山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试题

高二年级暑假学业检查数学 时间：90 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题意的．） 1．设 z＝ +2i，则|z|＝（ ） A．0 B． C．1 D． 2.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A b+c，b，b-c B a，a+b，a-b C a+b，a-b，c D a+b，a+b+c，c 3. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 (2 )cos cos , 2 3b c A a C b− = = ，若边 BC 的中线等于 3，则 ABC 的面积为（ ） A 9 3 B 9 3 2 C 3 3 D 3 3 2 4．河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的 金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠 部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1: 4，高为 2， 体积为 56 3 ，则该“方斗”的侧面积为（ ） A．24 B．12 C．24 5 D．12 5 5.设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率 为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、 B 两点，从A 、 B 两点分别测得树尖的 仰角为30、45，且A 、 B 两点之间的距离为60m，则树的高度为（ ） A． ( )30 30 3 m+ B． ( )30 15 3 m+ C． ( )15 30 3 m+ D． ( )15 15 3 m+ 7．已知 10 个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第 40 百分位数是 （ ） A．8.5 B．8 C．7.5 D．7 8．已知向量 ( )22cos , 3m x= ， ( )1,sin2n x= ，设函数 ( )f x m n=  ，则下列关于函数 ( )y f x= 的性质的描述正确的是 ( ) A．关于直线 12 x  = 对称 B．关于点 5 ,0 12       对称 C．周期为2 D． ( )y f x= 在 ,0 3   −    上是增函数 二、选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项 中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分 3 分，有 选错的得 0 分．） 9.已知点 M(2,2)和 N(5,－2)，点 P 在 x 轴上，且∠MPN 为直角，求点 P 的坐标（ ） A (1，0) B (4，0) C (2，0) D (6，0) 10．如图，在 ABC 中， 12, ,BC D E= 是 BC 的三等分点，则（ ） A． 1 2 3 3 AE AB AC= + B．若 0AB AC = ，则 AE 在 AB 上的投影向量为 2 3 AB C．若 9AB AC = ，则 40AD AE = D．若 2 2 4, 88AD AE AB AC = + = 11．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PA＝AB＝ 2，E，F分别为 PD，PB的中点，则（ ） A．EF⊥平面 PAC B．四棱锥 P﹣ABCD的外接球的表面积为 48π C．CF与平面 ABCD所成角的正弦值为 D．点 A到平面 EFC的距离为 三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12.经过 A(0,2)，B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，求 k 的值为________． 13.过A(m²+2，m²－3)，B(3－m－m²，2m)两点的直线 l的倾斜角为45°，求m的值为________． 14．如图，若斜边长为2 2 的等腰直角 A B C  （ B与O重合）是水平放置的 ABC 的直 观图，则 ABC 的面积为________． 四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．） 15.（13 分）利用空间向量知识完成本题. （1）如图 15-1, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=4, BC=3, CC1=2. 线段 B1C 上是否存 在点 P, 使得 A1P 平行于平面 ACD1？ （2）如图 15-2, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD= ∠BAD=60°, 求证直线 A1C 垂直于平面 BDD1B1。 （3）如图 15-3, 在棱长为 1 的正方体中, E 为线段 A1B1 的中点, F 为线段 AB 的中点. i 求点 B 到直线 AC1 的距离; ii 求直线 FC 到平面 A1C1的距离. 图 15-1 图 15-2 图 15-3 16.（15 分）判断下列各对直线是否平行或垂直： （1）经过 A(2，3)，B(-1，0)两点的直线 l₁,与经过 P(1，0)且斜率为 1 的直线 l₂； （2）经过 C(3，1)，D(-2，0)两点的直线 l₃,与经过点 M(1，-4)且斜率为-5 的直线 l₄. （3）试确定 m 的值，使过 A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过 P(1，2)，Q(-5，0)两点 的直线：I 平行；II 垂直. 17．（15 分）在△ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且 ． （1）求 的值； （2）若 ，求 bc的最大值． 18.（17 分）甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们 将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）写出甲、乙抽到牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌的数字比 3 大的概率是多少？ （3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏 是否公平？为什么？ 19．（17 分）如图在三棱锥 A﹣BCD中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O为 BD的中点． （1）证明：OA⊥CD； （2）若△OCD是边长为 1 的等边三角形，点 E在棱 AD上，DE＝2EA，且二面角 E﹣ BC﹣D的大小为 45°，求三棱锥 A﹣BCD的体积．