精品解析：北京市回民学校2024-2025学年高三上学期统测（一）数学试卷

北京市回民学校2024—2025学年度第一学期 高三统测（一）试卷高三年级 一､选择题（每小题4分，共40分）在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 若为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 故选：D 3. 函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组即得解. 【详解】由题得.解 得 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列的公差，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为，因此，. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数且最小正周期为 B. 为奇函数且在上有最小值 C. 为偶函数且在上单调递减 D. 为奇函数且为一个对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角公式得，再根据余弦函数性质判断即可； 【详解】解：因为， 所以，函数偶函数且最小正周期为，在上单调递减. 所以，ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 8. 设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，分析出为等边三角形，求出，即可得解. 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示： 因为，轴，则， 由抛物线的定义可得，所以为等边三角形，则， 抛物线的准线方程为， 设直线交轴于点，则， 易知，，则. 故选：B. 9. 已知等差数列的前项和为 ，若，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出，再求出. 【详解】等差数列中，由，得，解得，而， 所以. 故选：B 10. 如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成角的大小不变； （3）直线与所成的角的大小不变， （4）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得面，可得上任意一点到平面的距离相等，即可判断（1）；点P在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，即可判断（2）；根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由线面垂直的性质即可判断（3）；由线面垂直的判定定理可证平面，即可判断（4） 【详解】 对于（1），因为，面，面，所以面， 所以上任意一点到平面的距离相等，又，所以三棱锥的体积不变，故正确； 对于（2），点P在直线上运动时，直线AB与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故错误； 对于（3），设，则，又面，所以，又，所以平面, 又平面，所以，所以点P在直线上运动时，直线与直线所成的角的大小不变，故正确； 对于（4），因为为正方体，则平面，且平面，则，又，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 又平面，且平面，所以，又， 且，平面，所以平面， 且平面，所以， 又，平面，所以平面， 且平面，所以，故正确； 故选：C 二､填空题（每题5分） 11. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，再求出常数项即可． 【详解】因为展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以常数项为：. 故答案为： 12. 已知函数，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据解析式代入即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：7 13. 为等边三角形，且边长为2，则与夹角大小为___________，若，则的最小值为___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算可得，结合平面向量夹角的范围即可得出结果. 【详解】由题意知，如图， 由为等比三角形，得， 所以； 因为，所以点E为AC的中点， 则，又， 所以 ， ， 又，所以， 所以. 故答案为：；. 14. 在中，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得，则， 即，而，解得， 所以的面积为. 故答案为： 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】分析函数在上的取值范围即可判断①，对零点在、讨论，即可判断②，③，使得函数在各段单调性，且在断点左侧的函数值不大于断点右侧函数值，即可判断④. 【详解】因为， 当时，则函数在上单调递增， 又函数的对称轴为， 对于①：当时， 当时，所以，即，故①错误； 对于②：当零点位于时，则，解得， 此时， 若，即时在上单调递增， 此时只需，解得或，所以， 若，即时，此时，则在上至少还有个零点，故不符合题意， 所以； 当零点位于，此时在上无零点，则，解得， 此时且， 要使函数只有一个零点，则只需，解得， 又，显然无解，所以此种情况不符合题意； 综上可得当时只有一个零点，故②正确； 对于③：使得有三个不同零点，则必然是在上有一个零点，在上有两个零点， 则，解得， 所以当时有三个不同零点，故③正确； 对于④：若在上是单调递增函数，则，解得， 所以当时在上是单调递增函数，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】关键点点睛：第②问关键是分零点所在区间讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，求出参数的取值范围，第③问关键是分析得到在上有一个零点，在上有两个零点. 三､解答题 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）若；从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角并化简可得，再利用的范围可得答案； （2）若选条件①，由余弦定理解得，因不满足唯一性，舍去；若选条件②，利用平方关系得，再由两角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由三角形面积公式可得答案；若选条件③， 由面积公式可得答案. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，又 所以，因为，所以， 所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 若选条件①：由已知可得，，， 由余弦定理得，解得， 因为答案不唯一，所以舍去. 若选条件②：因为，， 故，， 所以 ， 由正弦定理得，解得， 则的面积为. 若选条件③：由已知可得，，由（1）， 则的面积为. 17. 某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； （2）从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可. （2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可. （3）补全初中段的人数表格，再分别计算，即可得解. 【小问1详解】 女生共有人， 记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”， 事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”， 依题意，，则， 所以从该校随机抽取1名学生，已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在的概率约为. 【小问2详解】 时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人， 记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”， 事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到初中学生”， 依题意，事件C，D相互独立，且， 所以至少有1名初中学生的概率； 【小问3详解】 根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 7 8 11 11 10 8 高中 4 13 12 7 5 4 初中生的总运动时间， 高中生的总运动时间， 又，，， 显然，所以. 18. 如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，. （1）判断AD是否平行于平面CEF，并证明； （2）若面面；求： （ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小； （ⅱ）求点A到平面CEF的距离. 【答案】（1）与平面不平行，证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，假设平面，根据线面平行性质定理证明，推出矛盾，可得结论； （2）（i）证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角，（ii）利用向量方法求点到平面距离. 【小问1详解】 不平行于平面，理由如下： 取中点， 因为，所以 则四边形为平行四边形，所以， 又，所以不平行于， 假设平面， 因为平面平面，平面 所以，与不平行于矛盾， 所以假设不成立，即不平行于平面； 【小问2详解】 取中点，连接 因为菱形， 所以为正三角形，又为中点，所以， 由于，所以， 又面面，面面，面 所以面，因为面，所以 又因为，面， 所以面，而面，所以， 所以如图，以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 （i）因为面，所以为平面的一个法向量 设平面的法向量为，因为 所以，令， 设平面与平面所成角为， 所以，则 即平面与平面所成角大小为； （ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值点. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）令，解得或，再对分种情况讨论，分别求出函数的单调区间与极值点. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， ， ，又， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：令，解得或， ①当时，． 当变化时，，变化情况如下表： ， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数在和上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为； ②当时，恒成立， 函数在上单调递增，函数无极值，即不存在极值点； ③当时，． 当变化时，，变化情况如下表： 1 ， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数在和，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为； ④当时， 当变化时，，变化情况如下表： ， 单调递减 极小值 单调递增 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点． 综上可得：当时极大值点为，极小值点为； 当时不存在极值点； 当时极大值点为，极小值点为； 当时极小值点为，无极大值点． 20. 已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上． 求椭圆C的方程； 若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角. 【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得， 又点在椭圆上，所以，解得， 即椭圆的方程为. （2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意； 当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即. 将直线与椭圆的方程联立，得： ， 判别式，即， 设，则， 所以， 解得， 所以直线的倾斜角为或. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：函数存在极小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即可； （2）讨论函数在区间和上的单调性即可证明. 【小问1详解】 由函数求导得：， 所以，且， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由（1）可知，，且， 当时，， 所以，即函数在上单调递减， 当时，， 所以，即函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值， 所以当时，函数存在极小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市回民学校2024—2025学年度第一学期 高三统测（一）试卷高三年级 一､选择题（每小题4分，共40分）在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，复数，则（ ） A B. C. D. 3. 函数的定义域为（    ） A B. C. D. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数且最小正周期为 B. 为奇函数且在上有最小值 C. 为偶函数且在上单调递减 D. 为奇函数且为一个对称中心 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 已知等差数列前项和为 ，若，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 10. 如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成的角的大小不变； （3）直线与所成的角的大小不变， （4）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､填空题（每题5分） 11. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 12. 已知函数，则______. 13. 为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________. 14. 在中，，则的面积为__________. 15 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是________． 三､解答题 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）若；从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 17. 某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； （2）从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 18. 如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，. （1）判断AD是否平行于平面CEF，并证明； （2）若面面；求： （ⅰ）平面与平面CEF所成角的大小； （ⅱ）求点A到平面CEF的距离. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值点. 20. 已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上． 求椭圆C的方程； 若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角． 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：函数存在极小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$