精品解析：贵州贵阳市中央民族大学附属中学贵阳学校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二年级期末试卷 数学 2026.07 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共4页，共19道小题，满分150分.考试时长120分钟.考试形式为闭卷. 2.请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（ ）种 A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 7. 某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）． A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 13. 方程的实根的个数为__________个． 14. 在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，四棱锥中，底面是梯形，，. （1）证明:平面平面； （2）若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 17. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，求面积的最大值． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 19. 已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； （3）已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二年级期末试卷 数学 2026.07 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共4页，共19道小题，满分150分.考试时长120分钟.考试形式为闭卷. 2.请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】由，得 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 5. 已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台的体积计算公式求解. 【详解】 如图所示，如图作出轴截面，为上下底面圆心，为截面的斜边，即圆台的母线. 由题意得：，，则高， 因为母线与底面所成角的正弦值为，所以，则， 则圆台体积. 6. 某德阳研学团计划参观三星堆博物馆、德阳文庙、绵竹年画村、白马关景区4个景点，要求三星堆博物馆必须排在第一个或最后一个参观，且德阳文庙与白马关景区必须相邻，则不同的参观顺序共有（ ）种 A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】按 “特殊元素优先处理” 的思路，分三步完成，再根据分步乘法计数原理得到总排列数. 【详解】首先安排三星堆博物馆的位置，要求三星堆必须排在第一个或最后一个，共2种排法； 由于德阳文庙与白马关必须相邻，用捆绑法将二者看作1个整体，二者内部可交换顺序，共种排法； 捆绑后的整体和绵竹年画村共2个元素，排列在剩余的空位中，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列数为种. 7. 某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出事件，然后用条件概率公式计算，全概率公式计算，再用条件概率计算. 【详解】 根据题意可得：设事件为文章实际是AI生成，事件文章被系统判定为AI生成， 又因为， ，AI文章的识别率为， 即，人类文章误判率为，即 ， 根据条件概率公式可得：， 又根据全概率公式可得： ， 所以. 8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，可判断AB的真假；利用点到直线的距离公式，可判断C的真假；利用“几何法”求弦长，可判断D的真假. 【详解】对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）． A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 13. 方程的实根的个数为__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】画出函数的图象，特别要注意过点与的最大值为1，结合图象易知答案. 【详解】的值域为；的定义域为，且当时，； 因此，只需在范围内寻找交点，再观察图象可得3个交点. 故答案为：3. 14. 在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】求外接球的表面积，先找球心，再求半径，根据球心在四棱锥高上，球心到顶点的距离等于半径，设球心，求半径，计算表面积即可． 【详解】在等腰梯形中，，，则， 在底面中连接， 则， 即，， 以为原点，，分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 可得：，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由，，， ，，； 可得， 解得，，，即， 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过垂直于底面的直线上， 故设球心，半径为， 则，，， 由得：，解得， 因此外接球半径平方：， 外接球表面积：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）分布列为： 0 1 2 P 【解析】 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关. 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 P 所以的数学期望为. 16. 如图，四棱锥中，底面是梯形，，. （1）证明:平面平面； （2）若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：因底面是梯形，，，则， 又，平面，则平面， 又平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先证明，得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又平面，则平面. 过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直， 故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 因，由，可得， 则，. 设平面的法向量为， 因， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】 17. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，求面积的最大值． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算将函数的解析式化简，即可求解； 首先求出角，再利用余弦定理和基本不等式可得，然后结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 向量，， ， 函数的最小正周期为； 令，则， 函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ，即， ，， ，解得， 又， 即， 解得，当且仅当时取等， ， 则面积的最大值为． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 19. 已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； （3）已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程即可求得渐近线方程； （2）设，根据可得，结合即可求得，利用三角形面积公式即可求解； （3）分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【小问1详解】 对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. 【小问3详解】 设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $