3.3勾股定理的简单应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第3章勾股定理 3.3勾股定理的简单应用 苏科版 八年级上册 教学目标 01 能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，比如大树折断模型和风吹荷花模型、蚂蚁行程模型等 02 能应用勾股定理及其逆定理解三角形 大树折断模型 和风吹荷花模型 01 课堂引入 从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形。 如右图，已知桥面以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长? 02 知识精讲 大树折断模型 《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高? 3 B C A 解：如图，竹子在点A处折断，竹梢点B着地，BC=3尺，△ABC是直角三角形， x 10-x 设AC=x尺，则AB=(10-x)尺， 由勾股定理可得：x2+32=(10-x)2，解得：x=4.55， ∴折断处离地面4.55尺。 02 知识精讲 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 风吹荷花模型 x x+1 5 解：如图，BC=5尺，△ABC是直角三角形， B C A 设AC=x尺，则AB=(x+1)尺， 由勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得：x=12， ∴x+1=13， ∴这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。 03 典例精析 例1、在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高。 解：∵BC=10米，AC=20米， ∴两只猴子所经过的距离相等都为30米， 设树的高度为CD=x米，则DB=(x-10)米，AD=(40-x)米， 由勾股定理可得：x2+202=(40-x)2，解得：x=15m， 答：这棵树高15m。 03 典例精析 例2、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度。 解：设OA=OB=x尺，∵EC=BD=5尺，AC=1尺， ∴EA=EC-AC=4尺，OE=OA-AE=(x-4)尺， 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺， 由勾股定理可得：x2=(x-4)2+102，解得：x=14.5， 答：秋千绳索的长度是14.5尺。 蚂蚁行程模型 01 课堂引入 操作——1.如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在正方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 A B a A B a a a 最短路程2=AB2=a2+(2a)2=5a2。 B A a b c 01 课堂引入 2.如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在长方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 第1种可能性： 【分析】有三种可能性： 最短路程2=AB2=c2+(a+b)2=a2+b2+c2+2ab； A B a c b B A a b c 01 课堂引入 第2种可能性： A B a b c 最短路程2=AB2=a2+(b+c)2=a2+b2+c2+2bc； B A a b c 01 课堂引入 第3种可能性： A B a c b 最短路程2=AB2=b2+(a+c)2=a2+b2+c2+2ac； 综上，最短路程2=AB2=a2+b2+c2+min{2ab，2bc，2ac}。 01 课堂引入 3.如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在圆柱表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 【分析】有两种可能性： 第1种可能性：最短路程=AC+BC=2r+h； A B h 2r C 01 课堂引入 圆柱的侧面展开图是矩形： 第2种可能性： A B h 2r A B A h πr 最短路程2=AB2=h2+(πr)2； 综上，最短路程2=min{(2r+h)2，h2+(πr)2}。 02 知识精讲 蚂蚁行程模型 正方体中，从A到B的最短路程2=5a2。 长方体中，从A到B的最短路程2 =a2+b2+c2+min{2ab，2bc，2ac}。 圆柱中，从A到B的最短路程2= min{(2r+h)2，h2+(πr)2}。 例1、如图，有一个棱长为1m且封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到顶点B，求这只昆虫沿表面爬行的最短路程的平方。 解：如图，展开后由勾股定理得： AB2=12+(1+1)2=5(m2)。 03 典例精析 B A 例2、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长的平方。 解：①如图1：AB2=32+(4+12)2=265(cm2)； ②如图2：AB2=42+(3+12)2=241(cm2)； ③如图3：AB2=122+(3+4)2=193(cm2)； 03 典例精析 12 ∵265>241>193， ∴它所行的最短路线的长的平方是193cm2。 例3、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。（π取3） C 解：① AC+BC=8cm+4cm=12m； ②沿AC将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6(cm)， 在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB2=AC2+BC2=100cm2，AB=10cm。 C B A 综上，∵12m>10cm，∴最短距离为10cm。 03 典例精析 解三角形 02 知识精讲 解三角形 如图，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20，求AC。 解：∵AD是△ABC的中线，且BC=20， ∴BD=DC=BC=10， ∵AD2+BD2=576+100=676，AB2=262=676，∴AD2+BD2=AB2， ∴∠ADB=90°，AD垂直平分BC， ∴AC=AB=26。 03 典例精析 例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，则四边形ABCD的面积等于________。 36 【分析】如图，连接AC， ∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC2=AB2+BC2=25，即AC=5， 在△ACD中，AC2+AD2=25+144=169=CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•AD=×3×4+×5×12=36。 03 典例精析 例2、在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=15，则△ABC的面积是________。 54 【分析】∵AB2+AC2=92+122=152=BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴S△ABC=AB•AC=×9×12=54。 课后总结 正方体中，从A到B的最短路程2=5a2。 长方体中，从A到B的最短路程2=a2+b2+c2+min{2ab，2bc，2ac}。 圆柱中，从A到B的最短路程2=min{(2r+h)2，h2+(πr)2}。 3.3勾股定理的简单应用 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$