精品解析：山东省济宁市汶上县第一实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年度第二学期开学质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分100分．考试用时120分钟． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 将一元二次方程配方后，可化（ ） A. B. C. D. 2. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（ ） A B. C. D. 7. 二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 比较，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为_______． 12. 在平面直角坐标系中点在第三象限，则关于原点对称的点在第_______象限． 13. 双曲线，在第二象限的图象如图所示，，过上一点A作x轴的垂线交于点B，交x轴于点C，若，则的解析式为________． 14. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km． 15. 如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为_______． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或解题步骤．） 16. 计算题 （1） （2） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度 （1）将以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出的图形； （2）以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围 （2）如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 19. 如图，已知是的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值 20. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：， 求证：（1）AG平分； （2）EF·CG=DF·BG． 21. 如图，在中，，点O是边上的一点，以为半径的交边于点E，，过E作于点M，交于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）若，的半径为4，求的长度． 22 已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期开学质量检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分100分．考试用时120分钟． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 ． 故选：B． 2. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据左视图是从物体的侧面看所得到的图形，即可求解． 【详解】解：它的左视图是 故选：B 4. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点到直线的距离的大小来判断的大小． 【详解】解：∵二次函数图象过点，， 注意到，两点的纵坐标都是， ∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线， 点，，均在二次函数的图象上， ， ， 故选：D． 5. 如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 6. 如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵为等腰三角形，为底，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角为． 故选：A 7. 二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键； 分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可． 【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确； 当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确， 当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确， 故选：A． 8. 如图，，，下列结论错误是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考据相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握相似三角形的周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B． 9. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解． 【详解】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， △＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系． 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中点在第三象限，则关于原点对称的点在第_______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键． 根据点所在象限得出x，y的取值范围，然后利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】点在第三象限， ，，即，， ，， 在第二象限， 点关于原点对称的点为， ，， 点关于原点对称点在第四象限． 故答案为：四． 13. 双曲线，在第二象限的图象如图所示，，过上一点A作x轴的垂线交于点B，交x轴于点C，若，则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 设，根据反比例函数系数k的几何意义得到，由得到，然后解方程即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的解析式为． 故答案为：． 14. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得． 详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=2km， 在Rt△CBD中，(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形． 15. 如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，锐角三角函数．连接交于点F，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点F， 根据题意得：，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或解题步骤．） 16. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、去绝对值： （1）利用公式法解答，即可求解； （2）将特殊角的三角函数值代入，计算二次根式、负整数次幂，化简绝对值，最后进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度 （1）将以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出的图形； （2）以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标 【答案】（1）见解析 （2）见解析；或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转和位似图形： （1）分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质，分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 的坐标为或． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围 （2）如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义． （1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【小问1详解】 一元二次方程有实数根， 解得∶ ． 故k的取值范围是； 【小问2详解】 一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 解得：， 由（1）可得， ． 19. 如图，已知是的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形： （1）过点A作于点H，在中，可得，在中，可得 ，即可求解； （2）求出，可得，在中，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 20. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：， 求证：（1）AG平分； （2）EF·CG=DF·BG． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC； （2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得，，再根据等式的性质求出EF•CG＝DF•BG． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ∽， ， 平分； （2）证明：在和中， ， ∽， ， 在和中， ， ∽ ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式． 21. 如图，在中，，点O是边上的一点，以为半径的交边于点E，，过E作于点M，交于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）若，的半径为4，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质： （1）连接，证明，得，即可求证； （2）设圆的半径为r，利用勾股定理求出的长，利用两角相等的三角形相似得到，由相似得比例求出r的值即可； （3）利用同弧所对的圆周角相等，得到，进而求出的度数，根据，确定出，从而得到，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设半径为r， 在中，，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 即，解得：， 即半径为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为4，即， ∴． 22. 已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当三点共线时，的值最小，此时得的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点； （3）设，而， 可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将，，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在点P，使得的周长最小， 理由如下：如图，连接，交对称轴于， 令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ， ∴当三点共线时，的值最小，长度固定不变，此时得的周长最小， 设直线的解析式为， 则，解得， ， ∴当时，， ． 【小问3详解】 解：存在点，使得为直角三角形， 理由如下：设，而， ， 当时，，解得， 或； 当时，，解得， ； 当时，，解得， ； 综上所述：点坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$