精品解析：江苏省南京市第二十九中学2023-2024学年九年级上学期期初测试数学试题

2023-2024学年九年级上学期南京市二十九中9月期初 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项等于0， ∴m-3≠0，， 解得：m=-3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为（a，b，c为常数且a≠0）． 3. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解． 【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根， ∴4+2b-c =0， ∴2b-c =-4． ∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解． 4. 已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的根有可能为0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意． 【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出，结论A正确，不符合题意； B、根据根与系数的关系可得出，结论B不一定正确，符合题意； C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论C正确，不符合题意； D、由，故方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键. 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 6. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为x，列方程为， 故选B． 7. 关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个． ①若中不含项，则； ②不论取何值，总有； ③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为； ④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】，中不含项，则，可判断①正确；举反例可判断②错误；由，得，可判断③正确；由得，即或，分别求出△的值，可判断④正确． 【详解】解：， 若中不含项，则， ，故①正确； 当时，，，此时，故②错误； 若关于的方程的两个解分别为，，则， ， 当时，的最小值是，故③正确； 由得， 或， 由得， △， 有两个不相同的实数根， 由得，△， 有两个不同的实数根， 始终有4个不相同的实数解，故④正确， 正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减及一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 8. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 二、填空题（每空3分，共27分） 9. 用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 已知实数x、y满足（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣3）＝0，则x2＋y2＝___． 【答案】3 【解析】 【分析】设x2+y2＝a，则原方程变形为（a+1）（a﹣3）＝0，运用因式分解法求得即可． 【详解】解：设x2+y2＝a， 则（a+1）（a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或a＝3， 当a＝﹣1时，x2+y2＝﹣1，不合题意，舍去； 故x2+y2＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 11. 一元二次方程的两根分别为和，那么将分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求出p、q的值，代入后即可分解因式. 【详解】解：由根与系数的关系可知：，，即，∴. ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和多项式的因式分解，易错点是容易弄错两根和的符号，熟知根与系数的关系和分解因式的方法是解题的关键. 12. 已知关于的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根分别为、，则（+3）（+3）=____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式化简，然后由根与系数的关系可得，，最后代入即可求得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求得，是解题的关键． 13. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_____ 【答案】-7 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系与方程解的概念得到，根据所求通过恒等变形求解即可． 【详解】解：、分别为一元二次方程的两个实数根， ， 由可得，即， ，即， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程根与系数关系、方程解的概念，根据所求代数式，准确将已知条件恒等变形求值是解决问题的关键． 14. 若关于x的方程有实数根，则k的范围是______；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是______． 【答案】 ①. ②. 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．先分两种情况：方程为一元一次方程或一元二次方程，再求解即可，根据方程有两个不相等的实数根可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，方程为一元一次方程，方程有实数根， 当时，即， ， 解得：， 综上：关于x的方程有实数根，则k的范围是； 方程有两个不相等的实数根， 且 解得：且， 故答案为：；且． 15. 如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．根据图知，绿地面积等于原来绿地面积减道路面积列出方程即可． 【详解】解：由题意，得， 故答案为： 16. 已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】利用，得出，且或，分情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意， ①+②得：， 整理得：， ①-②得：， 整理得：， ∴ 或． 当时，, ∴； 当时，, ∴； 综上，代数式的值为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查求代数式的值、分式的运算，利用到了平方式差公式及完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形、分式的运算法则，注意分类讨论，避免漏解． 三、解答题（共49分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用钥匙方法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后再运用因式分解法求解即可； （3）方程运用直接开平方法求解即可； （4）方程整理后运用因式分解法求解即可； （5）方程整理后运用因式分解法求解即可； （6）运用因式分解法求解即可 【小问1详解】 解： 或， ； 【小问2详解】 解： ， 或， ，； 【小问3详解】 解： ， ， ； 【小问4详解】 解： ， ， 或， ； 【小问5详解】 解： ， ， ， 或， ， 又， ； 【小问6详解】 解： ， 或， 或（无解）， ． 18. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根为x1，x2，且，求． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m＋4＝（m﹣2）2≥0， ∴一元二次方程总有两个实数根． （2）4或16 【解析】 【分析】（1）通过证根的判别式△≥0即可得出结论； （2）通过两根之积与两根之和的关系将x12+x22=10通过配方得，代入即可得10，求解得出m值，然后由=，最后把m值代入计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵x1，x2是方程x2＋mx＋m﹣1＝0的两个根 ∴ ∵ ∴ ∴10 ∴ ∴＝ 当时：＝4 当时： ∴的值为4或16 【点睛】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系． 19. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－，x1·x2＝． 【答案】 证法一： 由求根公式可得：x1＝，x2＝， ∴   x1＋x2＝ ＝ ＝－． x1·x2＝· ＝ ＝ ＝． 证法二： 设方程为a(x－x1)(x－x2)＝0， 展开得ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0， ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴－a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c． ∵a ≠ 0， ∴x1＋x2＝－， x1·x2＝． 【解析】 【分析】证法一：利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证． 证法二：方程为a(x－x1)(x－x2)＝0，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的推导过程，掌握求根公式是解题的关键． 20. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 21. 测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． （1）问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）小明和小刚走动秒使四边形的面积是矩形面积的 （2）存在，当或时，两人（点P与点Q）之间的距离为m 【解析】 【分析】本题考查几何动点问题，涉及勾股定理、列方程及解一元二次方程等知识，综合运用了一元二次方程的知识和勾股定理． （1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点应在上，才是四边形，根据路程速度时间，分别用表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，分情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的， 根据题意得，， 由题中矩形的面积是12，则，解得； 【小问2详解】 解：设两动点经过秒使得点与点之间的距离为， 当时，如图所示： ，即，解得或； ②当时，如图所示： ，即， 由，此方程无解； 综上所述，当或时，点与点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年九年级上学期南京市二十九中9月期初 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3 3. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 4. 已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的根有可能为0 5. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 6. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 7. 关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个． ①若中不含项，则； ②不论取何值，总有； ③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为； ④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共27分） 9. 用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是______． 10. 已知实数x、y满足（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣3）＝0，则x2＋y2＝___． 11. 一元二次方程的两根分别为和，那么将分解因式的结果为________． 12. 已知关于的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根分别为、，则（+3）（+3）=____. 13. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_____ 14. 若关于x的方程有实数根，则k的范围是______；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是______． 15. 如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为_________． 16. 已知两个非零实数a，b满足，，则代数式的值为______． 三、解答题（共49分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 18. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根为x1，x2，且，求． 19. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1＋x2＝－，x1·x2＝． 20. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 21. 测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动． （1）问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $