特训02 三角形相关角度计算专练-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训02 三角形相关角度计算专练 【特训过关】 一、运用三角形内角和定理计算角度 1．在中，若，，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的， 请问的角度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计 了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则＝　 　． 6．一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则＝　 　． 7．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①； ②；③．其中正确的是 　 　．（只填序号） 8．已知为的高线，为角平分线，当，时，＝　 　度． 9．如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）的度数． 10．如图，在中，，是的外角，平分． （1）求的度数； （2）与平行吗？请说明理由． 二、运用三角形外角性质及内角和定理计算角度 11．如图，在中，，，那么的度数为（　　） A．110 B．100 C．55 D．45 12．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且， ，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 14．如图，、、、满足的关系是（　　） A． B． C． D． 15．如图，和是的两个外角，若，则的度数为 　 　． 16．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果， ，则＝　 　°． 17．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线 相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　．（填写所有正确 结论的序号） ①；②；③；④． 18．如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角 交的延长线于点E．以下结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（填序号） 　 　． 19．如图，在中，．点D、E分别是、边上一点，连接、，与 相交于点F．若，，请说明．对于上述问题，在以下解答过 程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵是的外角（已知）， ∴　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 同理可得：　 　． 又∵（已知）， ∴　 　（等式性质）． ∵　 　°（三角形内角和等于）， ，（已知）， ∴（等式的性质）， ， ∴　 　°（等量代换）． 20．如图，在直角中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 21．在中，，，分别是边，上的高，且，相 交于点H，求的度数． 22．如图，的外角的平分线与线段延长线交于点F，点E在线段上，且 ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得 ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 24．（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E，点D是线段延长线上一点，过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 三、角度关系综合探究 25．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 26．【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点D， 则＝　 　°； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、交于点O，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，，直接写出的度数． 27．本明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于 点D，猜想、、的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中　 　，猜想与、的数量关系是 　 　． （2）小明继续研究，在图2中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，求的度数．小明通过“过点A作于G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程． （3）在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，请直接写出与、之间的数量关系． 28．如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）． （1）若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．则的度数为 　 　． （2）如图2，若，，求的度数． （3）如图3，若将“”改为“”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）． 29．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，、分别平分、， 若，，求的度数； 解：∵、分别平分、， ∴，， 由（1）的结论得：， ①+②，得， ∴． 【问题探究】 如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：　 　（用、表示），并说明理由． 30．如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则　 　°； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为H，射线在的内部且，射线与交于点P，若，和满足的数量关系为，请直接写出m，n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 三角形相关角度计算专练 【特训过关】 一、运用三角形内角和定理计算角度 1．在中，若，，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B． 【解析】解：在中，若，， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故选：B． 2．在中，若，则是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选：A． 3．三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的， 请问的角度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：由题意得，，， 在中，， ∴． 故选：C． 4．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计 了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图，延长直线a，b相交于点A， ∵，， ∴，， ∴， ∴直线a，b所夹锐角的度数为， 故选：B． 5．如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则＝　 　． 【答案】． 【解析】解：∵中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则＝　 　． 【答案】． 【解析】解：如图， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①； ②；③．其中正确的是 　 　．（只填序号） 【答案】①②③． 【解析】解：①由题意得：， ∴，故①正确； ②过点F作，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 8．已知为的高线，为角平分线，当，时，＝　 　度． 【答案】10或40． 【解析】解：①如图1，∵，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， ②如图2，在中，∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：10或40． 9．如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵， ∴． ∵平分， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴． 10．如图，在中，，是的外角，平分． （1）求的度数； （2）与平行吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析． 【解析】解：（1）根据三角形内角和定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 二、运用三角形外角性质及内角和定理计算角度 11．如图，在中，，，那么的度数为（　　） A．110 B．100 C．55 D．45 【答案】B． 【解析】解：由三角形的外角的性质可知，， 故选：B． 12．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：在图中标记，，，如图所示． ∵，， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 13．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且， ，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：A． 14．如图，、、、满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解： 如图，由三角形外角的性质可得，， ∴， 故选：D． 15．如图，和是的两个外角，若，则的度数为 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， ∵和是的两个外角， ∴， 故答案为：． 16．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果， ，则＝　 　°． 【答案】． 【解析】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：． 17．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线 相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　．（填写所有正确 结论的序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④． 【解析】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④． 18．如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角 交的延长线于点E．以下结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（填序号） 　 　． 【答案】①②③④． 【解析】解：①、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点E， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 19．如图，在中，．点D、E分别是、边上一点，连接、，与 相交于点F．若，，请说明．对于上述问题，在以下解答过 程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵是的外角（已知）， ∴　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 同理可得：　 　． 又∵（已知）， ∴　 　（等式性质）． ∵　 　°（三角形内角和等于）， ，（已知）， ∴（等式的性质）， ， ∴　 　°（等量代换）． 【答案】，，，180，90． 【解析】解：∵是的外角（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 同理可得：． 又∵（已知）， ∴（等式性质）． ∵（三角形内角和等于）， ，（已知）， ∴（等式的性质）， ， ∴（等量代换）． 故答案为：，，，180，90． 20．如图，在直角中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）∵为斜边上的高，则， ∴； （2）在直角中，由三角形内角和为， 可得， 又∵， ∴． 21．在中，，，分别是边，上的高，且，相 交于点H，求的度数． 【答案】． 【解析】解：∵在中，， 故设，，． ∵在中，， ∴， 解得， ∴． ∵，分别是边，上的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 22．如图，的外角的平分线与线段延长线交于点F，点E在线段上，且 ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∴． 23．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得 ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由． 【答案】见解析． 【解析】解：方法一：如图，连接并延长， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格． 方法二：如图，延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格． 24．（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E，点D是线段延长线上一点，过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、角度关系综合探究 25．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析； （3）． 【解析】解：（1）， 理由如下：∵和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）， 理由如下：∵和分别是与外角的角平分线， ∴，， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； （3）结论：． 根据三角形的外角性质，得，， ∵O是外角与外角的平分线和的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 26．【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点D， 则＝　 　°； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、交于点O，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，，直接写出的度数． 【答案】（1）或；（2）；（3）的度数为或或或． 【解析】解：（1）∵，，是的“三分线”， ∴， ∵， ∴或， 故答案为：或； （2）如图③，∵， ∴， ∴， ∵、分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）四种情况： ①如图1，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ∴，， 由①知：， 同理得：， ∴； ③如图3，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ∴，， 由①知：， 同理得：， ∴； ④如图4，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ∴，， 由①知：， 同理得：， ∴； 综上，的度数为或或或． 27．本明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于 点D，猜想、、的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中　 　，猜想与、的数量关系是 　 　． （2）小明继续研究，在图2中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，求的度数．小明通过“过点A作于G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程． （3）在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】解：（1）根据表格中对应值的规律得：，猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴由（1）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； （3）与、之间的数量关系是：，理由如下： 过点A作于H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴由（1）的结论得：， ∴． 28．如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）． （1）若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D．则的度数为 　 　． （2）如图2，若，，求的度数． （3）如图3，若将“”改为“”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 29．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，、分别平分、， 若，，求的度数； 解：∵、分别平分、， ∴，， 由（1）的结论得：， ①+②，得， ∴． 【问题探究】 如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：　 　（用、表示），并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；． 【解析】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：【问题探究】， 理由：如图3， ∵平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴； 【拓展延伸】 由（1）可知：，， ， ∴，， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 30．如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则　 　°； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为H，射线在的内部且，射线与交于点P，若，和满足的数量关系为，请直接写出m，n的值． 【答案】（1）45；（2）；（3），． 【解析】解：（1）如图1，∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）如图1所示，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ①， 同理可得：， ∴， ∴②， 把②代入①得：， ∴， 即； （3）如图2，设， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴①， ∵， ∵， ∴，② 把①代入②得：， ∵， ， 解得：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$