专题02 一元二次方程的含参问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题02 一元二次方程的含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据定义求参数 2 类型二、已知解求参数或代数式 4 类型三、根据根的情况求参数 6 类型四、根据根与系数的关系求参数 8 类型五、与新定义问题的结合求参数 11 压轴能力测评 13 一、一元二次方程的概念 ： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 二、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 三、一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 四、一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 常用根与系数的关系解决以下问题： ①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ②不解方程求关于根的式子的值，如求，等等． ③判断两根的符号．④由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑这两个前提条件． 类型一、根据定义求参数 【例1】若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 【变式1-1】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【变式1-2】已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 类型二、已知解求参数或代数式 【例3】关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【变式2-1】已知是关于的方程的两个实数根，设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是 ． 【变式2-3】已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 类型三、根据根的情况求参数 【例5】使得关于x的一元二次方程无实数根的最小整数k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【例6】方程有两个实数根，则的取值范围 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【变式3-2】对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式3-3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 类型四、根据根与系数的关系求参数 【例7】关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式4-1】已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 【变式4-3】关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 类型五、与新定义问题的结合求参数 【例9】定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)写出一个“凤凰”方程是______； (2)“凤凰”方程必定有一个根是______； (3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【变式5-1】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式5-2】定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，求m的值． 【变式5-3】定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 一、单选题 1．已知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 2．如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 3．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 6．已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若关于的一元二次方程与有且只有一个相等的实数根，则的值为 ． 8．已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为 ． 9．已知，且满足，，那么的值为 . 10．已知α，β是关于x的一元二次方程两个实根，且满足，则m的值为 ． 三、解答题 11．若a是方程的一个根，求代数式的值． 12．已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根． (2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 13．已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据定义求参数 2 类型二、已知解求参数或代数式 4 类型三、根据根的情况求参数 6 类型四、根据根与系数的关系求参数 8 类型五、与新定义问题的结合求参数 11 压轴能力测评 13 一、一元二次方程的概念 ： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 二、一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 三、一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 四、一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 常用根与系数的关系解决以下问题： ①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ②不解方程求关于根的式子的值，如求，等等． ③判断两根的符号．④由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑这两个前提条件． 类型一、根据定义求参数 【例1】若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 【例2】试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 【答案】见解析 【详解】证明：， ∵， ∴，则， ∴， ∴对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 【变式1-1】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式1-2】已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 【变式1-3】关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 类型二、已知解求参数或代数式 【例3】关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 【例4】已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 【变式2-1】已知是关于的方程的两个实数根，设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：当时，， ， 方程的解大于小于0， 不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ①当时，， 解得， ， 解得，， 不符合题意； ②当时，， ， 解得，，符合题意． 当， 化简，得， ， ， ， 或， 或无解， 综上所述：的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-3】已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型三、根据根的情况求参数 【例5】使得关于x的一元二次方程无实数根的最小整数k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴使得关于x的一元二次方程无实数根的最小整数k的值为5． 故选：B． 【例6】方程有两个实数根，则的取值范围 【答案】且 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/0.25 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得且， 解得m， 即m的值为． 故答案为：． 【变式3-2】对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴当时，， 解得； ∴当时，关于的方程是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得， 由得，的取值范围是． 故答案是：． 类型四、根据根与系数的关系求参数 【例7】关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 【例8】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或1 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴无论m为何值，方程总有实数根； （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ∴，整理，得：， 解得：， 经检验，这两个解均符合题意； ∴的值为：或1． 【变式4-1】已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 解得：或， ∵即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 类型五、与新定义问题的结合求参数 【例9】定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)写出一个“凤凰”方程是______； (2)“凤凰”方程必定有一个根是______； (3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是； 即为：． （2）关于的一元二次方程，且满足； ∴时，； 故凤凰”方程必定有一个根是． （3）是“凤凰”方程； ，即； 方程有两个相等的实数根； ．将代入，得； 解得：； ． 【变式5-1】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 【变式5-2】定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，求m的值． 【答案】或1 【详解】解：解方程得：或， 当关于x的一元二次方程与有公共解时， ∴，解得， ∴方程即为，解得或， ∴此时满足关于x的一元二次方程与为“友好方程”； 当关于x的一元二次方程与有公共解时， ∴，解得， ∴方程即为，解得或， ∴此时满足关于x的一元二次方程与为“友好方程”； 综上所述，m得值为或1． 【变式5-3】定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 一、单选题 1．已知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【详解】把代入得： ， 相加得：， ， ∵， ∴， 故选：A． 2．如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入一元二次方程 得， 解得， 而， 所以的值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 3．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． ∵，是一元二次方程的两根， ， ． 故选：B． 4．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：①当时，即和时， 由原方程，得, 解得，或， ∵关于的方程的根是整数， ∴； ②当时， 解得，， 分别可得，， 因此也可以； 综上所述，满足条件的值共有个． 故选：C． 5．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 6．已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数，满足，， ∴，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， 即的最小值是， 故选：． 二、填空题 7．若关于的一元二次方程与有且只有一个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】8 【详解】， 或， ， 把代入方程中得： 解得：（不合题意，舍去）； 把代入方程中得： 解得：； 综上所述：的值为8， 故答案为：8． 8．已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， 因为， 所以或， 当时，， 原式 ； 当时，，， ， ， 原式 ， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键． 9．已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 10．已知α，β是关于x的一元二次方程两个实根，且满足，则m的值为 ． 【答案】 【详解】∵一元二次方程有两个实数根α，β． ∴， 解之得且， 而，， 又， ∴， 解之得， 经检验都是原方程的根． ∵， ∴不合题意，舍去， ∴m的值为． 故答案为：． 三、解答题 11．若a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，， ∴ ． 12．已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根． (2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，，且， ，，， ，即， 平方得：， 整理得：， 解得： 13．已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 【答案】1或13 【详解】解：当时，原方程为， 解得，不符合题意，舍去； 当即时，原方程变形为， 当时，此时不成立， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵方程有整数根， ∴x的整数解可能为，，0，1，2，3，4，5，6， 又， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上，自然数的值为1或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$