第06讲 平面向量的线性运算（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 平面向量的线性运算（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 知识点2．实数与向量相乘 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算． 知识点3．平面向量定理 平面向量基本定理是数学术语．该定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．它也为向量的坐标表示提供了理论依据． 知识点4．向量的线性运算 所谓的向量的线性运算是：向量之间的加减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．这里必须注意的是，在向量的线性运算过程之中，规定先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行运算，若有括号，先算括号内各项． 题型强化 题型一．*平面向量 1．（2024春•青浦区期末）若是非零向量，则下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•青浦区三模）如图，、分别是的两条中线，设，，那么向量用向量，表示为 　　． 3．（2023秋•闵行区期中）如图，在梯形中，，与交于点，． （1）设，，试用向量、表示向量； （2）先化简，再求作：（直接作在图中）． 题型二．实数与向量相乘 4．（奉贤区期末）化简：　　． 5．已知非零向量和，求作 （1）； （2）（不要求写作法）． 题型三．平面向量定理 6．（浦东新区月考）如果向量与单位向量方向相同，长度为，那么向量用单位向量 表示为　　 A． B． C． D． 7．（徐汇区校级一模）如图，在梯形中，，是梯形的中位线，点在上，若，，则用表示是：　　． 题型四．向量的线性运算 8．（普陀区二模）如图，中，是边的中点，，，那么等于　　 A． B． C． D． 9．（黄浦区二模）如图，在梯形中，，，与交于点，令，那么　　．（用向量、表示） 分层练习 一、单选题 1．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 3．已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 4．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 6．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 二、填空题 7．计算： ． 8．已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为： （为单位向量）． 9．已知点在线段上，且，则 ． 10．已知与单位向量的方向相反，且长度为，那么表示为 ． 11．如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ． 12．已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 13．已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 14．在平行四边形中，对角线交于点，已知向量，向量，那么向量 （用向量含，的式子表示）． 15．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 16．如果，那么用、表示为 ． 17．计算：     ； ；      ． 18．如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 三、解答题 19．已知非零向量，求作，．    20．如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 21．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量. 22．如图，已知，与相交于点O，且． (1)求的值； (2)如果，，请用，表示． 23．如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 24．如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 25．已知，如图，点在平行四边形 的边上，且 ，设 ． (1)用 、表示 ；（直接写出答案） (2)设 ，在答题卷中所给的图上画出 的结果． 26．如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 27．如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． (1)用向量、分别表示下列向量：______，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平面向量的线性运算（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 知识点2．实数与向量相乘 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算． 知识点3．平面向量定理 平面向量基本定理是数学术语．该定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．它也为向量的坐标表示提供了理论依据． 知识点4．向量的线性运算 所谓的向量的线性运算是：向量之间的加减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．这里必须注意的是，在向量的线性运算过程之中，规定先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行运算，若有括号，先算括号内各项． 题型强化 题型一．*平面向量 1．（2024春•青浦区期末）若是非零向量，则下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果． 【解答】解：是非零向量， ． 故选：． 【点评】本题考查的是非零向量的长度及方向的性质，注意熟练掌握平面向量这一概念． 2．（2024•青浦区三模）如图，、分别是的两条中线，设，，那么向量用向量，表示为 　　． 【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解． 【解答】解：、分别是的两条中线， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则是解题的关键． 3．（2023秋•闵行区期中）如图，在梯形中，，与交于点，． （1）设，，试用向量、表示向量； （2）先化简，再求作：（直接作在图中）． 【分析】（1）由题意可得，根据可得答案． （2）根据平面向量的线性运算化简，再作图即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ． （2） ． 如图，延长，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点， 作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则即为所求． 【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的线性运算是解答本题的关键． 题型二．实数与向量相乘 4．（奉贤区期末）化简：　　． 【分析】根据项量的性质，利用分配律直接去括号，再直接进行加减运算． 【解答】解： ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了向量的运算公式即遵循分配律以及有理式的加减运算方法，此题是比较典型的运算． 5．已知非零向量和，求作 （1）； （2）（不要求写作法）． 【分析】（1）根据三角形法则作图，即可求得答案； （2）根据三角形法则作图，即可求得答案； 【解答】解：（1）如图（1）； （2）如图（2）． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则的应用． 题型三．平面向量定理 6．（浦东新区月考）如果向量与单位向量方向相同，长度为，那么向量用单位向量 表示为　　 A． B． C． D． 【分析】由向量与单位向量方向相同，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案． 【解答】解：向量与单位向量方向相同，且长度为， ． 故选：． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 7．（徐汇区校级一模）如图，在梯形中，，是梯形的中位线，点在上，若，，则用表示是：　　． 【分析】此题只需根据梯形的中位线定理得到和的关系即可． 【解答】解：根据，则． 根据梯形的中位线定理，得． 又， ． 【点评】考查了梯形的中位线定理． 题型四．向量的线性运算 8．（普陀区二模）如图，中，是边的中点，，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】此题主要用到了平行四边形法则，在向量，已知的情况下，可求出向量，又题中为中线，所以，则问题得解． 【解答】解：，，， ， 是边的中点， ． 故选：． 【点评】此题考查向量的知识．难度不大，要注意识图． 9．（黄浦区二模）如图，在梯形中，，，与交于点，令，那么　　．（用向量、表示） 【分析】由，即可证得，又由，即可求得与的关系，利用平行四边形法则，求得，即可求得． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的． 分层练习 一、单选题 1．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中． 根据平面向量的意义和性质进行分析作答． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意． 、，原选项错误，符合题意． 、，原选项正确，不符合题意． 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 2．已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴与方向相反，故正确； B．∵，∴或与共线，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选：B． 3．已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向． 一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 【详解】解：A、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 4．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到． 【详解】解：根据题意知，，， 则，， 则，观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 5．若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量的几何意义．解答该题的关键是根据已知条件来判断与的方向和长度，从而确定它们的位置关系． 根据平面向量的几何意义，可以由推知且不相等；然后根据已知条件知、是四边形的两条相等的边；据此推断该四边形的形状． 【详解】解：， ，且； 又， ∴， 四边形是等腰梯形． 故选：A． 6．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键． 8．已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为： （为单位向量）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的线性表示法，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．根据平面向量与单位向量方向相反，长度为7，即可得出结论． 【详解】解：∵向量和方向相反，长度为7， ∴． 故答案为： ． 9．已知点在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量基本定理，根据题意可知，再结与的方向相反易得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．已知与单位向量的方向相反，且长度为，那么表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：的长度为，向量是单位向量， ， 与单位向量的方向相反， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 11．如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ． 【答案】 【分析】由向量 与单位向量方向相反，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相反，且长度为， ∴＝− 故答案为：＝−． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 12．已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据运算法则可得，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键． 13．已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】利用解一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 化系数为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量的简单计算，借助一元一次方程的解法步骤求解是解答的关键． 14．在平行四边形中，对角线交于点，已知向量，向量，那么向量 （用向量含，的式子表示）． 【答案】 【分析】根据得，根据平行四边形的性质，得，解答即可． 本题考查了向量的基本计算，熟练掌握向量计算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，分别是的边延长线上的点，，，如果，那么向量 （用向量表示）． 【答案】 【分析】由，可得且相似比为1：2，故DE：BC=1：2，又因为和方向相同，故． 【详解】∵ ∴， ∴ 又∵ 故和相似比为1：2 则DE：BC=1：2 故 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质和向量．两角分别相等的两个三角形相似．数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长． 16．如果，那么用、表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法． 17．计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 18．如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 （用向量，表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正六边形的性质等等，设正六边形的中心为点O，连接，先证明都是等边三角形，进而证明四边形和四边形都是菱形，即可推出，，据此可得答案． 【详解】解：设正六边形的中心为点O，连接， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴A、O、D三点共线， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形和四边形都是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 20．如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算： （1）证明得到，则，由此可得； （2）先求出，再由得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 21．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量. 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例得到，得到，再根据即可求解. 【详解】 即 ， 与同向， 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识. 22．如图，已知，与相交于点O，且． (1)求的值； (2)如果，，请用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质及平面向量的知识． （1）由，可得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值； （2）由题意可知，则，由相似三角形的性质可得，进而由即可求解． 掌握相似三角形的判定及平面向量的加减运算是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 则， ∴． （2）∵，，则， ∴， ∵， ∴， 则，即：， ∴． 23．如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 24．如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． (1)试用，的式子表示向量； (2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． （1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可． 【详解】（1）解：，， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 25．已知，如图，点在平行四边形 的边上，且 ，设 ． (1)用 、表示 ；（直接写出答案） (2)设 ，在答题卷中所给的图上画出 的结果． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平面向量，明确向量的相关性质定理，解决本题的关键是准确画图． （1）根据平面向量的平行定理即可表示； （2）根据向量定理即可画出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：如图，即为所画 26．如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）根据，可得，再由，求得； （2）根据向量的表示法进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 27．如图：在中，点D、E分别是、的中点，设，． (1)用向量、分别表示下列向量：______，______； (2)在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，保留痕迹，写出结果） 【答案】(1)，； (2)画图见解析 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． （1）首先利用平面向量三角形法则求得 ，，然后由点D、E分别是、的中点进一步求解即可 ； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量分别在、方向上的分向量． 【详解】（1）解：∵点D、E分别是、的中点，设，． ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴向量，是向量分别在、方向上的分向量； 学科网（北京）股份有限公司 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