精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题

马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第一次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数即可求出，再根据点斜式求出切线方程； 【详解】解：∵的导数为， ∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即． 故选：C． 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数法求解. 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以函数的单调递减区间为， 故选：B 3. 已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，将问题转化为在上恒成立，进而得出，分析不具有单调性，从而可得. 【详解】由题意，得，又在上恒成立，所以. 而当时，恒为0，此时（），不具有单调性， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：B 4. 若函数在上的最大值是4，则（ ） A. 0 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而得到函数的最大值，即可求出参数的值； 【详解】解：因为，所以. 当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减. 所以在上的最大值是，解得. 故选：B 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点排除选项A，根据函数值的符号排除选项C，利用导数求解单调递增区间排除选项D，即可得解. 【详解】由可得，解得或，排除A； 由时，，排除C； 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D． 故选：B 6. 已知有极大值和极小值，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，函数有极大值和极小值，即二次导函数有两个不等实数根，由判别式大于0即可得到答案. 【详解】，因为函数有极大值和极小值，所以方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根， 所以，即，解得或. 故选:D. 【点睛】本题考查利用研究函数的极值问题，属于基础题. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， 因为，由有：， 由有：，所以在上单调递减， 因为，，, 因为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 8. 已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件将方程解的个数等价转化成两个函数与图象交点个数，再借助导数即可推理作答. 【详解】作出函数与的图象，如图，当时，两个函数图象至多有两个公共点， 而方程在上恰有3个不等实数根，则， 当时，方程在上只有一个实根， 方程在上恰有3个不等实数根，等价于方程在上恰有2个不等实数根， 即函数在上恰有2个零点， ，，当时，，则在上单调递增，在上最多一个零点， 于是有，当时，，当时，，即有在上递减，在上递增， 因此，，且在上的两个零点分别在区间与内 从而有，解得， 所以实数取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. （多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用图像判断的正负，得到函数的单调性进而逐项判断 【详解】当时，，∴不是 的极值点，∴A错误； 当时，，当时，，∴ 在上单调递减，在上单调递增，∴是 的极小值点，∴B正确； 当时，，∴在上单调递减，∴是的极大值点，∴C正确，D错误． 故选：BC． 10. 下列函数在定义域上存在最大值或最小值的是( ) A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A：根据一元二次函数的性质即可求解；对于选项BCD：利用导函数，然后求出函数的单调区间，结合函数的极限值即可求解. 【详解】选项A：函数的图像是开口向下的抛物线，故函数有最大值，选项A正确； 选项B：由，得， 当时，解得；当时，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为函数图像没有最高点，也没有最低点，所以函数不存在最值，故B错误； 选项C：由，得， 当时，；当或时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，且极小值为3， 且当时，；当，时，；当，时，， 所以函数没有最大值，也没有最小值，故C错误； 选项D：由，得， 当时，；当时，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数唯一的极大值点，极大值为， 当时，；当时，， 所以函数有最大值，没有最小值，故D正确． 故选:AD. 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. 的极小值点为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】的定义域为，求判断单调性，求得极值可判断A，C；根据单调性以及可判断B、D，进而可得正确选项. 【详解】由题意可得函数定义域为， 由可得， 令，解得： 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递堿． 所以当时，函数取得极大值为，无极小值， 故选项A正确，选项C不正确； 因，且在上单调递增， 所以函数在上有一个零点． 当时，，，所以，此时无零点． 综上所述：有一个零点，故B不正确； 因为，在上单调递增，所以， 故选项D正确． 故选：AD． 12. 已知定义在的函数的导函数满足，且，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递增 D. 任意，，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得，推出（其中为常数），求出函数的解析式，通过（e），求解C，判断函数值判断A；导函数的符号判断C；函数的单调性判断B；结合函数的凹凸性，判断D即可． 【详解】解：由，得，即， 从而得（其中为常数），即， 由，得，所以，故正确； 又，从而在上单调递增，故正确； 令，则在上递增，不等式（e），得，故正确； 由得，当时，；当时，， 所以的图象在部分上凸，在部分下凸，故不正确， 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用转化为，即为，从而求得函数的解析式，而后求导利用单调性结合函数图象判断出各个选项. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，若，则________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】对与求导后代入题干中条件，列出方程，求出x的值. 【详解】函数的导数公式可知，， 由得，即，解得. 故答案为： 14. 若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数来判断函数在区间的单调性，再由分离参变量求参数的取值范围即可. 【详解】由已知求导得：， 因为函数在区间上具有单调性， 所以或在上恒成立， 则在区间上，或， 因为在上递增，在上递减， 且， 所以的最大值为，的最小值为， 所以或. 故答案为： 15. 已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数取值范围为. 故答案为： 16. 已知函数，若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】出，转化为的图象有2个交点，构造函数，利用导数结合图象可得答案. 【详解】的定义域为，令， 则原问题转化为的图象有2个交点， 构造函数， 所以在区间上在上单调递增， 在区间上在单调递减，， 令解得，当时，， 可得的大致图象如下， 所以． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象进而求解． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1） （2）的极小值为，极大值为 【解析】 【分析】（1）求出、即可； （2）利用导数求出的单调性，然后可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 所以曲线在处的切线的方程为，即 【小问2详解】 因为 所以当时，当时 所以在、上单调递增，在上单调递减 所以的极小值为，极大值为 18. 设函数. （1）若在点处的切线为，求a，b的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1），； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率. (2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为在点处的切线为， 所以，所以；所以 把点代入得：. 即a，b的值为：，. 【小问2详解】 由（1）知：. ①当时，在上恒成立，所以在单调递减； ②当时，令，解得：， 列表得： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以，时，的递减区间为，单增区间为. 综上所述：当时，在单调递减； 当时，的递减区间为，单增区间为. 【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题. 19. 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足． （1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？ 【答案】（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案. （2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案. 【详解】解：（1）依题意得： （2）由（1）得，， 则， 令，得或（舍去） 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有 答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元． 20. 已知函数，. （1）若在处取得极值，求的值； （2）设，试讨论函数的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数在处取极值得，即可求得的值. （2）由，通过讨论的取值来判断的符号，进而得到函数的单调性. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，解得. 验证：当时，， 易得在处取得极大值. （2）因为， 所以. ①若，则当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，∴函数在上单调递减. ②若，， 当时，易得函数在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，恒成立，∴函数在上单调递增； 当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减. 21. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）． 【解析】 【分析】（1），求得，得到，然后计算切点纵坐标，求导数，计算切线斜率，写出切线方程，进而得到函数的解析式; （2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性，进而得到极值. （3）令,，由于，，故先对时的情况利用导数研究函数的单调性，即可得到，符合题意.当时，再利用导数研究函数的单调性，设的零点情况分和讨论，进而求得 时符合题意，时不符合题意，从而综合可得. 【详解】解：（1），∴， ，， ，， 切线方程为,即, ∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，当变化时，求的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出，令（），根据函数的单调性求出其最大值即可． 【详解】（1）， 当时，，在递增， 当时，的根为，， 故在，，递增，在，，递减； （2）由（1）得，，， 故，， 故 ， 令（），（）， 令（），（）， ，（）， 故（）在，递减，又（1）， 从而，时，（），（），（）递增， 时，（），（），（）递减， 故时，（）取最大值1， 故的最大值是1． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第一次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C D. 3. 已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上的最大值是4，则（ ） A. 0 B. C. 9 D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知有极大值和极小值，则a的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. （多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 下列函数在定义域上存在最大值或最小值的是( ) A. B. C. D. 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. 的极小值点为 D. 12. 已知定义在的函数的导函数满足，且，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递增 D. 任意，，都有 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，若，则________. 14. 若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是________. 15. 已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 16. 已知函数，若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 18. 设函数. （1）若在点处的切线为，求a，b的值； （2）求的单调区间. 19. 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足． （1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？ 20. 已知函数，. （1）若在处取得极值，求值； （2）设，试讨论函数的单调性. 21. 已知曲线在处切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数取值范围． 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，当变化时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $