专题05 向量的运算（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题05 向量的运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、用两个不平行的向量表示其他向量 2 类型二、向量的作图 5 类型三、向量与三角形的重心 9 类型四、向量与平行线分线段成比例 12 压轴能力测评 15 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 方法规律：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 方法规律：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． （2）一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系. 类型一、用两个不平行的向量表示其他向量 例1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则 变式1-1．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    变式1-2．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 变式1-3．如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 类型二、向量的作图 例2．如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． (1)用向量、分别表示下列向量：______，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 变式2-1．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 变式2-2．如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 变式2-3．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 类型三、向量与三角形的重心 例3．如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么可以表示为 （用向量、的线性组合表示）． 变式3-1．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    变式3-2．（2023·上海徐汇·一模）如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 变式3-3．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 类型四、向量与平行线分线段成比例 例4．（2023·上海崇明·三模）如图，D是的边上一点，，交于E点，．若，，则设，，则 ．（用含向量a和向量b的代数式表示） 变式4-1．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ． 变式4-2．如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 变式4-3．（2024·上海金山·三模）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 1．如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么 ．（用表示） 2．如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    3．如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 4．如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．    5．如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 6．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 7．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． (1)当＝2时，＝______；（用与表示） (2)当＝时，＝______； (3)在原图上作出在、上的分向量． 8．如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 9．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 10．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 向量的运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、用两个不平行的向量表示其他向量 2 类型二、向量的作图 5 类型三、向量与三角形的重心 9 类型四、向量与平行线分线段成比例 12 压轴能力测评 15 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 方法规律：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 方法规律：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． （2）一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系. 类型一、用两个不平行的向量表示其他向量 例1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ∵， ∴ ， 故答案为： 变式1-1．如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    变式1-2．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 【答案】 【详解】解：设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式1-3．如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：， ，， ∵ ∴ ∵ ， ． （2）∵，， ∴ ∵， ∴ 类型二、向量的作图 例2．如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． (1)用向量、分别表示下列向量：______，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 【答案】(1)，； (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵点D、E分别是、的中点，设，． ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴向量，是向量分别在、方向上的分向量； 变式2-1．如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)， (2)见详解 【详解】（1）解：∵点E为中点， ， ∴与相等的向量为，与互为相反向量的向量是． 故答案为：，； （2）如图，延长到，使得，连接． 根据（1）可得与相等的向量为， 结合图象可得 ， ∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． ∴即为所求． 变式2-2．如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵梯形 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 连接， ∴， ∴ （2）解：如图， ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，即为所求， ∵ ∴ ∵， ∴． 变式2-3．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)作图见详解，， 【详解】（1）， ∵， ∴， 故答案为； （2）   如图，，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，． 类型三、向量与三角形的重心 例3．如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么可以表示为 （用向量、的线性组合表示）． 【答案】 【详解】解：延长交于点， ∵点O是等边三角形ABC的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式3-1．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 变式3-2．（2023·上海徐汇·一模）如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点M， ∵ ∴ ∵点G是的重心， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键． 变式3-3．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 类型四、向量与平行线分线段成比例 例4．（2023·上海崇明·三模）如图，D是的边上一点，，交于E点，．若，，则设，，则 ．（用含向量a和向量b的代数式表示） 【答案】 【详解】解： ， ． ，， ． ． ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 变式4-1．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 变式4-2．如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 【答案】 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 变式4-3．（2024·上海金山·三模）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴, ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 1．如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么 ．（用表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 故答案为：． 2．如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 【答案】 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 4．如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，连接 ∵、分别是的两条中线， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键． 5．如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， , 点、分别是边、的中点， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H 四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形 ， 若， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 7．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． (1)当＝2时，＝______；（用与表示） (2)当＝时，＝______； (3)在原图上作出在、上的分向量． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析；分向量分别为， 【详解】（1）∵＝，BM：CM＝2， ∴＝， ∴＝ ． 故答案为：． （2）∵＝， ∴＝＝， ∴BM：BC＝3：7， ∴BM：MC＝3：4， 故答案为：． （3）如图所示，作平行四边形AEMF：在、上的分向量分别为，． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【详解】（1）解：，， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 9．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】(1) (2)和 (3)见详解 【详解】（1） 解：∵，，， ． 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案为：和； （3） 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 10．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$