专题05 有理数单元过关（培优版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题05 有理数单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在﹣2.5，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2.5 B．﹣1 C．0 D．1 2．绝对值是2的数是（    ） A． B． C．2 D． 3．若，则m是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 4．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D．或 6．已知，，且，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．9或3 D．－9或－3 7．下列四组数中，其中每组三个都不是负数的是（    ） ①2，，；②，，0；③，，；④，，0 A．①、② B．①、③ C．②、④ D．③、④ 8．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 9．若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．等于 ． 12．写出一个大于的整数 ． 13．已知，，且，则 ． 14．设表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；                    ②的最小值是0； ③的最大值是0；       ④ 存在实数x，使成立． 15．如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处，若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为 ．    16．若x，y为有理数，且，则x ,y= . 评卷人 得分 三、解答题 17．请把下列各数填入相应的集合中：，，0，，，． (1)正有理数集合：{__________…}； (2)整数集合：{__________…}； (3)负分数集合：{__________…}． 18．画出数轴，在数轴上表示下列各数 2， -1，-1.5， 0，3， 19．在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm） (1)若，则______，并求的和； (2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式． 20．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示的数互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8． (1)写出点A和点B表示的数； (2)写出与点B距离为8.5厘米的直尺左端点C表示的数； (3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点对称的点表示的数． 21．根据下面给出的数轴，解答下列问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； （2）A，B两点之间的距离为　 　；若A点在数轴上表示的数为x1，B点在数轴上表示的数为x2，则A，B之间距离为　 　（用含有x1，x2的式子表示）； （3）若C点与A点相距a个单位长度（a＞0），则C点所表示的数为　 　． 22．已知|ab－2|与|b－1|互为相反数， 求式子的值． 23．对于一个数，我们用 表示小于的最大整数，例如： ． (1)填空：___；____；___；______． (2)若都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 24．如图：在数轴上点表示数，点示数． (1)、两点之间的距离等于______； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______； (4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长． 25．阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数单元过关（培优版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在﹣2.5，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2.5 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据有理数的大小比较的法则负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数进行比较即可． 【详解】解：∵，， ∵， ∴﹣2.5＜﹣1， ∴﹣2.5＜﹣1＜0＜1， ∴﹣2.5，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2.5， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键，理数的大小比较法则是负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2．绝对值是2的数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由绝对值的意义，即可得到答案． 【详解】解：绝对值是2的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的意义． 3．若，则m是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义判断即可． 【详解】解：当即时，则m≥0，即m是非负数； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值，属于常考题型，熟练掌握绝对值的意义是关键． 4．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义和去括号逐一分析即可． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查绝对值的意义和相反数的意义，熟练掌握化简绝对值的方法是解题的关键． 5．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，结合数轴上两点间距离即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 点A滚动长度为：， ∴点表示的数是：， 故选B． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及点坐标关系，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值． 6．已知，，且，则的值为（    ） A．9 B．－9 C．9或3 D．－9或－3 【答案】D 【分析】根据绝对值的含义先求解的值，再根据进行分类讨论，最后求解代数式的值即可. 【详解】解： ，， ， 或 当时，， 当时， 故选D 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的减法运算，代数式的值，掌握“”是解本题的关键. 7．下列四组数中，其中每组三个都不是负数的是（    ） ①2，，；②，，0；③，，；④，，0 A．①、② B．①、③ C．②、④ D．③、④ 【答案】B 【分析】根据负数的意义，前面有“”号，小于0的数是负数，据此解答即可． 【详解】解：下列几组数： ①2，，； ②，，0； ③，，； ④，，0； 每组三个都不是负数的是：①③； 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点是正数和负数，关键是掌握小于0的数是负数，0既不是正数0不是负数． 8．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作” 例如，，……则所有“绝对操作”共有（    ）种不同运算结果 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据给定的定义对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出结果，理解题意，熟练掌握绝对值的化简是解题关键． 【详解】解： 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是； ； ； ． 当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；； ． 共有7种情况； 故选：A． 9．若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、非负数的性质等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零成为解题的关键． 根据绝对值、非负数的非负数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由，，则，故该选项正确，不符合题意； B. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 当且互为相反数时，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 10．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．等于 ． 【答案】6 【分析】根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 12．写出一个大于的整数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的分类，根据整数的定义写出符合条件的整数即可，正确理解有理数的分类是解题的关键． 【详解】根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】根据，，且求出m、n的值各是多少，即可求出的值等于多少． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减法的运算方法，绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 14．设表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；                    ②的最小值是0； ③的最大值是0；       ④ 存在实数x，使成立． 【答案】④ 【分析】利用题中的新定义判断即可． 【详解】，①错误； 没有最小值，②错误； 的最大值是1，③错误； 当时，此时，④正确； 故答案为：④． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，理解新定义是解本题的关键． 15．如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处，若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为 ．    【答案】12 【分析】先计算直尺的0刻度位置与点A的数轴距离为，再计算点，间的刻度距离为，接着计算点，间的数轴距离为，最后根据数轴上两点间的距离为，代入计算即可． 【详解】根据题意，计算直尺的0刻度位置与点A的刻度尺距离为， 计算直尺的0刻度位置与点A的数轴距离为， ∵点，间的刻度距离为， ∴点，间的数轴距离为， ∴， ∴， 解得 ∴点对应的数为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离的计算方法，熟练掌握公式是解题的关键． 16． 若x，y为有理数，且，则x ,y= . 【答案】 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．请把下列各数填入相应的集合中：，，0，，，． (1)正有理数集合：{__________…}； (2)整数集合：{__________…}； (3)负分数集合：{__________…}． 【答案】(1)5， ， (2)5，，0 (3)，， 【分析】有理数包括整数和分数，正确按分类填写即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{_5___ ______…}； 故答案为：5， ，； （2）解：整数集合：{__5____0____…}； 故答案为：5，，0； （3）解：负分数集合：{__________…}． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数，理解有理数的分类是解题的关键． 18．画出数轴，在数轴上表示下列各数 2， -1，-1.5， 0，3， 【答案】画图见解析 【分析】根据“数轴上原点左边为负数，原点右边为正数，原点表示0”，先确定数在原点的左边还是右边，再结合这个数与原点的距离，从而可以描出这个数所对应的点，从而可得答案． 【详解】解：如图， 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，掌握“数轴上原点左边为负数，原点右边为正数，原点表示0”是解本题的关键． 19．在以lcm为单位长度的数轴上，有理数a，b，c，d分别对应点A，B，C，D．将刻度尺的外沿与这段数轴重合，四个点按如图所示对应数轴直尺上的整数刻度（单位：cm） (1)若，则______，并求的和； (2)当，则数轴的原点对应直尺上的刻度为______；现在数轴上只移动点D，若满足，试说明点D的移动方式． 【答案】(1)1， (2)，点D的移动方式为向左移动 【分析】（1）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后问题可求解； （2）根据题意可知数轴的原点在直尺的处，然后可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由可知数轴的原点在直尺的处，则有，， ∴； （2）解：由可知数轴的原点在直尺的处， ∴， ∵， ∴， ∴点D的移动方式为向左移动． 【点睛】本题主要考查数轴上的有理数的表示、有理数的运算及相反数，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键． 20．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示的数互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8． (1)写出点A和点B表示的数； (2)写出与点B距离为8.5厘米的直尺左端点C表示的数； (3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点对称的点表示的数． 【答案】(1)，3 (2) (3)1 【分析】（1）利用间的距离和A、B互为相反数求值即可； （2）利用两点间的距离计算即可； （3）利用两点间的距离计算即可． 【详解】（1）解：∵A对应刻度2，B对应刻度8， ∴， ∵A，B在数轴上互为相反数且A在左，B在右， ∴A表示，B表示3； （2）解：∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为8.5厘米， ∴C表示的数为； （3）解：因为点D到A的距离为2， 所以点D表示的数为或． 因为点D到B的距离为4， 所以点D表示的数为或7． 综上，点D表示的数为． 所以点D关于原点对称的点表示的数为1． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离是表示两个点的数差的绝对值，或用右边的数减去左边的数． 21．根据下面给出的数轴，解答下列问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； （2）A，B两点之间的距离为　 　；若A点在数轴上表示的数为x1，B点在数轴上表示的数为x2，则A，B之间距离为　 　（用含有x1，x2的式子表示）； （3）若C点与A点相距a个单位长度（a＞0），则C点所表示的数为　 　． 【答案】(1)A：2，B：-1；(2)3；|x1－x2|；(3)a+2或2－a． 【分析】(1)根据数轴的特点即可求解； (2)根据两点间距离公式即可求解； (3)分左右两种情况即可求解． 【详解】解：(1)A：2，B：-1； (2)A，B两点之间的距离为2-(-1)=3；若A点在数轴上表示的数为x1，B点在数轴上表示多数为x2，则A，B之间距离为|x1－x2|， 故答案为：3；|x1－x2|； (3)C点所表示的数为a+2或2－a． 故答案为：a+2或2－a． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离的表示和采用数形结合的思想是解题的关键． 22．已知|ab－2|与|b－1|互为相反数， 求式子的值． 【答案】 【分析】现根据|ab－2|与|b－1|互为相反数即两数和为0，计算出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵|ab－2|与|b－1|互为相反数， ∴， ∴，， ∴， 则 ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，互为相反数两数和为．注意：几个非负数的和为，则这几个非负数同时为．还要注意解此类计算题的规律，明确是解题的关键． 23．对于一个数，我们用 表示小于的最大整数，例如： ． (1)填空：___；____；___；______． (2)若都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)-1,2021，-2022,0 (2)0 【分析】（1）根据的定义即可解答； （2）根据题干信息求得的值，然后代入原式求值即可． 【详解】（1）解：-1；2021；-2022；0． 故答案为-1,2021，-2022,0． （2）解：∵，，和互为相反数 ∴，即 ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较、相反数、代数式求值等知识点，正确理解的定义是解题的关键． 24．如图：在数轴上点表示数，点示数． (1)、两点之间的距离等于______； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______； (4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长． 【答案】(1)16 (2)8 (3)或 (4) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解． （2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解． （3）由题意可知，点C距离点B点较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再根据等式，去绝对值即可求解． （4）根据题意分类讨论：当时；当时；当时即可求解． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点示数，， A、两点之间的距离等于， 故答案为：． （2）的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示的点的距离之和， 只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小，即时，距离之和最小， 当时，， 的最小值为， 故答案为：． （3）设点表示的数是， 在数轴上点表示数，点示数， ，， ， ， 或， 解得或， 点表示的数是或， 故答案为或． （4）当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ； 当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ； 当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论解决问题是解题的关键． 25．阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 【答案】(1)3，，x， (2)①5  ②或 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）①根据绝对值的意义化简计算即可； ②分，，，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为； 数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为, 故答案为：3，，x，． （2）①∵， ∴． ②当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴矛盾，不成立， 故或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值的特点和意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$