精品解析：福建省泉州市安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

安溪一中 养正中学 惠安一中 泉州实验中学 2024年春季高二年期末联考试卷 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】，， 所以. 故选:C． 2. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】 函数求导，判断单调性，求得最小值得解. 【详解】由题意得，. 令，得. 当时，单调递减；当时，单调递增. 因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为. 故选：C. 【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律： (1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 3. 设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图， 考点：双曲线方程及性质 4. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 5. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点： x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断. 【详解】解：由题意可知，，， 所以回归方程的样本中心点为， 因此有， 所以， 在收集的5个样本点中，一点在上，故计算残差为0的样本点是. 故选：C. 6. 羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可. 【详解】由甲获胜的概率为， 而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为， 所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 故选：A 7. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人 a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出7.879比较即可. 【详解】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表: 男性 女性 合计 喜爱足球 不喜爱足球 合计 , 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有 ,即, 解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数, 故的最小值为12. 故选:C. 8. 已知函数，若有两个极值点，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有两个极值点，则方程有两个实根，设，利用导数研究单调性，作出函数图像，可知，，随a的减小而增大，当时解得，可求实数a的取值范围. 【详解】，有两个极值点，则有两个零点， 即方程有两个实根，也即方程有两个实根， 令，则， 所以解得，解得， 从而在上单调递增，在上单调递减， 时；时，， 据此可作出函数的图像如下：    首先当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 其次，由图可知，且当时，随a的减小而增大， 不妨考虑的情形，此时，因为，所以， 将代入得：，两式相除得，故，即． 所以当且仅当时，有两个极值点、且． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的逸项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值是3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得，判断A，将变形为结合基本不等式，判断B，由整理得到结合基本不等式可判断CD. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 由， 即，解得， 即，A错误； 对于B， 由，,， 当且仅当时取等号， 得， 所以, 又， 所以，即， 故B正确； 对C选项，因为，,， 得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确， 对于D, C选项知：， 则 ， 当且仅当，即时等号成立,但， 所以．（等号取不到）,故D错误； 故选：BC. 11. 甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出各自的概率为，然后利用数学期望的定义证明，再逐一验证选项即可. 【详解】只可能取，记分别表示事件，它们发生的概率分别为，这里是非负整数.（事实上，） 则，，且 ； ； . 故，，. 由于， 而，故，即. 而, 所以， 而，故，即. 又因为，，故. 这就得到了，所以. 从而有，而，故. 综上，我们得到了如下结论： ①； ②； ③. 回到原题. 对于A，由①知，故A正确； 对于B，由②知，故B错误； 对于C，由①知，故是等比数列，故C正确； 对于D，由③知，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数列的求解，需要灵活运用等比数列工具. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，项的系数为__________． 【答案】210 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，代入通项公式中可求得结果. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数为， 故答案为：210 13. 在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】由题意，分别求出此人来自A，B，C三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率. 【详解】设事件D为“从这三个地区中任意选取一人，此人是患流感者”，事件，，分别表示此人来自A，B，C三个地区， 由题意得，，， ，，， 由全概率公式得 . 故答案为：. 14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 不等式等价变形，利用同构函数的单调性得解 【详解】 令，， ∴在上单调递增.∵，， ∴，∴恒成立， 令，只需，， ∴单调递增， ∴单调递减， 时，的最大值为， ∴，∴的最小值为. 故答案为： 【点睛】不等式等价变形，同构函数是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设，求前项和． 【答案】（1），．（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，可求得，从而求出公差，由此可写出通项公式以及前项和； （2）写出数列的通项公式，利用并项求和的方法，求其前项和. 【详解】解：（1）由得． 又因为，所以， 所以，． （2）． ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，通项公式及前项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于中档题. 16. 已知函数， （1）若，求函数在处的切线方程： （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程； （2）按照、和讨论，分离参数，构造函数，借助导数，得到在的最值，得到答案. 【小问1详解】 当时，，， ，所以， 所以在处的切线方程，即 【小问2详解】 时，恒成立，即恒成立 ①时，，恒成立 ②时，恒成立，即 令 令时，，即恒成立， 则在单调递增，，所以时， 时，，所以恒成立，即 在单调递减，，所以，所以； ③时，恒成立，即， 由②可得在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上，. 17. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （1）求a的值； （2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； （3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1） （2）估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093 （3）这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数， （3）求出超几何分布的分布列，即可求解期望. 【小问1详解】 由题意得， 解得． 【小问2详解】 由题意知样本的平均数为， 所以． 又，所以． 则， 所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093． 【小问3详解】 对应的频率比为，即为， 所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3， 设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ，，， 所以． 则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1． 18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称， 所以， 所以， 所以，解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 点在椭圆上，且垂直于轴，则有 设椭圆的焦距为，则， 点代入椭圆方程，有， 解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， ， 所以， 所以 令， 则，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 【答案】（1）是的控制函数 （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可； 【小问1详解】 当时，令， 所以，令解得或， 所以在单调递减， 又因为，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以由题意是的控制函数. 【小问2详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线为，整理得， 令，则， 令解得，所以在单调递增，在单调递减， 又，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以是的控制函数， 由题意. 【小问3详解】 由题意 设在处的切线为， 则，因为 且， 所以， 所以， ， 所以， 则即恒成立， 所以函数必是函数的“控制函数”. 是函数的“控制函数” 此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点， 由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有， 所以或. 所以曲线在处的切线过点，且， 当且仅当或时，. 【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安溪一中 养正中学 惠安一中 泉州实验中学 2024年春季高二年期末联考试卷 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 A. 2 B. C. D. 3 4. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 5. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点： x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 6. 羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人 a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知函数，若有两个极值点，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的逸项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值是3 11. 甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，项的系数为__________． 13. 在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为______. 14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设，求前项和． 16. 已知函数， （1）若，求函数在处的切线方程： （2）若恒成立，求实数的取值范围. 17. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （1）求a的值； （2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； （3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $