第二章复习课（第2课时） 一元二次方程基础知识专项练习-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章复习课 一元二次方程基础知识专项练习 知识点一．一元二次方程的定义 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①3x2+7＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣1，④x2﹣+4＝0，⑤x2﹣（+1）x+＝0， ⑥3x2﹣+6＝0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于x的一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，﹣2，﹣1 B．5，2，﹣1 C．﹣5，2，1 D．﹣5，﹣2，﹣1 3．一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　） A．3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．﹣3x2，﹣1 4．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣6m＝　 　． 5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 　 　． 知识点二．一元二次方程的判别式 6．一元二次方程（x﹣1）（x+2）＝1的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．下列一元二次方程中，无实数根的是（　　） A．x2＝1﹣x B．x2+x+1＝0 C．x2﹣4x＝﹣4 D．x（x﹣2）﹣2＝0 8．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 9．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是　 　． 10．关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的值可以是 　 　．（写出一个即可） 11．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　． 知识点三．一元二次方程的根与系数的关系 12．已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A． B． C． D． 13．一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则代数式x2+x1的值为 　 　． 14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　 　． 16．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 知识点四．一元二次方程的解法 17．x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3 18．若将一元二次方程x2﹣8x﹣9＝0化成（x+n）2＝d的形式，则n，d的值分别是（　　） A．4，25 B．﹣4，25 C．﹣2，5 D．﹣8，73 19．小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 20．解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0； （3）x2﹣9＝2（x+3）； （4）5x2+2x﹣1＝0． 第二章复习课 一元二次方程基础知识专项练习（解析版） 知识点一．一元二次方程的定义 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①3x2+7＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣1，④x2﹣+4＝0，⑤x2﹣（+1）x+＝0，⑥3x2﹣+6＝0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0，其中a≠0， ∴在下列方程中，①3x2+7＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣1，④x2﹣+4＝0， ⑤x2﹣（+1）x+＝0，⑥3x2﹣+6＝0， 是一元二次方程的有①⑤，所以有两个． 故选：B． 2．关于x的一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，﹣2，﹣1 B．5，2，﹣1 C．﹣5，2，1 D．﹣5，﹣2，﹣1 解：关于x的一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、+2、﹣1， 故选：B． 3．一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　） A．3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．﹣3x2，﹣1 解：3x2+1＝6x， 3x2+1﹣6x＝0， ﹣3x2+6x﹣1＝0， ∵一次项系数是6， ∴二次项系数是﹣3，常数项是﹣1， 故选：B． 4．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣6m＝　2　． 解：把x＝m代入得：m2﹣3m﹣1＝0， ∴m2﹣3m＝1， ∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2． 故答案为：2． 5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 　﹣1　． 解：根据题意得：m2﹣1＝0， 解得：m＝1或m＝﹣1， 当m＝1时，方程为2x＝0，不合题意， 则m的值为﹣1， 故答案为：﹣1 知识点二．一元二次方程的判别式 6．一元二次方程（x﹣1）（x+2）＝1的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：原方程可化为x2+x﹣3＝0， 所以Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．下列一元二次方程中，无实数根的是（　　） A．x2＝1﹣x B．x2+x+1＝0 C．x2﹣4x＝﹣4 D．x（x﹣2）﹣2＝0 解：A选项中，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； B选项中，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，故B选项符合题意； C选项中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，有两个相等的实数根，故C选项不符合题意； D选项中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意， 故选：B． 8．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（3m﹣2）＝16﹣12m+8＜0， 解得：m＞2． 故选：D． 9．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是　有两个不相等的实数根　． 解：∵点P（a，c）在第二象限， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0 ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 10．关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的值可以是 　0（答案不唯一）　．（写出一个即可） 解：由题意，（﹣6）2﹣4k＞0， ∴k＜9． ∴k可以取k＝0． 故答案为：0（答案不唯一）． 11．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　m≤0且m≠﹣1　． 解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×1≥0且m+1≠0， 解得m≤0且m≠﹣1． 故答案为：m≤0且m≠﹣1． 知识点三．一元二次方程的根与系数的关系 12．已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A． B． C． D． 解：∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2， x1+x2＝﹣＝﹣． 故选：D． 13．一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则代数式x2+x1的值为 　3　． 解：∵一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3， ∴x2+x1＝x1x2•（x1+x2）＝﹣1×（﹣3）＝3， 故答案为：3． 14．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　11　． 解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根， ∴α2+3α﹣17＝0，α+β＝﹣3， ∴α2+3α＝17， ∴α2+5α+2β＝（α2+3α）+2（α+β）＝17﹣6＝11． 故答案为：11． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　2　． 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∵x1x2＝x1+x2， ∴m2+2＝2（m+1），即m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2． ∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）≥0， ∴8m﹣4≥0， ∴m≥， 故m的值是2． 故答案为：2． 16．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0，则小马计算的方程为cx2+bx+a＝0， 令ax2+bx+c＝cx2+bx+a， 解得x＝1或x＝﹣1， 故两个方程相同的根为x＝1或x＝﹣1， 设原来的方程为ax2+bx+c＝0得一个根为x1，另一个根为x2， 则+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣）2﹣2×， 当两个相同的根为1时， 则2+1＝﹣，2×1＝， ∴＝﹣，＝， ∴（﹣）2﹣2×＝（）2﹣2×＝； 当两个相同的根为﹣1时， 则2+（﹣1）＝﹣，2×（﹣1）＝， ∴＝，＝﹣， ∴（﹣）2﹣2×＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝； 由上可得，原方程两根的平方和是， 故选：D． 知识点四．一元二次方程的解法 17．x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3 解：∵x1、x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2， ∴（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴x2＝1+＞3，x1＝1﹣＜﹣1， 故选：A． 18．若将一元二次方程x2﹣8x﹣9＝0化成（x+n）2＝d的形式，则n，d的值分别是（　　） A．4，25 B．﹣4，25 C．﹣2，5 D．﹣8，73 解：∵x2﹣8x﹣9＝0， ∴x2﹣8x+16＝25， ∴（x﹣4）2＝25， ∴n＝﹣4，d＝25， 故选：B． 19．小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 解：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴x＝2或x＝1； 故小李解方程的过程错误，x＝2也是该方程的一个解，小李解方程的方法不是配方法，解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误． 故选：B． 20．解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0； （3）x2﹣9＝2（x+3）； （4）5x2+2x﹣1＝0． 解：（1）移项得（x+2）2＝25， 直接开平方得：x+2＝±5， 解得：x1＝3，x2＝﹣7； （2）两边同时除以2得 ， ， ， ， ，； （3）（x+3）（x﹣3）﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x﹣3﹣2）＝0， x+3＝0或x﹣3﹣2＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝5； （4）∵Δ＝22﹣4×5×（﹣1）＝4+20＝24＞0， ∴， ，． 第4页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$