精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学数学试题

长春外国语（南关、净月）学校2023-2024学年第二学期 初二年级下学期期初考试 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4． 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5． 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是(　　) A. (1，﹣2) B. (3，0) C. (﹣1，3) D. (0，﹣4) 5. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 6. 小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点D，则以下推断错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是_______． 10. 因式分解：______． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，ED＝2，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为__． 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 13. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的两条对角线分别为3和6，则阴影部分的面积为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 _____________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 年月日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，由中国航天员担任“太空讲师”，以青少年为主要对象，丰富又生动精彩的知识激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的学习要求，决定购入甲，乙两种实验器材，其中每套甲种器材的价格比每套乙种器材的价格多元，用元购进甲种器材数量是用元购进乙种器材数量的倍.试求每套甲，乙两种器材的价格分别为多少元？ 18. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当时，求绿化部分的面积． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． （1）的长为________； （2）在图①中，以为腰作一个等腰直角三角形，使； （3）在图②中，以为边作一个正方形． 20. 已知在平面直角坐标系中,一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(1,m)和点B(－2,－1). （1）求k,b的值； （2）连结OA,OB,求△AOB的面积. 21. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，则的长为_________． 22. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 ：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：． 请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程． （1）证明： 【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E、F，求证：； （3）连结AF，若，周长是16，则的周长是______． 24. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交直线于点Q，以为边向左侧作矩形，使． （1）当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）； （2）当点M在边上时，求t的值； （3）连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语（南关、净月）学校2023-2024学年第二学期 初二年级下学期期初考试 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2． 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4． 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5． 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据“（其中为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式”，即可求解． 【详解】解：A．不是分式，故本选项不符合题意； B．不是分式，故本选项不符合题意； C．是分式，故本选项符合题意； D．不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数． 根据科学记数法解答即可； 【详解】解：， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是(　　) A. (1，﹣2) B. (3，0) C. (﹣1，3) D. (0，﹣4) 【答案】B 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0解答即可． 【详解】解：因为在平面直角坐标系中x轴上点的特点是：所有点的纵坐标都为0， 故选：B. 【点睛】本题是一道基础题，考查平面直角坐标系内的点的坐标特点，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点的基本特征即可． 5. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 6. 小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【详解】解：， ， 故部分的式子应该是． 故选：B． 7. 如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点D，则以下推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和180度，顶角为的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：在中， ， ． ， ． 平分， ． ． ．故选项D正确； ． ． ．故选项A正确； ， ．故选项B正确； 在与中， ，为公共角． ． ． ． ，． ．整理得，． 解得，． ．故选项C错误． 故选：C． 8. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设点的坐标为， ，且， ， 解得：， 故选：B 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】∵二次根式有意义 ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，ED＝2，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC，根据平行线的性质得出∠AED=∠EBC，推出∠ABE=∠AED，根据等腰三角形的判定得出AB=AE，即可得出答案． 【详解】解：∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AED＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AED， ∴AB＝AE， ∵BC＝5，DE＝2， ∴AB＝AE＝5﹣2＝3， ∴CD＝AB＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的性质以及等腰三角形的性质和判定的应用，能求出AB=AE是解此题的关键． 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 13. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的两条对角线分别为3和6，则阴影部分的面积为_________． 【答案】4.5#### 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，菱形的性质，根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：标注字母如图所示： ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 _____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，可知点在直线的下方，即当时，，再将代入，从而得出，即．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，得到点在直线的下方是解题的关键． 【详解】解：点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部， 点在直线的下方，即当时，， 又当时，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （）先根据零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂，分别化简，然后计算即可得到结果； 本题考查了二次根式的运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 年月日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，由中国航天员担任“太空讲师”，以青少年为主要对象，丰富又生动精彩的知识激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的学习要求，决定购入甲，乙两种实验器材，其中每套甲种器材的价格比每套乙种器材的价格多元，用元购进甲种器材数量是用元购进乙种器材数量的倍.试求每套甲，乙两种器材的价格分别为多少元？ 【答案】甲种器材的价格是100元，乙种器材的价格是75元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种器材的价格是x元，则乙种器材的价格是元，根据等量关系列出方程，解方程并经验即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲种器材的价格是x元，则乙种器材的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：甲种器材的价格是100元，乙种器材的价格是75元． 18. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当时，求绿化部分的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 （3）平方米． 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【小问1详解】 ∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； 【小问2详解】 ∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； 【小问3详解】 ∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． （1）的长为________； （2）在图①中，以为腰作一个等腰直角三角形，使； （3）在图②中，以为边作一个正方形． 【答案】（1） （2） 如图①， （3） 如图②， 【解析】 【分析】本题考查网格与勾股定理、等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理解题； （2）根据等腰直角三角形的性质解题； （3）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解题 【小问1详解】 解：由网格可知：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图①，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：， ， ∴是等腰直角三角形， ∴是正方形， ∴正方形即为所求． 20. 已知在平面直角坐标系中,一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(1,m)和点B(－2,－1). （1）求k,b的值； （2）连结OA,OB,求△AOB的面积. 【答案】（1）k=2；b=1；（2） 【解析】 【分析】（1）把B(－2,－1)分别代入和即可求出k,b的值； （2）直线AB与x轴交于点C，求出点C的坐标，可得OC的长，再求出点A的坐标，然后根据求解即可. 【详解】解：（1）把B(－2,－1)代入,解得, 把B(－2,－1)代入,解得. （2）如图, 直线AB与x轴交于点C, 把y=0代入，得 x=-1， 则C点坐标为(－1,0), ∴OC=1. 把A(1,m)代入得, ∴A点坐标为A(1,2) . . 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图形上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，以及三角形的面积公式，运用数形结合的思想是解答本题的关键. 21. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，则的长为_________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． （1）利用判定，从而得到；由已知可得四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形； （2）先证是等边三角形，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ． 22. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 【答案】（1）8 （2） （3）整个注水、排水过程共用了分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． （1）观察图象得：3分钟进水管注水24升，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出出水管排水的速度，再求出排完20升水所用的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：进水管注水的速度为升/分钟； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意得：（升/分钟）， ∴整个注水、排水过程共用了分钟． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3 ：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点O． 求证：． 请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程． （1）证明： 【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E、F，求证：； （3）连结AF，若，周长是16，则的周长是______． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）32 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明和是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）证明，即可得出； （3）由线段垂直平分线的性质得，再由三角形的周长得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵的周长是16， ∴， ∴的周长， 故答案为：32． 24. 如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交直线于点Q，以为边向左侧作矩形，使． （1）当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）； （2）当点M在边上时，求t的值； （3）连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质即可求出，结合题意即得出； （2）画出图形，由矩形的性质得出，．再根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质可求出，由，列出关于t的等式，解出t即可； （3）分类讨论：①当点Q在上时，根据题意可判断，即易证，得出，最后列出关于t的等式，解出t即可；②当点Q和点C重合时，即得出，列出关于t的等式，解出t即可；③当点Q在的延长线上时，根据题意可判断，从而可求出，最后根据，列出关于t的方程，解出t即可； 【小问1详解】 解：由题意可知． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴同理可得：， ∴． ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①如图，当点Q在上时， ∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点Q和点C重合时， ∵，， 同理可得：， ∴此时重合， ∵， ∴， 解得：； ③如图，当点Q在的延长线上时， ∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∴． ∵, ∴, ∴ ∵， ∴， 解得：． 综上可知，t的值为或1或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，综合性强．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $