第二章第06讲 有理数的乘除运算（4考点+9题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第06讲 有理数的乘除运算 课程标准 学习目标 ①掌握有理数的乘法和除法法则 ②利用法则解决问题 1．掌握有理数的乘法和除法法则； 2．理解有理数的乘法运算规律及乘法中几类常见的能够运用简便运算的题型； 3．能够从实际问题中利用有理数乘法和除法解决问题． 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即学即练1】 1.（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，据此即可解答． 【详解】解：的倒数是． 故选：C 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【即学即练2】 1.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练3】 1．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练4】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 根据有理数乘法运算直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ． 题型03 有理数乘法运算律 【典例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）计算与解释 一道计算测试题为，小明计算如下： 解： ① ② （    ）．③ (1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______． A．乘法结合律    B．乘法交换律    C．乘法分配律 (2)第③步运算结果是______． 【答案】(1)B，C (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算和乘法运算律，根据有理数的运算律进行解答和计算即可． （1）根据计算使用的运算律进行解答即可； （2）完成解答过程，写出答案即可． 【详解】（1）解：有题意可知，解题过程中第①步计算运用的运算律是乘法交换律．第②步计算运用的运算律是乘法分配律． 故答案为：B，C （2）解： ． 故答案为： 题型04 倒数 【典例4】（23-24七年级上·福建福州·期末）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）的倒数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的概念、绝对值的性质，掌握乘积是1的两数互为倒数、负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【详解】解：， 则的倒数是，的绝对值是， 故答案为：，． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）的倒数的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数的定义，以及相反数的概念，根据倒数的定义先得到的倒数，再得出倒数的相反数即可解题． 【详解】解：的倒数为，的相反数是． 的倒数的数的相反数是， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如果的相反数是，那么的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数和相反数的知识，理解并掌握倒数和相反数的定义是解题关键．根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数”求解即可． 【详解】解：如果的相反数是， 则， 所以，的倒数是． 故答案为：． 题型05 有理数乘法的实际应用 【典例5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 【变式1】（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：）：，，，，，，，，，，． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【答案】(1)该小组在地的东边，距地； (2)收工前需要中途加油，应加15升． 【分析】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是进行有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案． 【详解】（1）解：． 答：该小组在地的东边，距地； （2）解：（升）． 小组从出发到收工耗油195升， 升升， 收工前需要中途加油， 应加：（升）， 答：收工前需要中途加油，应加15升． 【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·阶段练习）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售___________辆； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由． (3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少销售一辆扣15元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)21570元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用： （1）根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，作差即可得到多销售的数量； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 【详解】（1）解：辆， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29辆； 故答案为：29 （2）解：本周实际销售总量达到了计划数量，理由： ． 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元． 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是21570元． 题型06 有理数的除法运算 【典例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3)0 (4) 【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除． （1）先判断出符号，再绝对值相除即可； （2）先判断出符号，再绝对值相除即可； （3）零除以任何一个不为零的数，商为零， （4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】（1）根据有理数的除法法则进行计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （3）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （4）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （5）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （6）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． （1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9)27 (10) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例7】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则，准确计算． 【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） . 【点睛】本题考查了有理数的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键. 题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【典例8】（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故． 故答案为：0． 【变式2】（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算：，如，则= ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：， ∴ ； 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：根据新定义，， ∴； ． 故答案为：； 题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【典例9】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，由数轴判断式子的正负． （1）由所给数轴即可判断． （2），据此即可化简． 【详解】（1）解：由数轴可知：，，， ∵， ∴ 故答案为：，，，． （2） 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 【答案】(1)1或，2或0或 (2)1或 【分析】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点， （1）分别利用或分析得出答案；分或或或等情况讨论得出答案； （2）由得出中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数等情况讨论得出答案； 正确分类讨论得出答案是解题关键． 【详解】（1）若有理数a不等于零， 当时，， 当时，； ∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：1或；或2或0； （2）∵， ∴中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数， ∴当中有两个为正数，一个为负数时， 当三个都为负数时， ， ∴的值为1或． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则来计算，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】 ． 故选：B． 3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（   ） A． B．，且 C． D．a，b异号，且 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据，可以分析出a与b异号，且分母不能为0，即，最后进行选择即可． 【详解】解：由题可知，， 即a与b异号，且分母不能为0，即， 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可． 【详解】解：把统一为加法运算为， 故选：B． 5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故选B． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，掌握运算法则是解题关键．先将小数和带分数转换为假分数，再按照除法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“<”或“=”填空） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，运算及数轴，根据数轴得出，判定出的符号，即可得出答案，能根据数轴得出和是解此题的关键． 【详解】∵从数轴可知：， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）数学活动课上，王老师在6张卡片上写了6个不同的数： 如果从中任意抽取3张，使这3张卡片上的数之积最小，最小的积为 ；使这3张卡片上的数字之积最大，最大的积为 ． 【答案】 120 【分析】根据多个有理数相乘，负号的个数为奇数个，积为负，负号的个数为偶数个，积为正，以及负数小于零小于正数，绝对值大的负数反而小，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：最小的积为；最大的积为：； 故答案为：，120． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．熟练掌握有理数乘法的运算法则，是解题的关键． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的“差倒数”，例如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是，若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，……，以此类推，则有① ；② ． 【答案】 / 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到、、的值，再求出的值即可． 【详解】解：①由题意可得，， ， ， ； 故答案为：； ②由①可知，， ， ， ， …， 由上可得，这列数依次以，，3循环出现， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法分配律： （1）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得： ， ∴． 16．（23-24七年级上·河南周口·期中）先阅读理解，再解答问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 ， 故原式． 请选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可． 【详解】解法一： ； 解法二：原式的倒数为 故原式． 17．（23-24七年级上·山东济南·期中）有20箱石榴，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：） 0 1 箱数 1 4 2 3 2 8 (1)20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱石榴总计超过或不足多少千克？ (3)若石榴每千克售价8元，则售出这20箱石榴总金额为多少元？ 【答案】(1)20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多重5.5千克 (2)20箱石榴总计超过8千克 (3)售出这20箱石榴总金额为4064元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握正确掌握相关内容性质是解题的关键． （1）根据表格，找出最重的千克数和最轻的千克数，列式计算即可； （2）20箱石榴的正负千克数进行列式计算，再与0比较即可； （3）先算出总质量，然后与售价8元相乘即可． 【详解】（1）解：最重的一箱比最轻的一箱多重（千克）， 答：20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多重千克； （2）解：（千克）， 答：20箱石榴总计超过8千克 （3）解： （元）， 答：售出这20箱石榴总金额为4064元． 18．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘除运算 课程标准 学习目标 ①掌握有理数的乘法和除法法则 ②利用法则解决问题 1．掌握有理数的乘法和除法法则； 2．理解有理数的乘法运算规律及乘法中几类常见的能够运用简便运算的题型； 3．能够从实际问题中利用有理数乘法和除法解决问题． 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即学即练1】 1.（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【即学即练2】 1.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练3】 1．（2024七年级上·广西·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练4】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（2024六年级上·上海·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 有理数乘法运算律 【典例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）计算与解释 一道计算测试题为，小明计算如下： 解： ① ② （    ）．③ (1)解题过程中第①步计算运用的运算律是______．第②步计算运用的运算律是______． A．乘法结合律    B．乘法交换律    C．乘法分配律 (2)第③步运算结果是______． 题型04 倒数 【典例4】（23-24七年级上·福建福州·期末）的倒数是 ． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·阶段练习）的倒数是 ，的绝对值是 ． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）的倒数的相反数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如果的相反数是，那么的倒数是 ． 题型05 有理数乘法的实际应用 【典例5】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式1】（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：）：，，，，，，，，，，． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【变式2】（22-23七年级上·广东茂名·阶段练习）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售___________辆； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由． (3)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少销售一辆扣15元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ 题型06 有理数的除法运算 【典例6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例7】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1) (2)． 【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【典例8】（23-24七年级上·广西防城港·期中）对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：，如，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算：，如，则= ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【典例9】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 一、单选题 1．（2024·山东菏泽·二模）实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（   ） A．2 B． C．6 D． 3．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（   ） A． B．，且 C． D．a，b异号，且 4．（2024七年级上·全国·专题练习）将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 7．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“<”或“=”填空） 8．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）数学活动课上，王老师在6张卡片上写了6个不同的数： 如果从中任意抽取3张，使这3张卡片上的数之积最小，最小的积为 ；使这3张卡片上的数字之积最大，最大的积为 ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期中）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的“差倒数”，例如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是，若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，……，以此类推，则有① ；② ． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 15．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 16．（23-24七年级上·河南周口·期中）先阅读理解，再解答问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 ， 故原式． 请选择合适的方法计算：． 17．（23-24七年级上·山东济南·期中）有20箱石榴，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：） 0 1 箱数 1 4 2 3 2 8 (1)20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱石榴总计超过或不足多少千克？ (3)若石榴每千克售价8元，则售出这20箱石榴总金额为多少元？ 18．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$