精品解析：江苏省南京市栖霞区2023-2024学年九年级下学期期初考试数学试题

2023～2024学年第二学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是的中点，相交于点，（ ） A. B. C. D. 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 5. 如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 方程的解为 _______. 8. 已知一组数据：3、0、、5，则这组数据的极差为______． 9. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 10. 在阳光下，高为旗杆在地面上的影长为．在同一时刻，高为的建筑物的影长为______m． 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 12. 二次函数的图像的顶点坐标为______． 13. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在上，相交于点G．若，G是的中点，则的长为 _____． 14. 二次函数中与的部分对应值如下表：下列结论：①函数的图像开口向上；②函数的最小值是0；③函数的图像经过点；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是______． … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 15. 如图，等腰三角形的内切圆与分别相切于点．若，，则的长为______． 16. 如图，在扇形中，点分别在上，点在上，四边形为正方形．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 某校举办了一次趣味数学竞赛，满分10分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：．乙组：． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 9 乙组 8 8 （1）______，______，______； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了8分，在我们小组属中游略偏上！”，小明可能是______组的学生（填“甲”或“乙”）； （3）如果你是该校数学竞赛的教练员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率是______； （2）搅匀后从中任意摸出2个球，求摸出1个白球和1个红球的概率． 20. 如图，在中，，，，求的长． 21. 已知函数（m为常数）． （1）求证：该函数图像与x轴有两个交点； （2）当m为何值时，该函数图像顶点纵坐标有最小值？最小值是多少？ 22. 贝贝利用所学知识测量路灯的高度．如图，贝贝和爸爸站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.75 m，贝贝的身高MN＝1.55 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.75 m，CN＝1.55 m，两人相距FN＝5.7 m，求路灯AD的高度． 23 已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24. 如图，与是的高，交于点，连接． （1）求证； （2）下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______； （3）若，，，则值为______． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，连接并延长，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证； （2）若，，． ①求的长； ②求的长． 26. 已知二次函数（为常数，且）的图象与轴正半轴交于一点． （1）画出一个满足条件的函数图象（要求：只需画出函数的大致图象，但需标注必要的数量）； （2）写出该函数的两个不同类型的结论； （3）若点，（为常数，且）在该函数图象上，比较与的大小． 27. 已知，以为弦的与相切于点，连接． （1）如图①，求证． （2）点在上，交于点，． ①如图②，若为直径，，求的长． ②如图③，若平分，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年第二学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：B 2. 如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 3. 如图，在中，是的中点，相交于点，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， 该班40人的测试成绩的平均分为90分不变， 根据方差计算公式， ， ， 可得方差变小了， 故选：A． 5. 如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 如图，是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图， ∵关于的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 故选：A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 方程的解为 _______. 【答案】 【解析】 详解】解：∵x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0． ∴， 故答案为： 8. 已知一组数据：3、0、、5，则这组数据的极差为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查极差，根据极差是一组数据中的最大值与最小值的差值求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为5，最小值为， ∴这组数据的极差为， 故答案为：7． 9. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，，再解题即可． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t， 则 ， 解得， 故答案为 10. 在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为．在同一时刻，高为的建筑物的影长为______m． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比列式求解即可． 【详解】解：设高为的建筑物的影长为， 根据题意，得， 解得， 即高为的建筑物的影长为， 故答案为：24． 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 12. 二次函数的图像的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，进而可求解． 【详解】解：由于二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在上，相交于点G．若，G是的中点，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交于点H，则，所以，由矩形的性质得，，求得，则，再证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∴， ∵四边形是矩形，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 二次函数中的与的部分对应值如下表：下列结论：①函数的图像开口向上；②函数的最小值是0；③函数的图像经过点；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是______． … 0 2 3 … … 8 0 0 3 … 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，可根据表格数据求出该二次函数的解析式，进而利用二次函数的图像与性质逐个判断即可． 【详解】解：由表格数据知，该二次函数的图像经过点，，， ∴，解得， ∴该函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向上，故①正确； ∵该函数图像的顶点坐标为， ∴该函数的最小值为，故②错误； ∵当时，， ∴函数的图像经过点，故③正确； ∵该函数图像开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故④错误， 综上，所有正确结论的序号是①③， 故答案为：①③． 15. 如图，等腰三角形的内切圆与分别相切于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键．先根据切线长定理得到，，，进而求得，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵圆与分别相切于点， ∴，，， ∵，， ∴，即， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在扇形中，点分别在上，点在上，四边形为正方形．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，作于H，连接；根据正方形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，关键是根据正方形的性质和证明与全等解答． 【详解】解：作于，作于，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，扇形， ， 同理可得：， ，， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），；（2）5 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值、乘方运算求解即可． 【详解】解：（1）原方程可化为，即， ∴或， ∴，； （2） ． 18. 某校举办了一次趣味数学竞赛，满分10分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲组：．乙组：． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 9 乙组 8 8 （1）______，______，______； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了8分，在我们小组属中游略偏上！”，小明可能是______组的学生（填“甲”或“乙”）； （3）如果你是该校数学竞赛的教练员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 【答案】（1）8.5，8，； （2）乙 （3）乙组，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差，理解中位数、方差的意义是解答的关键． （1）根据中位数、众数、方差的求解方法求解即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据方差越小，数据越稳定进行决策即可． 【小问1详解】 解：将甲组成绩从小到大排列，第3个数据是8，第4个数据是9， ∴中位数， 又∵甲组成绩的平均数是8， ∴方差， ∵乙组成绩中的8出现次数最多， ∴众数， 故答案为：8.5，8，； 【小问2详解】 解：∵小明成绩是8分，小于甲组成绩的中位数8.5，等于乙组成绩的中位数8， ∴小明在乙组属中游略偏上，即小明可能是乙组的学生， 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：会选择乙组同学代表学校参加复赛， 理由：两组成绩的平均数相同，虽然甲组成绩的中位数和众数都高于乙组，但乙组成绩的方差小于甲组成绩的方差，说明乙组学生成绩相对稳定，所以选择乙组同学代表学校参加复赛（答案不唯一，合理即可）． 19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率是______； （2）搅匀后从中任意摸出2个球，求摸出1个白球和1个红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，得到所有等可能的结果数和摸出1个白球和1个红球的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图： 由图知，共有12种等可能的结果，其中摸出1个白球和1个红球的结果有6种， ∴摸出1个白球和1个红球的概率为． 20. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 已知函数（m为常数）． （1）求证：该函数图像与x轴有两个交点； （2）当m为何值时，该函数图像的顶点纵坐标有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）当m＝2时，有最小值为1 【解析】 【分析】（1）令，得一元一次方程，证明方程有两个不相等的实数根，即可证明函数图象与x轴有两个交点； （2）利用配方法将一般式写成顶点式，得到顶点坐标的纵坐标，再求出它的最小值． 详解】解：（1）令，则， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图像与x轴有两个交点； （2）∵， ∴该函数图像的顶点纵坐标为， 设， ∵， ∴当m＝2时，有最小值，最小值为1． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及最值的求解方法，解题的关键是熟练掌握这些知识点进行求解． 22. 贝贝利用所学知识测量路灯的高度．如图，贝贝和爸爸站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.75 m，贝贝的身高MN＝1.55 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.75 m，CN＝1.55 m，两人相距FN＝5.7 m，求路灯AD的高度． 【答案】AD＝4.5m 【解析】 【分析】设路灯的高度为xm，根据相似三角形对应边成比例可得，＝，＝，列式求解即可． 【详解】解：∵EF∥AD ∴△EBF∽△ABD ∴＝ ∴＝ ∴1.75＋DF＝AD 同理：＝ ∴＝ ∴1.55＋DN＝AD ∴1.75＋DF＋1.55＋DN＝2AD ∴AD＝4.5m 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影，解决问题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例，根据等量关系列出比例式求解．解题时注意方程思想的运用． 23. 已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查复杂作图-作圆、作垂线，涉及切线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． （1）过A作，在上取点O，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点； （2）过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 如图，即为所求． 24. 如图，与是的高，交于点，连接． （1）求证； （2）下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______； （3）若，，，则的值为______． 【答案】（1）见解析 （2）①②③ （3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到三角形的内角和定理、圆的有关性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用圆周角定理证明点B、E、D、C四点共圆，进而得到，然后利用相似三角形的判定可得结论； （2）根据相似三角形的判定，结合三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可； （3）先根据勾股定理求得，再由得到，，设，进而列方程求得，，再由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵与是的高， ∴， ∴点B、E、D、C四点共圆， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，故③正确； 无法证明正确，故④错误， 综上，所有正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，则， 解得， ∴，， ∵， ∴． 25. 如图，内接于，是的直径，点在上，连接并延长，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证； （2）若，，． ①求的长； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用圆周角定理和垂直定义得到，，然后利用相似三角形的判定可得结论； （2）①过C作于G，则，则，利用勾股定理求得，进而可得，证明是的垂直平分线即可求解； ②先利用等腰三角形的判定与性质求得，再由得到进而可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①过C作于G，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵， ∴，又， ∴是的垂直平分线， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 26. 已知二次函数（为常数，且）的图象与轴正半轴交于一点． （1）画出一个满足条件函数图象（要求：只需画出函数的大致图象，但需标注必要的数量）； （2）写出该函数的两个不同类型的结论； （3）若点，（为常数，且）在该函数图象上，比较与的大小． 【答案】（1）见解析 （2）函数有最大值，；当时，y随x的增大而减小 （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据题意可得，从而得到抛物线开口向下，再求出二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，即可画出图象； （2）根据图象写出该函数的两个不同类型的结论即可； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数，且）的图象与轴正半轴交于一点． ∴，即， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， 画出函数的大致图象如下： 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线开口向下， ∴函数有最大值， ∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：∵点，（为常数，且）在该函数图象上， ∴当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 终上所述，当时，；当时，；当时，． 27. 已知，以为弦的与相切于点，连接． （1）如图①，求证． （2）点在上，交于点，． ①如图②，若为直径，，求的长． ②如图③，若平分，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）①10；② 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于N，先利用切线性质和平行线的性质得到，再根据垂径定理得到垂直平分，进而利用线段垂直平分线的性质可得结论； （2）①连接并延长交于N，由（1）知，可得是的中位线，则，设的半径为r，利用勾股定理列方程求得即可求解； ②连接，过P作于H，过C作于F，先根据角平分线的定义，结合弧、弦和圆周角的关系得到，再根据等腰三角形的性质求得，然后利用锐角三角函数和勾股定理求得，，进而可求解． 【小问1详解】 证明：如图①，连接并延长交于N， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解：①如图②，连接并延长交于N， 由（1）知， ∵为直径， ∴，则是的中位线， ∴， 设的半径为r， ∵， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∴； ②连接，过P作于H，过C作于F， ∵平分， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线性质、垂径定理、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的中位线性质、勾股定理、解一元二次方程、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用直角三角形的性质求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$