专题05 平面向量的线性运算（中考特色题，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版上海）

专题05 平面向量的线性运算（中考特色题，30题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 ．    3．（2024·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 4．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 6．（2024·上海长宁·二模）如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，连接，设向量，，如果用、表示，那么 ． 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    8．（2024·上海静安·二模）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为 ． 9．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    10．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示） 11．（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．    三、解答题 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． (1)试用向量表示______； (2)在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 13．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 14．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F，    (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； (2)已知，则_______． (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 15．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 16．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，平分，，． (1)求的长； (2)设，，求向量（用向量、表示）． 17．（2024·上海普陀·一模）如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． (1)求的值； (2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 18．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 19．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 20．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 23．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 24．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，点在平行四边形的对角线上，且，设，，． (1)填空：图中与互为相反向量的向量是_______； (2)填空：_______． (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 25．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 26．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 27．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 28．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8． （1）求GE的长； （2）若＝，＝，用、表示； （3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论） 29．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上， CE、BD相交于点F，BF=3DF． (1)求AE：ED的值； (2)如果，，试用、表示向量． 30．（21-22八年级下·上海·期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点． (1)在以点A，B，C，D中的两点分别为起点和终点的向量中，写出一对相等的向量； (2)在以点A，B，C，O中的两点分别为起点和终点的向量中，写出一对互为相反的向量； (3)求作：+，（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量的线性运算（中考特色题，30题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 二、填空题 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．如图，延长到，使得，连接，．证明四边形是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．   ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为． 3．（2024·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， , 点、分别是边、的中点， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可． 【详解】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2024·上海长宁·二模）如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，连接，设向量，，如果用、表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查向量，首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值． 【详解】解：在中，，，则 ∵，点E是的中点， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，正六边形，连接，如果，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性计算，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等，连接，先由正六边形的性质可得，，进而求出，则可证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    8．（2024·上海静安·二模）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】首先利用三角形中位线定理求得，则；然后由三角形法则求得．代入求值即可． 【详解】解：在中，点、分别是边、的中点，   是的中位线． ． ． ，， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得． 9．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形是平行四边形，根据已知得出，进而证明得出，，进而根据三角形法则，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，向量的运算，根据题意证明四边形为平行四边形，得到，，进而得到，即有，，最后根据即可解题． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ，， 点E是的中点， ， ，， ，， ， 故答案为：． 11．（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．    【答案】/ 【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵、分别是的两条中线， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键． 三、解答题 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． (1)试用向量表示______； (2)在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 【答案】(1) (2)，，画图见解析 【分析】此题考查了向量的线性运算，三角形中位线的性质， （1）首先根据中点的性质得到，，然后表示出，得到，然后利用向量的三角形法则求解即可； （2）由题意得到；根据中位线和中点的性质得到，进而得到，然后画图即可． 【详解】（1）∵E、F分别是、边的中点，， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴ ∴； （2）如图所示， ； ∵E、F分别是、边的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴ ∴ ∴． 13．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】(1) (2)和 (3)见详解 【分析】 （1）由，，，，代入即可； （2）由，可知，因此图中与互为相反向量的向量有和； （3）如图，作，，则向量即为所求． 【详解】（1） 解：∵，，， ． 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案为：和； （3） 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 14．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F，    (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； (2)已知，则_______． (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可； （2）利用三角形法则求解即可； （3）如图，作，，则四边形是平行四边形，即,连接即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与互为相反向量的向量：． 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：如图，作，，则四边形是平行四边形，即, 所以,即向量即为所求．    15．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)，； (2)；或 (3)详见解析 【分析】（1）根据向量的和的定义求解即可； （2）根据相等向量，相反向量的定义判断即可； （3）分别以E，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点F，连接，即为所求． 本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 【详解】（1）解：＝， ； 故答案为：，； （2）解：∵是平行四边形， ∴， ∴图中与相等的向量是，与相反的向量是或； 故答案为：；或； （3）如图，即为所求； 16．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，平分，，． (1)求的长； (2)设，，求向量（用向量、表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据题意，证明，得到，由此得到答案． （2）过点作，求出，再根据平行四边形法则求出． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 17．（2024·上海普陀·一模）如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． (1)求的值； (2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量； （1）由三角形中位线定理易得为的中位线，进而可得为的中位线，于是； （2）根据题意可得，根据三角形法则得出，证，得到，进而，以此即可得到答案． 【详解】（1）解：，点为的中点， 为的中位线， 点为的中点， 又点为的中点， 为的中位线， ，，即 （2）解：，， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：，． 18．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 20．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解； （2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 21．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 23．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 24．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，点在平行四边形的对角线上，且，设，，． (1)填空：图中与互为相反向量的向量是_______； (2)填空：_______． (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)和 (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查了向量的知识，熟练掌握相量的定义是解题关键． （1）证明，结合向量的定义，即可获得答案； （2）由三角形法则，即可获得答案； （3）根据三角形法则作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴图中与互为相反向量的向量是和． 故答案为：和； （2）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）如图，即为所求作的向量． 25．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平面向量、全等三角形的判定与性质， （1）由题意可得，根据对应边相等可得答案． （2）由题意得，，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ∵ ∴ ∵ ， ． （2）∵，， ∴ ∵， ∴ 26．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查向量计算，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键． （1）连接，先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形法则计算即可； （2）根据平行四边形法则计算即可； （3）连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵梯形 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 连接， ∴， ∴ （2）解：如图， ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，即为所求， ∵ ∴ ∵， ∴． 27．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量、平行四边形的判定与性质、相等向量、互为相反向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形，则，结合相等向量的定义，即与长度相等，方向相同，可得出答案．与互为相反向量即与长度相等，方向相反，即可得答案． （2）如图，延长到，使得，连接．推出即为所求． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ， ∴与相等的向量为，与互为相反向量的向量是． 故答案为：，； （2）如图，延长到，使得，连接． 根据（1）可得与相等的向量为， 结合图象可得 ， ∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． ∴即为所求． 28．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8． （1）求GE的长； （2）若＝，＝，用、表示； （3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论） 【答案】（1）GE＝4；（2）；（3）即为所求，作图见解析 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题，即可得到答案． （2）根据向量的性质，即可求出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． （3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．则即为所求． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵DE＝2AE， ∴ ∵CE＝8， ∴ ∴GE＝4． 经检验：符合题意． （2）∵ ，DE∥BC，DE＝2AE， ∴ ∴ ∴； （3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH． ∵AE∥BC， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即为所求． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例、平面向量的性质及运算、分式方程；掌握平面向量的性质及运算是解决此题的关键． 29．（21-22九年级上·上海青浦·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上， CE、BD相交于点F，BF=3DF． (1)求AE：ED的值； (2)如果，，试用、表示向量． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，再利用平行线分线段成比例定理解答即可； （2）利用平面向量的三角形法则进行计算即可. 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC．    ∴．     ∵BF=3DF， ∴． ∴． ∴，即AE：ED=2． （2）解：∵AE：ED=2：1， ∴． ∵， ∴．     ∵， ∴．     ∵AD//BC， ∴．      ∵BF=3DF， ∴． ∴． ∴．     ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 30．（21-22八年级下·上海·期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点． (1)在以点A，B，C，D中的两点分别为起点和终点的向量中，写出一对相等的向量； (2)在以点A，B，C，O中的两点分别为起点和终点的向量中，写出一对互为相反的向量； (3)求作：+，（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 【答案】(1)＝； (2)与； (3)见解析 【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等可得相等的向量； （2）由平行四边形的对角线互相平分可得相反的向量； （3）作，可得，再在上截取，即可得，据此可知． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， 、且， 相等的向量有：； （2）解：四边形是平行四边形， ， 、、三点共线， 互为相反的向量为：与； （3）解：如图所示，． 【点睛】本题主要考查平面向量和平行四边形的性质，熟练掌握相等向量、相反向量及平行四边形的性质及平行四边形法则是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$