第一章：集合与逻辑知识归纳与题型突破（18类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第一章 集合与逻辑 知识点1 集合的概念 1、集合与元素 （1）集合与元素的含义：在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． （2）集合与元素的关系 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． （3）集合中元素的三大特性 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． （4）集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 ①有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． ②无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 【注意】没有集合的元素叫空集，记作，空集也是有限集． 2、集合的表示方法 （1）常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 （2）集合的表示方法 ①自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ ②列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． ③描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． ④图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 知识点2 集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 2、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点3 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 知识点3 命题 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 3、命题的否定：如果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，读作“非”．它们之间的真假性互异． 知识点4 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3、从集合的条件看充分、必要条件 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为． 3、含量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一 元素与集合关系的判断 【例1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）（多选）已知集合,那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式1-3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）（多选）已知集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据元素与集合的关系求参数 【例2】（23-24高一上·山东淄博·月考）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【变式2-1】（23-24高一上·重庆璧山·月考）（多选）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若集合，且，则 ． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 题型三 集合表示方法的应用 【例3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知集合，则集合A用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·贵州遵义·月考）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 题型四 集合与方程的综合应用 【例4】（23-24高一上·广东深圳·月考）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24高一上·河北秦皇岛·月考）已知集合中有且仅有一个元素，则实数 . 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁丹东·月考）（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【变式4-3】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 题型五 集合间关系的判断 【例5】（23-24高一上·山东日照·月考）已知集合或，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【变式5-1】（23-24高一上·广西玉林·月考）已知集合，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）给出下列关系式：①；②；③，其中正确关系式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（22-23高一上·河南郑州·月考）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 题型六 确定有限集合的子集、真子集 【例6】（23-24高一下·广东梅州·月考）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【变式6-1】（23-24高一上·山东·月考）满足的集合M的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知集合，则A的真子集有 个． 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 题型七 由集合间的关系确定参数 【例7】（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知集合，，若，则实数（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4 【变式7-1】（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·河南安阳·月考）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【变式7-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 题型八 集合相等及其应用 【例8】（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【变式8-1】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）若集合，则 . 【变式8-3】（23-24高一上·广东汕头·月考）若，则= 题型九 集合的交并补综合运算 【例9】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·云南昭通·月考）已知全集，集合，则是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·陕西安康·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型十 图示法在集合运算中的应用 【例10】（23-24高一上·重庆九龙坡·月考）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-2】（23-24高一上·北京·期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型十一 根据集合的交并补运算求参数 【例11】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围． 【变式11-1】（23-24高一上·安徽铜陵·月考）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式11-2】（23-24高一上·浙江金华·月考）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【变式11-3】（23-24高一上·重庆南开·开学考）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 题型十二 集合运算的创新问题 【例12】（23-24高一上·湖北恩施·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“类圆集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“类圆集” B．集合为“类圆集” C．集合不为“类圆集” D．若都是“类圆集”，则也一定是“类圆集” 【变式12-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知集合，． (1)求； (2)定义且，求． 【变式12-3】（23-24高一下·北京顺义·月考）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 题型十三 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例13】（23-24高一上·山西朔州·月考）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式13-1】（23-24高一上·四川泸州·月考）（多选）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·重庆·月考）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式13-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 题型十四 充要条件的证明 【例14】（23-24高一上·山西朔州·月考）已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【变式14-1】（23-24高一上·广东珠海·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【变式14-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【变式14-3】（22-23高一上·湖北武汉·月考）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 题型十五 根据充分必要条件求参数 【例15】（23-24高一上·安徽亳州·期末）（多选）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24高一上·河北邯郸·月考）（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【变式15-2】（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围． 【变式15-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型十六 全称量词与存在量词命题的真假判断 【例16】（23-24高一上·湖南长沙·月考）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【变式16-1】（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 【变式16-2】（23-24高一上·重庆合川·月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)矩形的对角线相等. 【变式16-3】（22-23高一上·山东日照·月考）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2． 题型十七 含量词命题的否定 【例17】（23-24高一上·宁夏固原·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式17-1】（23-24高一上·四川乐山·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式17-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式17-3】（24-25高一上·辽宁·月考）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 题型十八 根据含量词命题的真假求参数 【例18】（23-24高一上·浙江·月考）若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（23-24高一上·青海海东·月考）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（23-24高一上·云南·月考）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 【变式18-3】（23-24高一上·湖南永州·月考）已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑 知识点1 集合的概念 1、集合与元素 （1）集合与元素的含义：在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． （2）集合与元素的关系 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． （3）集合中元素的三大特性 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． （4）集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 ①有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． ②无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 【注意】没有集合的元素叫空集，记作，空集也是有限集． 2、集合的表示方法 （1）常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 （2）集合的表示方法 ①自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ ②列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】元素与元素之间必须用“，”隔开；集合中的元素必须是明确的；集合中的元素不能重复；集合中的元素可以是任何事物． ③描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． ④图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法． 知识点2 集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 2、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点3 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 知识点3 命题 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 3、命题的否定：如果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，读作“非”．它们之间的真假性互异． 知识点4 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3、从集合的条件看充分、必要条件 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为． 3、含量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一 元素与集合关系的判断 【例1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误.故选：B. 【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）（多选）已知集合,那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题知，所以，即BC错误，故选：BC 【变式1-2】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【解析】由解得， 因为，，故，且，故选：A 【变式1-3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）（多选）已知集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】易知，，， 令，即B、C、D正确，A错误；故选：BCD 题型二 根据元素与集合的关系求参数 【例2】（23-24高一上·山东淄博·月考）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【解析】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，.故选：C 【变式2-1】（23-24高一上·重庆璧山·月考）（多选）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题知，或或， 即或或. 当时，（舍）； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意.故选：BD 【变式2-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若集合，且，则 ． 【答案】或 【解析】因为，且， 所以或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，满足题意， 综上所述，或. 【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析；(2)否，理由见解析；(3) 【解析】（1）由题意，若，则，则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由，解得或或， 所以. 题型三 集合表示方法的应用 【例3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 所以.故选：C 【变式3-1】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知集合，则集合A用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则且，故故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·贵州遵义·月考）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程组，可得，解得， 所以方程组的解集为.故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ． 【答案】 【解析】由图知，，， 所以由集合的描述法可知 . 题型四 集合与方程的综合应用 【例4】（23-24高一上·广东深圳·月考）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于方程，解得或； 对于方程，解得或； 所以集合，有3个元素.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一上·河北秦皇岛·月考）已知集合中有且仅有一个元素，则实数 . 【答案】1或 【解析】因为集合中有且仅有一个元素， 则方程仅有一根或两个相等的根， 所以，当时，，满足题意； 当时，，所以， 综上所述，或. 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁丹东·月考）（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【答案】BD 【解析】由，得，即， 因为方程的解集为单元素集， 所以，或方程有一个根为3， 当时，得，此时方程的解为，符合题意， 当方程有一个根为3时，得，此时方程为， ，解得（舍去），或，符合题意， 综上，或，故选：BD. 【变式4-3】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1)；(2)时，元素为；时，元素为；(3)或 【解析】（1）若是空集，则方程无解， 此时，即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，，解得， 此时，或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 题型五 集合间关系的判断 【例5】（23-24高一上·山东日照·月考）已知集合或，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【解析】因为或，，所以⫋，故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·广西玉林·月考）已知集合，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，，而，∴， 而A，B的连接符号错误，C选项，故ABC错误，D正确.故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）给出下列关系式：①；②；③，其中正确关系式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①：因为是有理数集，所以，故①错误； 对于②：对于方程，则， 可知，所以，故②错误； 对于③：因为，即， 所以，故③正确； 所以正确的个数为1，故选：B. 【变式5-3】（22-23高一上·河南郑州·月考）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ， 而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有， 集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以.故选：C. 题型六 确定有限集合的子集、真子集 【例6】（23-24高一下·广东梅州·月考）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【解析】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是.故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·山东·月考）满足的集合M的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为， 所以集合可能为：，，，共4种情况.故选：C 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知集合，则A的真子集有 个． 【答案】7 【解析】对于，可知，解得， 且，可得或或， 即，有3个元素， 所以A的真子集有个. 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【解析】由题意，， 因为，所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为，所以或，所以或，故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.故选：BD. 题型七 由集合间的关系确定参数 【例7】（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知集合，，若，则实数（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4 【答案】C 【解析】因，，且， 故，且，则有或.故选：C. 【变式7-1】（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，若，则. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·河南安阳·月考）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C 【变式7-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 【答案】 【解析】当，即时，，满足； 若，且满足， 如图所示，则，即,所以． 综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为． 题型八 集合相等及其应用 【例8】（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由可知，.故选：A 【变式8-1】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为，且， 即，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 当时，，符合题意.故选：C 【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，， 则或， 由解得或. 由解得. 当时，不满足集合元素的互异性. 当时，两个集合为，符合题意，此时. 当，两个集合为，符合题意，此时. 综上所述，. 【变式8-3】（23-24高一上·广东汕头·月考）若，则= 【答案】 【解析】由题设，根据集合元素的互异性， 所以=. 题型九 集合的交并补综合运算 【例9】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 又，所以，.故选：B. 【变式9-1】（23-24高一下·云南昭通·月考）已知全集，集合，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 又，， 所以，.故选：C. 【变式9-2】（23-24高一下·陕西安康·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确；故选：D. 【变式9-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 所以，或， ，或， 所以，或.故选：B 题型十 图示法在集合运算中的应用 【例10】（23-24高一上·重庆九龙坡·月考）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，图中阴影部分表示的集合为,故选：C. 【变式10-1】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为，故选：. 【变式10-2】（23-24高一上·北京·期中）如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图中阴影可知，阴影部分的元素是由集合C中的元素和同时在两个集合中的元素组成的， 故表示的集合为.故选：A 【变式10-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S， 故属于集合S的补集，即是的子集， 则阴影部分所表示的集合是故选：C 题型十一 根据集合的交并补运算求参数 【例11】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由题意，全集，集合或，， 因为，可得， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足，此时不等式组的解集为空集. 综上可得，实数的取值范围为. 【变式11-1】（23-24高一上·安徽铜陵·月考）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 【变式11-2】（23-24高一上·浙江金华·月考）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）时，知： 当时，得； 当时，或，解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是. 【变式11-3】（23-24高一上·重庆南开·开学考）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 题型十二 集合运算的创新问题 【例12】（23-24高一上·湖北恩施·月考）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故.故选：D. 【变式12-1】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“类圆集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“类圆集” B．集合为“类圆集” C．集合不为“类圆集” D．若都是“类圆集”，则也一定是“类圆集” 【答案】B 【解析】设，，； 则，即可得，则点在线段上， 由题意可得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为“类圆集”， 对于A, 集合， 若对于任意的满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点，不一定满足， 图中所示，即； 故集合不为“类圆集”，即A错误； 对于B，若， 对于任意的满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点，都有，即； 故可得集合为“类圆集”，即B正确； 对于C，集合，对于任意的满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点，都有，即； 故可知集合为“类圆集”，即C错误； 对于D，若都是“类圆集”，不妨取； 对于任意的满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点都有，即； 故为“类圆集”，同理可得也为“类圆集”； 而的图象如下：显然， 但线段上任意一点不满足，也不满足，即， 即不一定是“类圆集”，即D错误.故选：B 【变式12-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知集合，． (1)求； (2)定义且，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题意知， 或 所以， 所以； （2）由题意知． 【变式12-3】（23-24高一下·北京顺义·月考）对于正整数集合（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”； (1)判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）； (2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数. 【答案】(1)集合和都不是；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）对于集合， 去掉时，， ， 所以集合不是“可分集合”； 对于集合，所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为， 则剩下元素可以构成的两个集合，每个集合中元素之和为， 因此这两个集合中元素的个数为偶数， 而两个元素之和的最大值为， 四个元素之和的最小值为， 所以集合不是“可分集合”； （2）不妨设， 去掉，则， 去掉，则， 所以，显然与矛盾， 所以四个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）设集合所有元素之和为， 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数， 如果为奇数，则也均为奇数， 由于，所以为奇数， 如果为偶数，则均为偶数，此时设， 则也是“可分集合”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”， 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数， 综上所述，为奇数. 题型十三 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例13】（23-24高一上·山西朔州·月考）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件．故选：B. 【变式13-1】（23-24高一上·四川泸州·月考）（多选）可以作为“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】“”的充分不必要条件可以是：、， 所以BD选项正确，AC选项错误.故选：BD 【变式13-2】（23-24高一上·重庆·月考）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A. 【变式13-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 题型十四 充要条件的证明 【例14】（23-24高一上·山西朔州·月考）已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明见解析 【解析】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件. 【变式14-1】（23-24高一上·广东珠海·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【解析】证明： ①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【变式14-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 【变式14-3】（22-23高一上·湖北武汉·月考）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【答案】，证明见解析. 【解析】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 题型十五 根据充分必要条件求参数 【例15】（23-24高一上·安徽亳州·期末）（多选）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确．故选：BD． 【变式15-1】（23-24高一上·河北邯郸·月考）（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【解析】由，得或，解方程，得， 依题意，，，则或，解得或， 所以实数的值为或.故选：BC 【变式15-2】（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【解析】由题意，命题，， 因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件， 即命题是命题的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式15-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2)． 【解析】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件， 所以，其中等号不能同时取到，解得， 即实数m的取值范围是． 题型十六 全称量词与存在量词命题的真假判断 【例16】（23-24高一上·湖南长沙·月考）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【答案】D 【解析】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确.故选：D 【变式16-1】（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 【答案】AC 【解析】对于，所以，故A选项是全称量词命题且为真命题； 对于B，当时，恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，当时，方程无解，故D选项是假命题.故选：AC. 【变式16-2】（23-24高一上·重庆合川·月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)矩形的对角线相等. 【答案】(1)全称量词命题，真命题；(2)存在量词命题，真命题；(3)全称量词命题，真命题 【解析】（1）本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的能被6整除的数都为偶数”， 是全称量词命题，且为真命题. （2）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题. （3）本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的矩形的对角线都相等”， 是全称量词命题，且为真命题. 【变式16-3】（22-23高一上·山东日照·月考）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【解析】（1）是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”，是假命题． （2）是全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． （3）是存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题． 题型十七 含量词命题的否定 【例17】（23-24高一上·宁夏固原·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由特称命题的否定的概念知， “，”的否定为：，．故选：B． 【变式17-1】（23-24高一上·四川乐山·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】运用特称命题的否定知识,命题“，”的否定是“，”.故选：A. 【变式17-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定是:，.故选：C. 【变式17-3】（24-25高一上·辽宁·月考）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【解析】由全称命题的否定是特称命题知： 原命题的否定为，或.故选：D 题型十八 根据含量词命题的真假求参数 【例18】（23-24高一上·浙江·月考）若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 是假命题，则其否定恒成立为真， 又，故，故选：B 【变式18-1】（23-24高一上·青海海东·月考）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是.故选：C 【变式18-2】（23-24高一上·云南·月考）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，知当时，． ∵p为真命题，∴． ∴实数a的取值范围是． （2）由（1）知命题p为真命题时，． 命题q为真命题时，，解得， ∴为真命题时，． ∵命题p和均为真命题，∴，解得， 即实数a的取值范围为． 【变式18-3】（23-24高一上·湖南永州·月考）已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或；(2)或或 【解析】（1）由题意可知，得或 （2）命题p为真命题时， 若时，显然满足， 当时，则，解得， 综上可得p为真命题时，； 当命题p真q假时，，解得； 当命题p假q真时，得或 所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$