第二章 有理数 第2.5节 有理数的乘法与除法-2024-2025学年七年级数学上册培优全攻略（苏科版2024）

苏科2024新版第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．掌握有理数乘法法则即多个有理数相乘的符号法则； 2．掌握有理数乘法的运算律，并能灵活运用运算律简化运算； 3．掌握有理数除法法则； 4.能熟练地进行有理数的乘除混合运算； 5.感悟转化数学思想的运用。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——你知道乘号“×”除号“”究竟是谁发明的？ 乘号“”除号“” 1． 英国数学家威廉·奥特雷德于1631年在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行 。 英国数学家威廉·奥特雷德 德国哲学家、数学家莱布尼茨 2.莱布尼茨于1698年7月29日给约翰·伯努利的一封信内提出以圆点“·”表示乘，以防“×”号与字母“X”混淆。 莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。 他本人是一名律师，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和艾萨克·牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还发现并完善了二进制。 3. 2023年盛夏，在湖北荆州楚故都纪南城遗址以东约1公里的一处东周时期墓地内，一座战国中期的楚墓——秦家咀M1093出土大量竹简，是我国目前出土战国楚简数量、文字最多的墓葬。“秦家咀战国楚简《九九术》较此前所知最早的里耶秦简《九九表》还要早一个多世纪，是迄今考古发现最早的乘法口诀实物，也在一定程度上说明其在当时楚国的广泛运用，为我国数学发展做出了重要贡献。” 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点2：有理数的除法法则 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据有理数乘法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 利用乘法运算律简便计算 计算： (1) (2) (3) (4) 题型3 根据有理数除法法则计算 计算： (1)； (2)． 题型4 有理数的乘除混合运算 计算： (1)． (2)． 题型5 有理数运算的规律探究问题 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 题型6 有理数的新定义问题 探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 题型7 有理数乘法的实际应用 有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 题型8 有理数乘法除法的实际应用 气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是． (1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？ 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各式计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 5．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 7．计算：（    ） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．计算： ． 10．，应用了 律． 11．计算： ． 12．的倒数与的相反数的商是 ． 13．计算： ． 14．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 15．对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 16．已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 三、解答题（本大题共5小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算：． 18．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．如图，某数学活动小组编制了一道有理数的混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示最大的负整数，若输入的数为，求计算结果． 21．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；： ； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．掌握有理数乘法法则即多个有理数相乘的符号法则； 2．掌握有理数乘法的运算律，并能灵活运用运算律简化运算； 3．掌握有理数除法法则； 4.能熟练地进行有理数的乘除混合运算； 5.感悟转化数学思想的运用。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——你知道乘号“×”除号“”究竟是谁发明的？ 乘号“”除号“” 1． 英国数学家威廉·奥特雷德于1631年在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行 。 英国数学家威廉·奥特雷德 德国哲学家、数学家莱布尼茨 2.莱布尼茨于1698年7月29日给约翰·伯努利的一封信内提出以圆点“·”表示乘，以防“×”号与字母“X”混淆。 莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。 他本人是一名律师，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和艾萨克·牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还发现并完善了二进制。 3. 2023年盛夏，在湖北荆州楚故都纪南城遗址以东约1公里的一处东周时期墓地内，一座战国中期的楚墓——秦家咀M1093出土大量竹简，是我国目前出土战国楚简数量、文字最多的墓葬。“秦家咀战国楚简《九九术》较此前所知最早的里耶秦简《九九表》还要早一个多世纪，是迄今考古发现最早的乘法口诀实物，也在一定程度上说明其在当时楚国的广泛运用，为我国数学发展做出了重要贡献。” 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点2：有理数的除法法则 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据有理数乘法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型2 利用乘法运算律简便计算 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便． （1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可； （2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）逆用乘法分配律计算较为简便． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 题型3 根据有理数除法法则计算 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型4 有理数的乘除混合运算 计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型5 有理数运算的规律探究问题 观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 题型6 有理数的新定义问题 探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型7 有理数乘法的实际应用 有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)这30筐白菜总计超过6千克． (2)出售这30筐白菜可卖约元． 【分析】此题考查了正、负数的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）分别用与标准质量的差值乘以筐数，然后求和即可； （2）根据总价=单价×数量即可． 【详解】（1）解： （千克）， ∴这30筐白菜总计超过6千克． （2）解：（元） 答：出售这30筐白菜可卖约元． 题型8 有理数乘法除法的实际应用 气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是． (1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 即山顶的温度为； （2） （米）， 即他距山脚1500米． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列各式计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别算出各个选项的数值，再作选择，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法，除法运算，掌握运算法则是解本题的关键． 2．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大． 根据数轴得出，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可． 【详解】解：从数轴可知：， A、，故原式不正确；     B、，故原式不正确；     C、，故原式正确；     D、，故原式不正确；     故选：C． 3．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 4．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 5．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，由数轴可得：，，，从而可得，，，，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 6．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． 7．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 【详解】解：                       ． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．，应用了 律． 【答案】乘法结合 【分析】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据乘法结合律，作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律， 故答案为：乘法结合． 11．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ， 故答案为：1． 12．的倒数与的相反数的商是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数、相反数，以及有理数的除法．先表示出的倒数是，的相反数是，再根据有理数的除法进行计算即可． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， ∴， 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘除法法则．利用有理数的乘除法法则计算． 【详解】解：原式 故答案为： 14．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 15．对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．由于定义一种新运算：，那么按照法则代入数字计算即可求解． 【详解】解：∵定义一种新运算：， ∴ ． 故答案为：0． 16．已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了数字的循环规律，分别按照定义求出若干组数的值，从而发现循环规律，是解题的关键．根据差倒数的定义分别求出…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用除以3，根据商和余数的情况可以确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴每3个数为一个循环组依次循环3， ∵， ∴是第个循环组的第3个数，与相同， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) ． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方以及四则运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法交换律和结合律简便运算求解即可； （2）根据有理数的乘除运算求解即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）利用乘法分配律简便计算即可； （5）根据有理数的混合运算，先计算乘法，再计算乘法，最后计算加减求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 18．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2)18(3)(4) 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再算加减即可； （2）先去括号，求绝对值，再将分数合并，整数合并，再计算加减即可； （3）根据有理数乘法运算律计算即可； （4）根据有理数乘法运算律去括号，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．如图，某数学活动小组编制了一道有理数的混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示最大的负整数，若输入的数为，求计算结果． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案． 【详解】∵“●”表示最大的负整数， ∴“●”表示的数为， 当输入的数为时， ． 21．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；： ； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 【答案】(1)同号，异号，绝对值相加，绝对值 (2) (3)交换律适合，结合律不适合，举例见解析 【分析】（1）根据已知的式子进行归纳即可； （2）根据※（加乘）运算的运算法则解答即可； （3）根据交换律和结合律的特点和※（加乘）运算的运算法则解答即可． 【详解】（1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，再将它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的绝对值； 故答案为：同号，异号，绝对值相加，绝对值； （2）； （3）交换律适合有理数的※（加乘）运算，如； 事实上，当同号时，，所以， 当异号时，，所以， 当0和数a进行※（加乘）运算时，，所以 结合律不适合有理数的※（加乘）运算， 如， 所以． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$