第二章 有理数 第2.3节 绝对值与相反数—2024-2025学年七年级数学上册培优全攻略（苏科版2024）

苏科2024新版第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解绝对值、相反数的概念，会正确表示一个数的绝对值和相反数； 2.会求一个数的绝对值和相反数，并会根据一个数的绝对值求这个数，知道一个数的绝对值与其相反数的关系； 3.理解绝对值和相反数的几何意义，并会应用几何意义解决问题； 4.能根据绝对值比较两个数的大小关系。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——绝对值符号|x|究竟是谁发明的？绝对值符号的第一使用人 1841年德国数学家外尔斯特拉斯首先引用“｜｜”为绝对值符号,及后为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。外尔斯特拉斯1815年10月31日生于德国威斯特伐 利亚小村落奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒於柏林。曾在波恩大学学习法律和财政，1938年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理 教授，1865年升为教授。有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人.这个有趣的传说,就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围一些事物的启发,触发了灵感. 德国数学家 外尔斯特拉斯（1815年-1897年） 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：绝对值的概念 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 5.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 名师点拨 （1） 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 （2） 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点2：相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 名师点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 名师点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据绝对值的概念直接求一个数的绝对值 的绝对值为（    ） A． B． C． D． 题型2 根据绝对值求原数 若一个数的绝对值是，则这个数是（   ） A． B． C． D． 题型3 含有字母的绝对值问题 如果，则（　　） A．a是正数 B．a是负数 C．a是零 D．a是负数或零 题型4 利用绝对值比较数的大小 下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型5 绝对值的实际应用 在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 题型6 根据相反数的概念写一个数的相反数 的相反数是（ ） A． B． C． D． 题型7 化简判断两个数是否是相反数 下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型8 多重符号的化简问题 下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．（    ） A． B． C． D． 2．在，，0，四个数中，最小的数是（　　） A． B． C．0 D． 3．下列比较大小正确的是(    ) A． B． C． D． 4．6的相反数的是（    ） A． B． C． D．6 5．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．计算：（ ） A． B． C． D． 7．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A．   B．   C．   D．   8．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 10．若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 二、填空题（本大题共6小题） 11．若，，则的值为 ． 12．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 13．（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； （2）数轴上点A表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 ． 14．若，则 ． 15．检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（克） 则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号） 16．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 三、解答题（本大题共4小题） 17．已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数，b的相反数的位置． 18．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 19．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 20．数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若，求b的值； (2)化简： ； ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解绝对值、相反数的概念，会正确表示一个数的绝对值和相反数； 2.会求一个数的绝对值和相反数，并会根据一个数的绝对值求这个数，知道一个数的绝对值与其相反数的关系； 3.理解绝对值和相反数的几何意义，并会应用几何意义解决问题； 4.能根据绝对值比较两个数的大小关系。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——绝对值符号|x|究竟是谁发明的？绝对值符号的第一使用人 1841年德国数学家外尔斯特拉斯首先引用“｜｜”为绝对值符号,及后为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。外尔斯特拉斯1815年10月31日生于德国威斯特伐 利亚小村落奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒於柏林。曾在波恩大学学习法律和财政，1938年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理 教授，1865年升为教授。有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人.这个有趣的传说,就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围一些事物的启发,触发了灵感. 德国数学家 外尔斯特拉斯（1815年-1897年） 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：绝对值的概念 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 5.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 名师点拨 （1） 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 （2） 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点2：相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 名师点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 名师点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 根据绝对值的概念直接求一个数的绝对值 的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的定义，解题的关键是根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是求解即可； 根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是； 【详解】解：的绝对值为， 故选：B 题型2 根据绝对值求原数 若一个数的绝对值是，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解，熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】若一个数的绝对值是，则这个数是， 故选：． 题型3 含有字母的绝对值问题 如果，则（　　） A．a是正数 B．a是负数 C．a是零 D．a是负数或零 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的意义，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数，即a是负数或零． 【详解】解：如果， ∴， 故选：D． 题型4 利用绝对值比较数的大小 下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数大小比较的法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C 题型5 绝对值的实际应用 在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案，解题的关键是理解绝对值的意义． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：． 题型6 根据相反数的概念写一个数的相反数 的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 题型7 化简判断两个数是否是相反数 下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 题型8 多重符号的化简问题 下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据多重符号的化简方法化简即可． 【详解】解∶A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选∶B ． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．在，，0，四个数中，最小的数是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，负数都小于0是解题关键．根据正数大于0，0大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，可得答案． 【详解】解：， 故最小的数是． 故选：B 3．下列比较大小正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．先将各数化简，再根据有理数大小比较法则求解即可． 【详解】解：A、，，则，比较大小正确，符合题意； B、，，则，比较大小错误，不符合题意； C、，则，比较大小错误，不符合题意； D、，，则，比较大小错误，不符合题意； 故选：A． 4．6的相反数的是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：根据相反数的定义可知：的相反数是， 故选：C． 5．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 6．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数等知识，化简多重符号，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：， 故选：B． 7．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】∵， 又∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的元件． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 8．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数大小比较的方法，掌握哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小是解题的关键． 由数轴可得：哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此即可解答． 【详解】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B． 故选B． 9．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 10．若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：与互为相反数， ， 又， ，， 解得， 则， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题） 11．若，，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了已知一个数的绝对值，求这个数，求代数式的值． 先根据绝对值的定义，求出a的值，再将a和b的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ①当时，， ②当时，， 故答案为：2或． 12．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 【答案】 3 【分析】该题主要考查了相反数的定义，去括号．解题的关键是根据相反数的定义去括号． 根据相反数的定义去括号即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：3；；；． 13．（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； （2）数轴上点A表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 ． 【答案】 5或1 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的点与实数的关系和相反数的意义是解题的关键． （1）利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法求得A对应的数字，再利用相反数的意义解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴点C表示的数字为． 故答案为：； （2）∵数轴上点A表示，点B到点A的距离是2， ∴点B表示的数字为或， ∵B，C两点表示的数互为相反数， ∴点C表示的数应该是5或1． 故答案为：5或1． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用已知数据代入进而得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 15．检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（克） 则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号） 【答案】3 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用．比较个数的绝对值，绝对值最小的即为最终结果． 【详解】解：∵； ∴最接近标准质量的是3号足球； 故答案为：3． 16．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共4小题） 17．已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数，b的相反数的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相反数的定义以及相反数在数轴上的位置关系，根据互为相反数的两个数分别位于原点两侧且到原点的距离相等进行解答即可． 【详解】解：如图所示． 18．写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 19．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较： （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：原点O如图，    （2）解：， 各点在数轴上表示为：      ∴． 20．数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若 ，求b的值； (2)化简： ； ． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，结合数轴，得到，根据，求得或，结合点b在原点的左侧，确定即可． （2）根据数轴，比较大小，确定正负后化简即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴或， ∵点b在原点的左侧， ∴． （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$