山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试题

高二年级暑假学业检查数学 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1. 设，则 A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ） A. 24 B. 12 C. D. 5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（ ） A. 8 B. 7 C. 8.5 D. 7.5 8. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 周期为 D. 在上是增函数 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．） 9. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的三等分点，则（ ） A. B. 若，则在上的投影向量为 C. 若，则 D. 若 11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球的表面积为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 点A到平面的距离为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 13. 过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 14. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 利用空间向量知识完成本题． （1）如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面? （2）如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面． （3）如图3，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (I)求点B到直线的距离； (II)求直线到平面的距离． 16. 判断下列各对直线是否平行或垂直： （1）经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； （2）经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． （3）试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 18. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 高二年级暑假学业检查数学 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】． 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）(I)，(II) 【16题答案】 【答案】（1）平行 （2）垂直 （3）(I);(II) 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4， 则甲、乙抽到牌的所有情况为，共12种不同的情况. （2） （3）游戏不公平，理由：甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况， 因此甲胜的概率为，乙胜的概率为. 因此＜，所以此游戏不公平. 【19题答案】 【答案】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $