2.1 相等关系与不等关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

2.1　相等关系与不等关系 2.1.1　等式与不等式 核心知识目标 核心素养目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 3.掌握等式的基本性质和不等式的基本性质. 4.运用不等式的基本性质解决有关问题. 1.通过用不等式(组)表示实际问题,培养数学抽象、数学建模的核心素养. 2.通过作差法比较两个实数的大小,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.通过等式的基本性质和不等式的基本性质的应用,增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.不等关系与不等式 我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有>,<,≤,≥,≠. 2.两实数的大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0. 3.等式的基本性质 性质1:如果a=b,那么b=a; 性质2:如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4:如果a=b,那么ac=bc; 性质5:如果a=b,c≠0,那么=. 4.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 性质3 可加性 a>b⇒a+c>b+c ⇒ 续　表 性质 别名 性质内容 注意 推论1 — a+b>c⇒a>c-b ⇒ 推论2 同向 可加性 ⇒a+c>b+d ⇒ 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 推论3 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N+) 同正 性质5 — a>b>0⇒> (n∈N+) 同正 性质6 — ⇒< — ⇒> 1.(多选题)下列命题中正确的是(　AC　) A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,则ac>bc C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则a2>b2 解析:B中当c<0时不成立,D中当b<a<0时不成立,选AC. 2.若x∈R,y∈R,则(　A　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 解析:因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A. 3.已知5<a<10,2<b<8,则的范围是　　　　,a-b的范围是　　　　.  解析:因为5<a<10,2<b<8, 所以<<, 所以<<, 即<<5. 又因为-8<-b<-2, 所以-3<a-b<8. 答案:<<5　-3<a-b<8 4.若x∈R,则与的大小关系为　　　　.  解析:-==≤0, 所以≤. 答案:≤ 　用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆, y辆,则 [即时训练1-1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解:设甲、乙两种产品的产量分别为x件,y件, 由题意可知, 用不等式(组)表示不等关系的步骤: (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. (1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系; (2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,就选用几个字母分别表示这些变量即可. 　作差比较法比较代数式大小 [例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小. 解:x3-1-(2x2-2x) =x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)(x2-x+1) =(x-1)[(x-)2+]. 因为x>1,所以x-1>0. 又(x-)2+>0, 所以(x-1)[(x-)2+]>0. 所以x3-1>2x2-2x. [即时训练2-1] 已知a≠1且a∈R,试比较与 1+a的大小. 解:作差得-(1+a)=. (