精品解析：天津市河东区2023-2024学年高二下学期期末数学试题

河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共11小题，每小题5分，共55分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义求解即得。 【详解】函数中，，解得或， 由为偶函数，得， 即， 整理得，即，而不恒为0， 所以. 故选：B 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算性质将三个值化简，再利用指数函数的单调性判断即得. 【详解】由，，， 因是增函数，故. 故选：C. 5. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件， 由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则, 而同时爱好两个项目的占，即， 则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为． 故选：A． 6. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 详解】由已知, ， 故选C. 7. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 8. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性质结合线线以及线面的位置关系可判断CD； 【详解】对于A，若，则或， 又，当时，在内必存在直线l和m平行，则； 当时，显然有，所以，故A正确； 对于B，若，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误； 对于C，若，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误； 对于D，若，则或，又，则或，故D错误. 故选：A. 9. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增， 因此函数的单调递减区间是，而函数在区间单调递减， 则，即，解得，所以a的取值范围是. 故选：D 10. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据，与临界值表对照判断. 【详解】解：因为，且， 所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关， 即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于， 故①②正确； 分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确； 故选：D 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 的面积为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C. 【详解】依题意，，，所以， 对于A，圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，圆锥的体积为，故B错误； 对于D，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，故D正确 对于C，，所以，故C错误； 故选：D 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2．本卷共11小题，共95分. 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 12. 计算（i为虚数单位）的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算计算即得. 【详解】. 故答案为： 13. 二项式展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 14. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解． 【详解】将个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98， 因为， 所以这人成绩的上四分位数是． 故答案为：． 15. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______. 【答案】0.6 【解析】 【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可. 【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以， 所以或． 由，得， 即， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可． 16. 已知正数x，实数y满足，则的最小值为______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 17. 在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为__________；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ； ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求出；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示列式，再利用增函数求出最小值. 【详解】在中，由，得； 由，得是矩形，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系， 则，设，， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 18. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共60分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中． （1）若，且，求边长c； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得. （2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得，即， ， 由于，所以，则， 由正弦定理得. 【小问2详解】 依题意，， 由正弦定理得， 由于，，所以， 由于，所以为锐角，所以， 则， ， 由正弦定理得， 所以. 20. 如图，在四棱锥中，底面 （1）若在侧棱上，且，证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）棱上取一点，使，证明四边形是平行四边形得到答案. （2）建立如图所示空间直角坐标系，则平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案. 【详解】（1）在棱上取一点，使，， ，则四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. (2)建立如图所示空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为则， 平面的一个法向量为，. 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 21. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称轴的方程为. 【小问2详解】 解：因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 当时，可得，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共11小题，每小题5分，共55分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3. 若为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 6. 为了研究某班学生脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为 A. B. C. D. 7. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 8. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 的面积为 D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2．本卷共11小题，共95分. 二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 12. 计算（i为虚数单位）的值为______. 13. 二项式的展开式的常数项是___________． 14. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数是________． 15. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______. 16. 已知正数x，实数y满足，则的最小值为______. 17. 在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为__________；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为______． 18. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 三、解答题：本大题共4小题，共60分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中． （1）若，且，求边长c； （2）若，求的面积． 20. 如图，在四棱锥中，底面 （1）若在侧棱上，且，证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 21. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若函数在存在零点，求实数取值范围. 22. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $