精品解析：重庆市第八中学2023-2024学年下期九年级开学模拟考试数学试题

重庆市第八中学2023—2024学年下期九年级开学模拟考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的识别．整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是分数，它是有理数； ，，是无限不循环小数，它们都不是有理数； 故选：A． 2. 下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”，逐项判断即可得． 【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：， ． 故选：B． 4. 下列调查中，宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解全班学生的期末考试数学成绩情况 B. 调查“福建号”航母的机器零件情况 C. 了解一沓钞票中假钞情况 D. 调查长江流域水质情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A.了解全班学生的期末考试数学成绩情况，适合全面调查，故选项不符合题意； B. 调查“福建号”航母的机器零件情况，适合全面调查，故选项不符合题意； C. 了解一沓钞票中假钞情况，适合全面调查，故选项不符合题意； D.调查长江流域水质情况，适合抽样调查，故选项符合题意． 故选：D． 5. 两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质质．根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为， 故选：B． 6. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该品牌新能源汽车2023年的销售量=该品牌新能源汽车2021年的销售量从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率)，结合2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 7. 用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中黑色正方形的个数，发现规律“图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中黑色正方形的个数为：； 图②中黑色正方形的个数为：3； 图③中黑色正方形的个数为：； 图④中黑色正方形的个数为：6； 图⑤中黑色正方形的个数为：； 图⑥中黑色正方形的个数为：9； ， 所以图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个， 当，即时， （个）， 即图⑨中黑色正方形的个数为14个． 故选：B． 8. 如图，四边形内接于，为边延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得．，再结合邻补角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 数学课上李老师把54张扑克牌按照1、2、3、、54的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有54名学生，同样把这54名学生按照1、2、3、、54的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第1次：1号学生把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；第2次：2号学生把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；第3次：3号学生把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次第54次：54号学生把54号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上； ②4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上； ③54号学生操作结束后，共有6张牌正面朝上，且这6张牌对应编号之和为91． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据题意，易得：2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上；4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上；54号学生操作结束后，编号为1、4、9、16、25、36、49的扑克牌正面朝上，共有7张牌正面朝上；因此①②是正确的，③不正确． 【详解】解：1号学生操作结束后，共有54张牌正面朝上； 2号学生操作结束后，牌面依次为：正背正背正背正背正背正背，共有27张牌正面朝上，因此结论①正确； 3号学生操作结束后，牌面依次为：正背背背正正正背背背正正，每6张牌中有3个正面，共9组，因此共有27张牌正面朝上； 4号学生操作结束后，牌面依次为：正背背正正正正正背背正背正背背正正正，每12张牌中有7个正面，共4组余6张牌，正面朝上的牌数为（张），因此结论②正确； 5号学生翻了10张牌，这10张牌原本依次是：正背背正正正正正背背，5号学生操作结束后，变为4正6背，因此正面朝上的牌数为30张； 6号学生翻了9张牌，这9张牌原本依次是：正背正背背背正背正，6号学生操作结束后，变为5正4背，因此正面朝上的牌数为31张； 7号学生翻了7张牌，这7张牌原本依次是：正背背正背背正，7号学生操作结束后，变为4正3背，因此正面朝上的牌数为32张； 8号学生翻了6张牌，这6张牌原本依次是：正正正正背正，8号学生操作结束后，变为1正5背，因此正面朝上的牌数为28张； 9号学生翻了6张牌，这6张牌原本依次是：背背背正正背，9号学生操作结束后，变为4正2背，因此正面朝上的牌数为30张； 此时发现前9张牌中，第1、4、9张是正面朝上，其他6张都是背面朝上； 经分析验证，54号学生操作结束后，第16、25、36、49张牌也是正面朝上的， 因此，最终共有7张牌正面朝上，因此结论③不正确； 因此，正确的个数是2个． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，直接提出公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知直线与直线交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据交点的横坐标为，可得，得到，代入解不等式即可． 【详解】∵直线与直线交于点，若点的横坐标为， ∴当时，，整理得到， ∴代入得， 解得， 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，从中随机摸出一个小球并将其标号作为十位上的数字（不放回），然后再摸出一个小球并将其标号作为个位上的数字，则所组成的两位数恰是3的倍数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的倍数的情况有4种， 两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的概率为：． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形性质得到，利用圆的特点得到，利用勾股定理得到，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，得到，进而得到，最后根据图中阴影部分的面积求解，即可解题． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质并求出是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，点在边上，连接，将沿折叠，使点落在同一平面内的点处，且，垂足为．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识点．过点作于点，由折叠的性质得出，，，由菱形的性质得出，，证明，得出，设，则，由求出，则可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 将沿折叠， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的不等式组有解且最多有1个整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程．先解分式方程，根据分式方程的解为整数，求出的整数值，再解不等式组，求出的取值范围，最后对的值进行取舍，求出它们的和即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 关于的分式方程的解为整数， 或，且， 解得：或0或3或，且， 或3或， ， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 关于的不等式组，则有解且最多有1个整数解， ， 解得：， 综上可知：或3， 符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：3． 18. 若一个各数位均不为0的四位自然数满足千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个数为“如意数”．将“如意数”的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“如意数”，记，则__________；若、都是“如意数”，其中，，且，，均为整数），若能被5整除，且，则的最大值为__________． 【答案】 ①. 27 ②. 1919 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用．，求得，根据所给方法可得的值；分别表示出和的值，进而求得和的值，根据能被5整除，且进行推理，求得的最大值． 【详解】解：， ． ； 由题意得：， ， ，． ， ． 能被5整除， 是5的倍数． ． ， ． ． ． ． ． ，，， 若，则；（不合题意，舍去） 若，则；（不合题意，舍去） 若，则，； 若，则，； 若，，．（不合题意，舍去） ①当，，时， ； ②当，，时， ． ， 的最大值为1919． 故答案为：27，1919． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 人造月亮、飞马踏冰、冻梨变刺身、豆腐脑放糖、吃地瓜配勺、热气球在松花江起飞…隆冬伊始，各大社交媒体平台上与哈尔滨相关的热词频出．甲、乙两名记者为了进一步了解游客对“冰雪大世界”的喜爱程度，各自随机调查了20名游客的游玩时长（单位：小时），分别记为甲组、乙组，并对收集的数据进行了整理、描述和分析（游玩时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： 甲组游客的游玩时长在C等级中的全部数据为：4，4，4，5，5，5，5； 乙组游客的游玩时长中，B，D两等级的数据个数相同；A，C两等级的全部数据为：4，4，4，4，4，4，4，5，5，5； 甲、乙两组游客游玩时长统计表： 组名 平均数 中位数 众数 甲组 4.5 a 5 乙组 4.5 4 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ； ；甲组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）根据以上数据分析，从甲、乙两组游客的游玩时长来看，哪个组更喜欢玩“冰雪大世界”？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲，乙记者调查当天入园游客约30000人，请你估计当天共有多少名游客的游玩时长低于4小时？ 【答案】（1）4；4； （2）甲组， 由数据知，甲、乙组游玩时间的平均数、中位数均相等，而甲组游玩时间的众数大于乙组； （3）9750名 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，准确计算中位数，众数是解题的关键． （1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B，D的频数，再根据众数，中位数的定义，圆心角计算解答． （2）比较中位数，众数的大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 【小问1详解】 解：甲组A、B等级人数为（人）， ∵调查了20名游客, ∴C等级中第10、11名游客的游玩时长为4、4， ∴中位数， ∵B，D两等级的数据个数相同；A，C两等级的全部数据为：4，4，4，4，4，4，4，5，5，5； ∴乙组数据的众数， 甲组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：4；4；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵乙组游客的游玩时长中，B，D两等级的数据个数相同；A，C两等级的全部数据为：4，4，4，4，4，4，4，5，5，5； ∴B，D两等级的和为， ∴B等级的人数为5，A等级的人数为0， ∴（名）， 答：估计当天大约共有名游客的游玩时长低于4小时． 21. 如图，在中，，，点是边上一点，作射线，且满足． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，使得，连接，在上方作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，证明：． 证明：， ①　　　　　　． 又， ． ②　　　　． ． ，， 是等边三角形． ，． 是等边三角形． ，． ． 即③　　　　． 又， ， ． 在和中， ， ， ④　　　　， ． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）以点为圆心为半径画弧交延长线于点，再以为顶点作，交于点即可； （2）结合（1）即可完成证明过程． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求的图形； 【小问2详解】 证明：， ①， 又， ． ②． ． ，， 是等边三角形． ，． 是等边三角形． ，． ． 即③． 又， ， ． 在和中， ， ，， ④， ． 故答案为：，，，． 22. 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． （1）一个罐头盒是由一个盒身和两个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底，现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ （2）甲、乙两个车间接到任务生产一批罐头盒，若甲车间单独完成，则需要比规定工期多用3天；若乙车间单独完成，则需要比规定工期少用2天；若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成．问甲车间单独生产完这批罐头盒的时间为多少天？ 【答案】（1）120张做盒身，140张做盒底 （2）甲单独完成需要30天 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程解决实际问题． （1）设用x张做盒身，y张做盒底，根据“共有260张铁皮，一个盒身和两个盒底配套”即可列出方程组，求解即可； （2）甲单独完成需要m天，则甲每天完成工程的，乙每天完成工程的，根据“若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成”即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设用x张做盒身，y张做盒底，根据题意，得 ， 解得：， 答∶用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． 【小问2详解】 解：设甲单独完成需要m天，根据题意，得 ， 解得： 经检验：是该分式方程的解，符合题意， 答：甲单独完成需要30天． 23. 如图在中，，过点A作于点D．动点E， F同时从点B出发，点E以每秒个单位的速度沿折线B-A-C运动．点F以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点E到达点C时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为x秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）在运动过程中记线段DF的长度为，结合函数图象，请直接写出时x的值．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）图象见解析；函数图象是轴对称图形，对称轴是直线  （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分两种情况，当时，点E在上，证明，得出，求出，则可求出函数关系式，当时，点E在上，同理可得，求出和可得出答案； （2）由题意画出图象，写出函数的性质即可； （3）由（1）知或，画出的图象可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点E在上， ∵， ∴， ∴； 由题意得，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，点E在上，同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：所画函数图象如下： 函数图象是轴对称图形，对称轴是直线 ． 【小问3详解】 解：由（1）知或， 设，画出图象如下图； 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴的值为或． 24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． （1）转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． （2）物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】（1）手臂端点离操作台的高度的长约为 （2）手臂端点不能碰到点，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点离操作台的高度的长约为． 【小问2详解】 解：手臂端点不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远， ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点不能碰到点． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点A，B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点D是线段的中点，连接，点P是直线下方抛物线上的一动点，连接，，且交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，点F为y轴正半轴上一点，且满足，将该抛物线沿射线方向平移后的新抛物线过点，点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点，作射线，射线，是否存在点E，使得射线，中一条射线平分另一条射线与新抛物线对称轴组成的角，请写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）用待定系数法求出直线的解析式，过点P作轴，交直线与点Q，设点P的坐标为，点Q的坐标为，证明，由相似三角形的性质可得出，则可得出，再得出m的取值范围， 最后由二次函数的性质即可得出答案． （3）设抛物线沿射线向左平移个单位长度则向下平移n个单位长度，设新抛物线解析式为，把代入从而得到函数的表达式，设点的坐标为，分平分和若平分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，利用两点间的距离公式列方程即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 把代入，得， ∴点C的坐标为， ∵点D是线段的中点． ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴，交直线与点Q， 设点P的坐标为， ∵轴，交直线与点Q， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 另，则可求出， ∴， 则， 整理得：． 联立，解得：，或， ∵点P是直线下方抛物线上的一动点， ∴， ∴， ∴当时，取的最大值， 此时点P的坐标为： 【小问3详解】 由抛物线， ∵，， ∴ 设抛物线沿射线向左平移个单位长度则向下平移n个单位长度， 设新抛物线解析式为， 把代入，得， 解得：，(不合题意，舍去)， ∴新抛物线的解析式为， ∵点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点， ∴设点E的坐标为， 若平分，则， ∵轴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得， (不合题意舍去)， ∴点E的坐标为； 若平分，则， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 解得，， ∴点E的坐标为或； 综上所述，符合条件的点E的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，本题的关键是熟练运用二次函数的性质和等腰三角形的性质，结合分类讨论思想解决问题， 26. 在，点D是边一点，连接的角平分线交于点E． （1）如图1所示，，若，求边的长； （2）如图2所示，点F为上一点，过点F作于点O，若点O恰好平分线段，求证：； （3）如图3所示，点P为边上一点，且满足，过点P作于点Q，连接，当最短时，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点N，过点E作交于点M，可得，，可求得，利用角平分线的性质得，得到四边形为正方形，进一步求得，结合可求得，即可求得； （2）过点D作于点M，连接，则有，进一步得和，即可证明，得，得到，即可证明； （3）作于V，作，交的延长线于W，则有，可得和，即可证明，得，进一步证明，有，得到点Q的运动轨迹，连接，找到最短时点Q位置，作于R，利用平行得，求得，求得和即可． 【小问1详解】 解：过点E作交于点N，过点E作交于点M， ∴， ∵，， ∴， 在中，设，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点D作于点M，连接，如图， ∵O为的中点，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 作于V，作，交的延长线于W，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 那么，点Q在以为直径的上运动， 连接，交于，当点Q在处时最短，如图， 作于R，设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 则， ∴ ∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、角平分线的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线和对动点轨迹的确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第八中学2023—2024学年下期九年级开学模拟考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1. 以下各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 下列调查中，宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解全班学生的期末考试数学成绩情况 B. 调查“福建号”航母的机器零件情况 C. 了解一沓钞票中假钞情况 D. 调查长江流域水质情况 5. 两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ） A. B. C. D. 7. 用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 如图，四边形内接于，为边延长线上一点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 数学课上李老师把54张扑克牌按照1、2、3、、54的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有54名学生，同样把这54名学生按照1、2、3、、54的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第1次：1号学生把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；第2次：2号学生把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；第3次：3号学生把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次第54次：54号学生把54号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论： ①2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上； ②4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上； ③54号学生操作结束后，共有6张牌正面朝上，且这6张牌对应编号之和为91． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 分解因式：______． 13. 已知直线与直线交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集为________． 14. 一个不透明的袋子中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，从中随机摸出一个小球并将其标号作为十位上的数字（不放回），然后再摸出一个小球并将其标号作为个位上的数字，则所组成的两位数恰是3的倍数的概率是__________． 15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在菱形中，点在边上，连接，将沿折叠，使点落在同一平面内的点处，且，垂足为．若，，则的长为__________． 17. 若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的不等式组有解且最多有1个整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 18. 若一个各数位均不为0的四位自然数满足千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个数为“如意数”．将“如意数”的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“如意数”，记，则__________；若、都是“如意数”，其中，，且，，均为整数），若能被5整除，且，则的最大值为__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 人造月亮、飞马踏冰、冻梨变刺身、豆腐脑放糖、吃地瓜配勺、热气球在松花江起飞…隆冬伊始，各大社交媒体平台上与哈尔滨相关的热词频出．甲、乙两名记者为了进一步了解游客对“冰雪大世界”的喜爱程度，各自随机调查了20名游客的游玩时长（单位：小时），分别记为甲组、乙组，并对收集的数据进行了整理、描述和分析（游玩时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： 甲组游客的游玩时长在C等级中的全部数据为：4，4，4，5，5，5，5； 乙组游客的游玩时长中，B，D两等级的数据个数相同；A，C两等级的全部数据为：4，4，4，4，4，4，4，5，5，5； 甲、乙两组游客游玩时长统计表： 组名 平均数 中位数 众数 甲组 4.5 a 5 乙组 4.5 4 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ； ；甲组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）根据以上数据分析，从甲、乙两组游客的游玩时长来看，哪个组更喜欢玩“冰雪大世界”？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲，乙记者调查当天入园游客约30000人，请你估计当天共有多少名游客的游玩时长低于4小时？ 21. 如图，在中，，，点是边上一点，作射线，且满足． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，使得，连接，在上方作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，证明：． 证明：， ①　　　　　　． 又， ． ②　　　　． ． ，， 是等边三角形． ，． 是等边三角形． ，． ． 即③　　　　． 又， ， ． 在和中， ， ， ④　　　　， ． 22. 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． （1）一个罐头盒是由一个盒身和两个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底，现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ （2）甲、乙两个车间接到任务生产一批罐头盒，若甲车间单独完成，则需要比规定工期多用3天；若乙车间单独完成，则需要比规定工期少用2天；若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成．问甲车间单独生产完这批罐头盒的时间为多少天？ 23. 如图在中，，过点A作于点D．动点E， F同时从点B出发，点E以每秒个单位的速度沿折线B-A-C运动．点F以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点E到达点C时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为x秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）在运动过程中记线段DF的长度为，结合函数图象，请直接写出时x的值．（保留1位小数，误差不超过） 24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． （1）转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． （2）物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点A，B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点D是线段的中点，连接，点P是直线下方抛物线上的一动点，连接，，且交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，点F为y轴正半轴上一点，且满足，将该抛物线沿射线方向平移后的新抛物线过点，点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点，作射线，射线，是否存在点E，使得射线，中一条射线平分另一条射线与新抛物线对称轴组成的角，请写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 26. 在，点D是边一点，连接的角平分线交于点E． （1）如图1所示，，若，求边的长； （2）如图2所示，点F为上一点，过点F作于点O，若点O恰好平分线段，求证：； （3）如图3所示，点P为边上一点，且满足，过点P作于点Q，连接，当最短时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $