第二章 有理数 第2.4节 有理数的加法与减法-2024-2025学年《七年级数学上册苏科版2024培优全攻略》

苏科2024新版第二章 有理数 2.4 有理数的加法与减法 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律；感受分类讨论的数学思想的运用； 2．掌握有理数减法的法则，知道减法与加法的关系，体会其中的转化数学思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——你知道加减号究竟是谁发明的？加减运算是人类最早掌握的两种数学运算 ，且载于人类最早的文字记载中。古埃及的阿默斯纸草书就载有加号及减号：向右走的两条腿“”是加号，而向左走的两条腿“”是减号。后者于莫斯科纸 草书中则表示“平方”。中文名维德曼地    区欧洲方    式加减运算相关视频查看全部古希腊的丢番图以两数并列表示相加，偶然亦以一斜线“∕”及曲线“”分别作加号和减号使用。古印度人一般不用加号，只有在公元三世纪的巴赫沙里残简中以“yu”作加及“+”作减。中国古代因注重以工具计算，一般运算全在算筹或算盘上进行，只记录其结果，因此并没有采用什么数学符号，记录时用文字表达运算 。十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以两数并列作加而以一特别符号“gs”作减号。法国人许凯（1484）、意大利人帕乔利（1494）及十六世纪大多数学家都以拉丁词语plus（加）与minus （减）之首字母分别作加号（或p）和减号（ 或m）。十五世纪后二十年的德国人是最早使用现代加号“+”与减号“－”的人。德国德累斯顿图书馆所保存之手稿卷c.80(1486)中便正式使用了“+”、 “－”号。而最先在印刷书内使用加号“+”与减号“－” 的是捷克人维德曼（1489）。从十五世纪末至整个十六世纪，意大利人仍以及作加减号。到了1608年，德国人克拉维乌斯于罗马出版的《代数》一书内采用了“+”“－” 号，意大利人才开始采用这两种符号，但到卡瓦列里时代已很纯熟。此外，英国首个使用这两符号（1557）的是雷·科德，而荷兰则于1637年由胡克引入这两种符号，同时亦传入其他欧洲大陆国家，后来逐渐流行于全世界。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的加法运算 1.有理数的加法法则：（渗透分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律：a+b＝b+a （2）加法结合律：(a+b)+c＝a+(b+c) 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点2：有理数的减法运算 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： 1.将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 2.灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点3：有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据加法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 利用加法运算律简便计算 计算： (1)； (2)． 题型3 有理数加法的实际应用 某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 题型4 利用有理数减法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 有理数减法的实际应用 小明的妈妈的存折中有3500元，若把存入记为正，取出记为负，一段时间内存入和取出情况依次如下（单位：元） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 1500 600 (1)在第几次存取后，存折中的钱最少？在第几次存取后，存折中的钱最多？ (2)经过这几次的存取后，最终小明的妈妈的存折内还有剩余多少元钱？ 题型6 有理数的加减混合运算 计算： (1)． (2)． (3) (4) 题型7 有理数加法减法的综合应用 十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 3．将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 5．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 6．是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 7．下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 8．下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．观察图，找出规律根据规律（   ） A． B． C． D． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题（本大题共8小题） 11．计算： ． 12．用简便方法计算： ． 13．填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 14．定义一种新运算*，其规则为，如：，那么的值是 ． 15．如果有理数，满足，，且．那么的值是 ． 16．在数轴上，如果点所表示的数是，点到点的距离等于3个单位长度，且点位于原点右侧，那么点所表示的数是 ． 17．已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 18．数轴上的点，，，表示的数分别是1，2.5，，；，两点间的距离是 个单位长度． 三、解答题（本大题共6小题） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 21．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 22．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 23．某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 24．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.4 有理数的加法与减法 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律；感受分类讨论的数学思想的运用； 2．掌握有理数减法的法则，知道减法与加法的关系，体会其中的转化数学思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——你知道加减号究竟是谁发明的？加减运算是人类最早掌握的两种数学运算 ，且载于人类最早的文字记载中。古埃及的阿默斯纸草书就载有加号及减号：向右走的两条腿“”是加号，而向左走的两条腿“”是减号。后者于莫斯科纸 草书中则表示“平方”。中文名维德曼地    区欧洲方    式加减运算相关视频查看全部古希腊的丢番图以两数并列表示相加，偶然亦以一斜线“∕”及曲线“”分别作加号和减号使用。古印度人一般不用加号，只有在公元三世纪的巴赫沙里残简中以“yu”作加及“+”作减。中国古代因注重以工具计算，一般运算全在算筹或算盘上进行，只记录其结果，因此并没有采用什么数学符号，记录时用文字表达运算 。十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以两数并列作加而以一特别符号“gs”作减号。法国人许凯（1484）、意大利人帕乔利（1494）及十六世纪大多数学家都以拉丁词语plus（加）与minus （减）之首字母分别作加号（或p）和减号（ 或m）。十五世纪后二十年的德国人是最早使用现代加号“+”与减号“－”的人。德国德累斯顿图书馆所保存之手稿卷c.80(1486)中便正式使用了“+”、 “－”号。而最先在印刷书内使用加号“+”与减号“－” 的是捷克人维德曼（1489）。从十五世纪末至整个十六世纪，意大利人仍以及作加减号。到了1608年，德国人克拉维乌斯于罗马出版的《代数》一书内采用了“+”“－” 号，意大利人才开始采用这两种符号，但到卡瓦列里时代已很纯熟。此外，英国首个使用这两符号（1557）的是雷·科德，而荷兰则于1637年由胡克引入这两种符号，同时亦传入其他欧洲大陆国家，后来逐渐流行于全世界。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的加法运算 1.有理数的加法法则：（渗透分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律：a+b＝b+a （2）加法结合律：(a+b)+c＝a+(b+c) 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点2：有理数的减法运算 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： 1.将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 2.灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点3：有理数的加减混合运算 做有理数的加减混合运算题目时的步骤： 1. 观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； 2. 将加减法统一成加法运算； 3. 利用加法运算法则解决问题。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据加法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法进行计算即可求解； （3）根据有理数的加法进行计算即可求解； （4）根据有理数的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 题型2 利用加法运算律简便计算 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型3 有理数加法的实际应用 某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【答案】(1)收工时在A地东边，距A地41千米； (2)升． 【分析】此题考查了有理数的混合运算以及正数与负数，正确列出算式并掌握有理数的相关运算法则是解本题的关键． （1）依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，然后用总路程，计算即可，与方向无关． 【详解】（1）解：(千米)； 答：收工时在A地东边，距A地41千米； （2）解：(千米)， (升)． 答：从A地出发到收工时共耗油升． 题型4 利用有理数减法法则计算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)10 (3)8 (4)0 【分析】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （2）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （3）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （4）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型5 有理数减法的实际应用 小明的妈妈的存折中有3500元，若把存入记为正，取出记为负，一段时间内存入和取出情况依次如下（单位：元） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 1500 600 (1)在第几次存取后，存折中的钱最少？在第几次存取后，存折中的钱最多？ (2)经过这几次的存取后，最终小明的妈妈的存折内还有剩余多少元钱？ 【答案】(1)在第6次存取后，存折中的钱最少，在第1次存取后，存折中的钱最多 (2)最终小明的妈妈的存折内还有4600元钱 【分析】此题考查了有理数的加法与减法，以及正数与负数的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据存折中原来的钱，利用表格求出各次存入和取出后的钱数，即可做出判断； （2）根据（1）的计算数据解答即可． 【详解】（1）第1次存取后，存折中的钱数为：（元） 第2次存取后，存折中的钱数为：（元） 第3次存取后，存折中的钱数为：（元） 第4次存取后，存折中的钱数为：（元） 第5次存取后，存折中的钱数为：（元） 第6次存取后，存折中的钱数为：（元） 第7次存取后，存折中的钱数为：（元）- 在第6次存取后，存折中的钱最少，在第1次存取后，存折中的钱最多． （2）由（1）的计算可知，最终小明的妈妈的存折内还有4600元钱． 题型6 有理数的加减混合运算 计算： (1)． (2)． (3) (4) 【答案】(1)(2)2(3)(4) 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则计算即可． （3）先利用减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再进行有理数的简便运算即可； （4）先利用减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，把相邻的一个负数和一个正数相加，进行有理数的简便运算即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减运算法则． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ＝ ． （3）解： ； （4）解： ． 题型7 有理数加法减法的综合应用 十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了千米 (2)第四个动作是下降，下降千米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （１）计算即可求解； （２）计算第四个动作是下降，下降千米即可求解； 【详解】（1）解： ∴此时这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： ∴第四个动作是下降，下降千米 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果． 【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是； 故选：B． 3．将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 4．若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，利用绝对值的定义确定、的取值，再计算的值． 【详解】，， ，， ， ， ，， 或6， 故选：D． 5．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 6．是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【详解】 解：是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 7．下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 8．下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的运算，根据有理数的减法法则和绝对值法则进行计算即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意；     故选：B 9．观察图，找出规律根据规律（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 故选：B． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算．理解题意，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 根据题意分别求出“非负差值运算”，然后进行判断作答即可． 【详解】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ∴x，、5的“非负差值运算”的最小值是，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 14．定义一种新运算*，其规则为，如：，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算、新定义运算等知识点，将新定义运用转化成有理数加法成为解题的关键． 用新运算法则将原式化成有理数加法，然后进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 15．如果有理数，满足，，且．那么的值是 ． 【答案】或 【分析】解题关键是熟练掌握绝对值的定义、有理数的加减运算、求代数式的值，解题关键是熟练掌握绝对值的定义与有理数的加减法运算法则． 根据绝对值的意义求出、的值，由确定，，从而得解． 【详解】解：，， 又， ，或，， 或． 故答案为：或． 16．在数轴上，如果点所表示的数是，点到点的距离等于3个单位长度，且点位于原点右侧，那么点所表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴上点的表示与有理数的加减法．先根据点B到点A的距离等于3个单位长度，可以得到两种情况，又因为点B位于原点右侧，所以留下结果为正的情况． 【详解】解：∵点A所表示的数是，点B到点A的距离等于3个单位长度， ∴点B所表示的数是或， ∵点B位于原点右侧， ∴点B所表示的数是1， 故答案为：1． 17．已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：8． 18．数轴上的点，，，表示的数分别是1，2.5，，；，两点间的距离是 个单位长度． 【答案】5.5 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．根据数轴上两点的距离求法直接求解即可． 【详解】解：点表示的数是2.5，点表示的数是， 、之间的距离是， 故答案为：5.5． 三、解答题（本大题共6小题） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算． （1）可以正、负数分别结合相加； （2）可以正、负数分别结合相加； （3）可以同分母分数结合相加； （4）可以同分母分数结合相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 20．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 21．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 22．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫能回到出发点O (2)小虫离开出发点O最远为 (3)小虫共可得到54粒芝麻 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把小虫爬行的路程数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 小虫能回到出发点O． （2）解：第一次爬行后的位置：， 第二次爬行后的位置：， 第三次爬行后的位置：， 第四次爬行后的位置：， 第五次爬行后的位置：， 第六次爬行后的位置：， 第七次爬行后的位置：， ， 小虫离开出发点O最远为12； （3）解： ， 小虫共爬行的距离为54，小虫共可得到54粒芝麻． 23．某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 【答案】(1)是回到原来的位置； (2)守门员离开球门的位置最远12米； (3)守门员小明在这次练习中共跑了米 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解． （1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门的位置，从而得出答案； （2）观察记录的数据并计算，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离； （3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可． 【详解】（1）解：因为(米)， 所以守门员是回到了原来的位置； （2）解：守门员第一次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第二次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第三次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第四次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第五次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第次六跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第七次跑动后离球门距离为： (米)； 所以守门员离开球门的位置最远12米； （3）解： (米)． 答：守门员小明在这次练习中共跑了米 24．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$