精品解析：山东省济南实验初级中学2023-2024学年下学年九年级开学测数学试题

初三年级数学学科作业展示 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．） 11. 因式分解：__________． 12. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________． 13. 代数式与代数式的值相等，则________． 14. 如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______． 15. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇． 16. 如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 19. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 20. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下： 【数据收集】 4　4　3　3　5　5　5　7　7　7　 7　6　6　6　6　6　6　8　8　8　 8　9　9　10　10　10　10　11　12　13 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示阅读时间）； 统计量 平均数 众数 中位数 阅读时间（h） 【数据分析】 请根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为______； （4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数． 22. 如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：；（2）若，，求的半径． 23. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？ 24. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 25. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 26. 如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （3）如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三年级数学学科作业展示 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可． 【详解】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意； B、左视图是长方形，不符合题意； C、左视图是三角形，符合题意； D、左视图是长方形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键． 2. 2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：3050000大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴3050000用科学记数法表示为， 故选：D． 3. 如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可求，即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数轴，根据数轴确定出a与b的正负及绝对值大小是解本题的关键． 观察数轴可得，，再验证选项是否正确即可． 【详解】解：观察数轴可得，， ，故A选项不符合题意， ，故B选项不符合题意， ，故C选项符合题意， ，故D选项不符合题意， 故选：C． 5. 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：D． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 7. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象综合判断，分、两种情况，根据函数与经过的象限进行判断即可． 【详解】解：当时，过二、三、四象限，反比例函数过一、三象限， 当时，过一、三、四象限，反比例函数过二、四象限， 观察四个选项可知，只有C选项的图象满足要求， 故选C． 8. 将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 最 美 济 南 最 （最，美） （最，济） （最，南） 美 （美，最） （美，济） （美，南） 济 （济，最） （济，美） （济，南） 南 （南，最） （南，美） （南，济） 由表可知，一共有12种情况，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的有2种情况， ∴两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率， 故选：A． 9. 如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的面积，再利用三角形中线的性质求解，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 则是的“倍增点”， ∵，， ∴，， 则是的“倍增点”，故正确； 由题意设“倍增点”， ∴，解得：， ∴点，故正确； 设抛物线的“倍增点”为， ∴，整理得：， ∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确； 设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故正确； 综上可知正确， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】令每个正六边形的面积为a，得巢房截面图面积为，阴影部分的面积为，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：令每个正六边形的面积为a， 则巢房截面图面积为，阴影部分的面积为， 则落在阴影部分所在巢房中的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，常见涉及到长度比，面积比，体积比等． 13. 代数式与代数式的值相等，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用转化思想，检验是解答本题的关键． 14. 如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形外角和为， 每一个外角的度数为， 正五边形的每个内角为， 正五边形的边长为4， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 15. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇． 【答案】3.9 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇． 【详解】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx， 将（5，300）代入，得：5k＝300， 解得k＝60， 即OA段对应的函数解析式为y＝60x， 设CD段对应函数解析式为y＝ax+b， 将C（2.5，80），D(4.5，300)代入得 ， 解得， 即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195， 令110x﹣195＝60x，得x＝3.9， 即货车出发3.9小时与轿车相遇， 故答案为：3.9． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，，则是的中位线，，证明是等边三角形，可求，则，由翻折的性质可知，，则在以为圆心，8为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，即最小，由勾股定理求，则最小的，最小的，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，，， ∴是的中位线， ∴， 由菱形的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴在以为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，最小，即最小， 由勾股定理得，， ∴最小的， ∴最小的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可． 【详解】原式= =2． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】；整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可． 详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 19. 如图，在中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用证明后利用全等三角形对应边相等即可证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ． 20. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下： 【数据收集】 4　4　3　3　5　5　5　7　7　7　 7　6　6　6　6　6　6　8　8　8　 8　9　9　10　10　10　10　11　12　13 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示阅读时间）； 统计量 平均数 众数 中位数 阅读时间（h） 【数据分析】 请根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为______； （4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数． 【答案】（1）补全图形见解析 （2）众数是6小时；中位数为：小时 （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）由统计数据可得：C．，有8个；D．，有6个，再补全图形即可； （2）根据众数的中位数的含义可得答案； （3）由A组所占的百分比乘以即可得到答案； （4）由样本中不少于9小时的学生人数的占比乘以总人数3000即可． 【小问1详解】 解：由统计数据可得：C．，有8个；D．，有6个， ∴补全图形如下： 【小问2详解】 出现次数最多的数据是6小时， ∴众数m是6小时； 30个数据排在最中间是数据是第15个，第16个数据，都为7小时， ∴中位数n为：（小时） 【小问3详解】 A组的圆心角为：； 【小问4详解】 该校有3000名学生，估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数有 （人）． 【点睛】本题考查的是整理统计数据，频数分布直方图，中位数，众数的含义，扇形统计图某部分所对应的圆心角，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 22. 如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：；（2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）半径为6． 【解析】 【分析】(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论； (2)根据勾股定理得到，根据相似三角形性质即可得到结论． 【详解】(1)连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为6． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球的单价为元，篮球的单价为元 （2）学校最多可以购买个篮球 【解析】 【分析】（1）设足球的单价为元，篮球的单价为元，根据“购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买篮球个，则购买足球个，利用总价单价数量，结合购买总资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 设足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：足球的单价为元，篮球的单价为元； 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买足球个， 依题意得：， 解得：． 答：学校最多可以购买个篮球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 已知在等腰直角三角形中，，，． （1）如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______； （2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m； （3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）过C作轴，垂足为D，证明，得到，，即可得到结果； （2）根据平移得到，，根据函数图像上的点得到，求出m值，再将代入表达式可得； （3）求出的坐标，求出的表达式，得到与y轴交点坐标，再根据面积关系，作交y轴于点P，求出直线的表达式，得到点P坐标，再由平行线之间的距离的性质得到另一个点P坐标． 【小问1详解】 解：如图，过C作轴，垂足为D， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，代入中， 得； 【小问2详解】 由平移可得：，， ∵，都在反比例函数上， ∴， 解得：， 即，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由是：由平移可得， 设中点为D，则，即， 设的表达式为， 则，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴直线与y轴交点为； ∵的面积是面积的一半， ∴作交y轴于点P， 设的表达式为，将D代入， 得，解得：， ∴的表达式为， 令，则， ∴， ∴点关于直线的对称直线与y轴交点为， 即， 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，图像的平移，一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，（3）问较为综合，解题的关键是将面积与中点联系起来，结合平行线之间的距离求解． 25. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； （2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； ②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）由题知°，°， ∴°，且为等边三角形 ∴°， ∴ ∵ ∴° ∴° ∴为等腰直角三角形 连接BD，如图所示 ∵° ∴即 ∵ ∴ ∴ 故答案为：等腰直角三角形， （2）①两个结论仍然成立 连接BD，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴结论不变，依然成立 ②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上， 如图所示： 此时点E与点A重合， ∴，得； ②当以CD为对角线时，如图所示： 此时点F为CD中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上：的值为3或1． 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键． 26. 如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （3）如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）的值是一个定值，这个定值为 （3）N（﹣，） 【解析】 【分析】(1)把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可； (2) 分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，利用铅垂法分别表示△PA E的面积和△PAB的面积，再求比值即可； (3) 过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N利用等腰三角形的性质，先求出∠BTC =∠BMC时， 直线BT的解析式，利用ON∥BT求出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点可得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； 【小问2详解】 解：的值是一个定值，这个定值为，理由如下： ∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3顶点为点D ∴D（1，﹣4），C（0，﹣3）， ∴E（1，4）， ∵直线y＝mx+1过点A（﹣1，0）， ∴直线AF：y＝x+1， 如图1，分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H， ∴S1＝（xP﹣xA）•EH，S2＝（xP﹣xA）•BG ∴＝， ∵B（3，0）， ∴G（3，4），BG＝4， ∵E（1，4）， ∴H（1，2），EH＝2， ∴＝＝ ＝， ∴的值是一个定值，这个定值为； 【小问3详解】 解：如图2，过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N， ∴∠ONC＝∠BTC＝∠BMC， ∴BT＝BM，点P是点T，点M的中点， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴直线AC：y＝﹣3x﹣3， ∵BP⊥AC，B（3，0）， ∴直线BP：y＝x﹣1， 联立，解得， ∴P（﹣ ，- ）， ∵B（3，0），D（1，﹣4）， ∴直线BD：y＝2x﹣6， 联立，解得， ∴M（ ，﹣）， ∴由中点坐标公式可得，T（﹣，）， 设直线BT的解析式为y＝kx+b， ∴，解得，， ∴y＝﹣x+， ∴直线ON的表达式为：y＝﹣x， 联立，解得， ∴N（， ）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题，解题的关键在于作辅助线利用角相等转化构造等腰三角形，将求坐标问题转化为求方程组解的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$