值范围． 18. 某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产视频设备该月内能全部售完. （1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润. 19. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1.试卷分值：100分；建议时长：90分钟； 2.请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算的定义求解即可. 【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故. 故选：D 2. 下图中可表示函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AC选项为偶函数，B选项满足要求，D选项不满足单调性. 【详解】A选项，的定义域为， 故，故为偶函数，A错误； B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在上单调递减，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：B 4. “黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可； 【详解】解：“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”， 由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件， 故选：． 5. 已知不等式的解集为， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系可求得，且，代入解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知和1是方程的两实数根，且 由韦达定理可知，解得； 所以不等式可化为，即； 解得，所以不等式的解集为 故选：C 6. 关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值. 【详解】由题意可知，可得， 由韦达定理可得，因为，则， 原方程为，所以，， 故， 因此，. 故选：B. 7. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EFAC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，由面积公式可求与的函数关系，即可求解． 【详解】解：当点在上时， 四边形是正方形，边长为2， ，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 当点在上时，同理可得：，， 故选：B 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若．且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 10. 对于实数，下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断. 【详解】A：当时，不成立，错误； B：由，有，则，正确； C：由，则，错误； D：若或，有，与题设矛盾，故，正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于x的不等式的解集可以是 B. 关于x的不等式的解集可以是 C. 函数在上可以有两个零点 D. “关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 12. 已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分析二次函数在时的增减性，结合的最大值是可求得实数的值. 【详解】二次函数图象对称轴为直线. ①当时，即当时，当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，即，解得，合乎题意； ②当时，即当时，当时，取得最大值， 即，即，解得或（舍）； ③当时，即当时，当时，随着的增大而增大， 当时，取得最大值，即，解得（舍）. 综上所述，或. 故选：AC. 三、填空题 13. 用列举法表示集合为：___________. 【答案】 【解析】 【分析】对、的符号进行分类讨论，求出的值，即可得出所求集合. 【详解】分以下几种情况讨论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时， 综上所述，. 故答案为：. 14. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过拆项，结合分组分解法，提公因式法，完全平方公式分解因式即可. 【详解】 故答案为：. 15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 16. 设函数，当时，恒有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，和比较系数，求得x的值，结合恒成立，即可求得答案. 【详解】由题意得， 令，解得或， 当时，，即， 当时，，则， 验证：时，，，即时， 取到最小值， 故答案为： 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17. 集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据补集和交集的概念可求出结果； （2）分类讨论，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 若，则， 由得，得，则， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得，此时满足； 当时，，解得， 综上所述：a的取值范围为. 18. 某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完. （1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润. 【答案】（1） （2）当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元 【解析】 【分析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可； （2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，． 【小问2详解】 当时，， 当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． 当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元 19. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值； （2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围. 小问1详解】 因为为偶函数， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，解得， 当时，得，由于不恒为，故不满足题意； 当时，得； 经检验，当时，， 所以，易知的定义域为，关于原点对称， 又易得，所以为偶函数， 综上：. 【小问2详解】 因为对任意的，都存在使得， 所以， 因为，所以，则， 令，则，， 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以当时，，则， 当时，，则， 综上：当时，；当时，， 所以当时，有，解得或，故； 当时，有，解得或，故； 所以或，即. 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$