精品解析：山东省青岛市超银中学（镇江路校区）2023-2024学年下学期九年级寒假学习成果质量反馈数学试题

2023—2024学年度第二学期寒假学习成果质量反馈 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是把一个正方体切割掉一部分后得到的几何体，则它的左视图是（ ） A B. C. D. 4. 光在真空中速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒 A. B. C. D. 5. 如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，得到点A的对应点的坐标是（ ）． A. （﹣2，﹣2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣1，3） 6. 如图，直线，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD内接于，，，则长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝_______． 12. 一组数据1，4，3，，5的极差是_______． 13. 如果反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为________． 14. 某校学生到离学校15处植树，部分学生骑自行车出发40后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的2倍，全体学生同时到达目的地，设自行车速度是，则根据题意列得方程______． 15. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________． 16. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17 已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 18. (1)计算：÷(+1)； (2)解不等式组：． 19. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间x（小时）分为五组：共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图． （2）在这次调查中，学生每周锻炼时间的中位数落在第______（填序号）组，达到平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 20. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 21. 在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 22. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 23. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期寒假学习成果质量反馈 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义直接判断即可． 【详解】既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确； 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故错误； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； 故选：A 【点睛】此题考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义是：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形就是中心对称图形． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题关键是准确理解相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0”，认真求解．根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B 3. 如图是把一个正方体切割掉一部分后得到的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看得见的部分为实线，看不见的部分为虚线． 【详解】解：从左面看，是一个长方形，且中间有一条虚线， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别． 4. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可． 【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米， 光在真空中的速度约为30万千米/秒， 30万千米千米，3后面有5个0， 用科学记数法表示为千米/秒， 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键． 5. 如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，得到点A的对应点的坐标是（ ）． A. （﹣2，﹣2） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=2， ∴点A的坐标为（3，0）， 将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A的对应点坐标为（1，-2）， 再向左平移3个单位长度， 则变换后点A的对应点坐标为（-2，-2）． 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图，直线，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质化简、二次根式的除法和减法进行判断即可. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不合题意. 故选：C 8. 如图，四边形ABCD内接于，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠D=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D=180°，求出∠ABC=∠AOC=120°，解直角三角形求出OA，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵对圆周角是，对的圆心角是， ∴， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是的内接四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 过O作于E，则， ∵OE过O，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是． 9. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】在正方形中：， ∴， ∵O为正方形对角线的中点， ∴， ∵为等边三角形, O为的中点， ∴，， ∴, ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 10. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴b＜0， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，B错误； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，C错误； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＜0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝_______． 【答案】4mn3 【解析】 【分析】先计算积的乘方，然后计算单项式除以单项式即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 12. 一组数据1，4，3，，5的极差是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据极差的定义求解即可． 【详解】解：， ∴这组数据的极差是7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查求一组数据的极差．掌握极差是一组数据中最大值和最小值之间的差值是解题关键． 13. 如果反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式．熟练掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．把点代入反比例函数中，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 14. 某校学生到离学校15处植树，部分学生骑自行车出发40后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的2倍，全体学生同时到达目的地，设自行车速度是，则根据题意列得方程______． 【答案】 【解析】 【分析】根据时间关系，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 15. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________． 【答案】60 【解析】 【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数． 【详解】如图，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°， ∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°， ∵BC∥AD， ∴∠ABC=180°-120°=60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，解题关键是理解题意，求出∠BAD的度数． 16. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：连接AC，OD， ∵四边形BCD是正方形， ∴∠B=90°， ∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°， ∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D， ∴∠PAO=∠PDO=90°， ∴四边形AODP是矩形， ∵OA=OD， ∴矩形AODP是正方形， ∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE， ∴∠E=∠ACB=45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∵AB=2， ∴AC=2AO=2，DE=CD=2， ∴AP=PD=AO=， ∴PE=3， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：5-π． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分72分） 17. 已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 【答案】见详解． 【解析】 【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心． 【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线， 再作线段BC的垂直平分线相交于O， 即以O点为圆心，OB为半径，作圆O， 如下图所示： 【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用． 18. (1)计算：÷(+1)； (2)解不等式组：． 【答案】(1)；(2)﹣≤x＜ 【解析】 【分析】(1)首先分解因式及进行括号内分式的加法运算，再把除法运算转化为乘法运算，最后约分得到最简结果； (2)分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：(1)原式＝÷ ＝• ＝； (2) ， 由①得：x＜， 由②得：x≥﹣， ∴不等式组的解集为﹣≤x＜． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，(1)要先算括号里的，再进行因式分解和约分运算；(2)准确求得每一个不等式的解集是解决本题的关键． 19. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间x（小时）分为五组：共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图． （2）在这次调查中，学生每周锻炼时间的中位数落在第______（填序号）组，达到平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比为______； （3）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）见解析 （2）③， （3）评价：该校学生平均每天运动1小时及以上的人数不到一半．建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼 【解析】 【分析】（1）先求出样本容量为，再求出第④组的人数，最后补全频数分布直方图； （2）由中位数的定义即可得出结论；用样本中平均每天运动1小时及以上的学生人数除以样本容量即可； （3）根据（1）中求出的平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比可对该校学生运动时间的情况做出评价，并提出两条建议，答案不唯一． 【小问1详解】 解：由图可得调查的样本容量为：， 第④组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数， 故落在第③组； 平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在这两组，占被调查人数的百分比为：， 故答案为：③，； 【小问3详解】 评价：该校学生平均每天运动1小时及以上的人数不到一半． 建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 20. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析 【解析】 【分析】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解． 【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下： 如图， ∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种， ∴P（紫色）=， ∴这个游戏对双方公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． 21. 在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 【答案】二号楼的高度约为39米． 【解析】 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出二号楼的高度DF即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， 由题意得，，， ，，， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：二号楼的高度约为39米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键． 22. 【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________； （2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【小问1详解】 解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． 【小问2详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 23. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$