精品解析：甘肃省武威市凉州区四中教研联片2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第四中学教研联片 九年级数学开学学情评估 一、选择题（共30分） 1. 下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2＋1＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x＋3＝0 D. x2＋2x－3＝0 3. 一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 7. 点与点关于原点对称，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 不能确定 9. 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为( ) A. B. C. D. 10. 在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 若是方程的一个根，则代数式的值为______ ． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 13. 二次函数的顶点坐标是______． 14. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 15. 如图所示，在直角坐标系中，等腰直角的顶点O是坐标原点，点A的坐标是，直角顶点B在第二象限，把绕点O旋转15°到，点A与对应，点B与点对应，那么点的坐标是______． 16. 如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆过点C，若C为的中点，，则阴影部分的面积是________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D坐标是________ 18. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是______． 三、解方程（共8分） 19. 解方程： （1）3x2-10x+6=0 （2）5（x＋3）2＝2（x＋3） 四、作图题（共6分） 20. 如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后所得到的（点D，E，F分别对应点A，B，C）． （2）画出关于原点对称的图形（点P，M，N分别对应点D，E，F）． （3）直接写出的面积． 五、解答题共（52分） 21. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 22. 已知二次函数y＝ax2图象经过A（2，﹣4） (1)求这个二次函数的解析式； (2)请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向． 23. 如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：点D为弧中点； （2）若，，求的直径． 25. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个白球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个黄球，从三个盒子中各随机取出一个小球，求这三个球中至少有一个红球的概率． 27. 抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N，若△BMN的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威第四中学教研联片 九年级数学开学学情评估 一、选择题（共30分） 1. 下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查轴对称图形和中心对称图形的概念：一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据概念直接判断． 【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B. 是中心对称图形，是轴对称图形，故符合题意； C. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D. 不是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2＋1＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x＋3＝0 D. x2＋2x－3＝0 【答案】D 【解析】 【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程． 【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根； B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根； C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根； D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 3. 一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）（a、b、c为常数，）的两个根为，则，，解题关键是熟悉掌握根与系数的关系； 把方程转化为一般形式后，根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积即可． 【详解】， 设方程两个根为，， 则， ， 故选：A 4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：A． 5. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案． 【详解】解：二次函数y=x2+2x-1的图象与y轴相交， 令x=0，故y=-1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，-1）． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键． 6. 如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象．根据得到同号，再判断即可． 【详解】解：由题意可知，同号， 当时，二次函数经过一、二象限，一次函数经过一、二、三象限， 当时，二次函数经过三、四象限，一次函数经过二、三、四象限， 故选C． 7. 点与点关于原点对称，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点与点关于原点对称”，求出a、b的值，即可确定点的坐标，进而得到结论．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， ∴点所在的象限是第四象限． 故选：D． 8. 已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系． 【详解】解：∵圆的半径是，点A到圆心的距离是，小于圆的半径， ∴点A在内． 故选A． 【点睛】本题考查的是对点与圆的位置关系的判断．关键要记住：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 9. 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：因为是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可 作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则 ， ，此时为最小值 连接， 平分，， ， 在中，， ， 阴影部分周长最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 10. 在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．每转动一次就要8种可能，而其中是2的有3种可能．然后根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：出现2有3种情况，共有8种情况， 将转盘转动一次，转到2的概率为：． ∴获得二等奖的概率为． 故此题选C． 二、填空题（共24分） 11. 若是方程的一个根，则代数式的值为______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，应注意把当成一个整体．利用了整体的思想． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求的值． 【详解】解：把代入方程，可得：， ． 故答案为：． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求m的值即可. 【详解】∵是一元二次方程 解得 故答案为1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一定要注意二次项系数不能为0. 13. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 14. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b， 把A（0，3）代入，得 3=-1+b， 解得b=4， 则该函数解析式为y=x2+2x+3． 故答案为：y=x2+2x+3 15. 如图所示，在直角坐标系中，等腰直角的顶点O是坐标原点，点A的坐标是，直角顶点B在第二象限，把绕点O旋转15°到，点A与对应，点B与点对应，那么点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绕点旋转得到，分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，过作轴，依据中，和的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图所示：若绕点顺时针旋转得到，过作轴，则， 又∵， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴，， ∴点B1的坐标是； 如图所示：若绕点逆时针旋转得到，过作轴，则， 同理可得，， ∴， ∴， ， ∴点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 16. 如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆过点C，若C为的中点，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积． 求出，求出阴影部分的面积，再根据扇形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵是的直径，为的中点， ∴阴影部分的面积， 故答案为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 【答案】D（，1） 【解析】 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴A（−2，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（−，1）． 故答案为（−，1）． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 18. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率． 【详解】解：列表如下： 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故答案为：． 三、解方程（共8分） 19. 解方程： （1）3x2-10x+6=0 （2）5（x＋3）2＝2（x＋3） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 四、作图题（共6分） 20. 如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后所得到的（点D，E，F分别对应点A，B，C）． （2）画出关于原点对称的图形（点P，M，N分别对应点D，E，F）． （3）直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）先画出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点D、E、F再依次连接即可； （2）先画出但D、E、F关于原点对称的对应点P、M、N，再依次连接即可； （3）用割补法即可求出的面积． 【小问1详解】 解：如图，即所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了旋转作图，关于原点对称的图形作图，解题的关键是掌握旋转作图的方法和步骤，关于原点对称的图形作图方法和步骤，用割补法求面积的方法． 五、解答题共（52分） 21. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 22. 已知二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4） (1)求这个二次函数的解析式； (2)请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向． 【答案】（1）y＝﹣x2；（2）顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向下． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数y=ax2的图象经过A（2，﹣4），可得a的值，进而得出二次函数的解析式； （2）根据二次函数的解析式为 y＝﹣x2即可得到顶点坐标、对称轴和开口方向． 根据二次函数的图象与系数的关系， ①a决定抛物线的开口方向：a>0 开后向上，a<0 开后向下. ②顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标：(h，k). 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2的图象经过A（2，﹣4）， ∴﹣4＝4a， 解得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2； （2）∵二次函数的解析式为 y＝﹣x2， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向下． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 23. 如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积． 【答案】π﹣1 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质得出S阴影＝S弓形ACB+S△BCD＝S扇形ACB﹣S△ACD＝S扇形ACB﹣S△ABC进而得出即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠CBD＝45°， 又∵BC是直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴DC＝DB， ∴S弓形CD＝S弓形BD， ∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD ＝S扇形ACB﹣S△ACD ＝S扇形ACB﹣S△ABC ＝π×22﹣××2×2 ＝π﹣1． 【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及阴影部分面积求法，正确转化阴影图形的形状是解题关键． 24. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：点D为弧的中点； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明； （2）根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D为的中点； 小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为20． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形等，解题的关键是熟练运用垂径定理． 25. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 26. 甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个白球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个黄球，从三个盒子中各随机取出一个小球，求这三个球中至少有一个红球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和这三个球中至少有一个红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能结果，其中这三个球中至少有一个红球的结果数是10种， 则这三个球中至少有一个红球的概率=． 【点睛】本题考查了画树状图求三次事件的概率，根据题意正确画出树状图是解答此题的关键，需要注意的是，对于求三次或三次以上的事件的概率，一般用画树状图求解. 27. 抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N，若△BMN的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得； （2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得； （3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得． 详解】（1）由题意知， 解得：， ∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1； （2）如图1，设M点的横坐标为xM，N点的横坐标为xN， ∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4， ∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）， ∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2， ∴点B（1，2）， 则BG=2， ∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（xN﹣1）-BG•（xM-1）=1， ∴xN﹣xM=1， 由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0， 解得：x==， 则xN=、xM=， 由xN﹣xM=1得=1， ∴k=±3， ∵k＜0， ∴k=﹣3； （3）如图2， 设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m， ∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0）， 设P（0，t）， （a）当△PCD∽△FOP时，， ∴， ∴t2﹣（1+m）t+2=0①； (b)当△PCD∽△POF时，， ∴， ∴t=（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △=（1+m）2﹣8=0， 解得：m=2﹣1（负值舍去）， 此时方程①有两个相等实数根t1=t2=， 方程②有一个实数根t=， ∴m=2﹣1， 此时点P的坐标为（0，）和（0，）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去）， 此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2， 方程②有一个实数根t=1， ∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）； 综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）； 当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$