精品解析：重庆市巴蜀中学校2023-2024学年九年级数学下学期入学测试题

数学练习 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，也是重要数学发现与创造中的重要美学因素，下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，先寻找对称中心，再旋转180度后与原图重合，作出选择即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念对各图形分析判断： A、是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟记相关概念是解答本题的关键． 3. 如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 7 B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】直接将点代入反比例函数解析式计算k的值即可． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数系数的求解，方法为函数图像上的点可代入解析式得到方程，正确的计算是解题的关键． 4. 如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为3，则的周长为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似得出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】与是位似图形， ，， ， ∵， ∴， 与的周长比是2， 由于的周长为3， 所以的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，并估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（ ） A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 28个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中正方形的个数，发现规律“正方形的个数依次增加3”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：； 第②个图形中正方形的总个数为：； 第③个图形中正方形的总个数为：； 第④个图形中正方形的总个数为：； ， 依次类推，第个图形中正方形的总个数为个， 当时， （个， 即第9个图形中正方形的总个数为25个． 故选：C． 8. 如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点C，连接，根据得出，根据垂径定理可得，，设，根据勾股定理可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点O作于点C，连接， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解． 9. 如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A. α B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由角的数量关系可求解．． 【详解】解：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可知，故选项①正确； 当时，，故选项②不正确； 当时，不是定值，故选项③不正确； ， ， ， ， ， ， ， 故选项④正确， 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，先分别根据零指数幂、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若正n边形的每个内角的度数均为．则n的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式以及正多边形的性质，根据多边形内角和公式结合“正n边形的每个内角的度数均为”，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正n边形的每个内角的度数均为 ∴ 解得 故答案为：9． 13. 近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人， 故答案为：12． 14. 盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把和化为最简二次根式，然后再用列表法，结合同类二次根式的定义，得出共有种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有种，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵，， 列表图如下： 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 和 共有种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有种， ∴两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了用列表法求概率、概率公式、同类二次根式，解本题的关键在找出所有等可能情况和所求情况数． 15. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 16. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点F．由正方形的性质得出，．即根据扇形面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】如图，连接，交于点F． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解是解题关键． 17. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 解得：， 即且， 解得：且 ∴a的取值范围是，且 ∴a可以取：1，3， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为．例如：，因为，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：，，所以．若是最大的“平衡数”，则______；若都是“平衡数”，其中，，（，，，，都是整数），规定：，当是一个完全平方数时，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，一定要认真读题，理解“平衡数”的定义，并用来解决问题，找出平衡数中各数字之间的关系是解题的关键．理解“平衡数”的定义，写出最大的平衡数，并根据的定义计算即可；根据的定义求出，，根据计算即可． 【详解】解：根据如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”． ∴最大的平衡数为， ∴； 由题意得：， ∴， ∵s是平衡数， ∴ ∴ 同理，， ∵t都是平衡数， ∴， ∴ ∵，，，， ∴， ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∴ ∵是一个完全平方数， ∴， ∵，， ∴，或， 当，时， ∴ 当，时， ∴ ∵ ∴k的最小值为． 故答案为：， 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用完全平方公式以及单项式乘多项式 展开，再合并同类项，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：在上截取，连接，作的角平分线，分别交于点F、G，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：∵是的角平分线， ∴　　　　　， ∵， ∴　　　　　， ∴， ∴　　　　　， 又∵， ∴　　　　　， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【答案】（1）图形见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的基本要求，规范作图解答即可． （2）根据作图，结合平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等量代换解答即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握基本作图，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，作图如下： ． 【小问2详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21. 熊猫作为我国独有的珍稀动物，因其萌态可掬深受全世界人们的喜爱．成都大熊猫繁育研究基地的“和花、和叶”，重庆动物园的“渝可、渝爱”，北京动物园的“萌兰”等被称为“熊猫界的顶流”倍受人们的关注．某校举办了“珍爱自然，珍爱熊猫，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组；；；）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100． 八年级10名学生的成绩在组中的数据是：91，94，93，92． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 91 29.8 八年级 91 95 17.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：  ，  ，  ； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有800人，八年级有900人参加了此次知识竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生掌握知识较好，理由见解答（答案不唯一）； （3）两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有人． 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，以及利用方差作决策，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、方差的意义求解即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占比例得到七、八年级各自成绩不低于90分的人数，再相加即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，八年级组所占百分比为：． 八年级组所占百分比为：， ， 七年级10名学生的成绩中出现次数最多， ， 由中位数定义可知； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生掌握知识较好， 由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：七年级成绩不低于90分的有：（人）； 八年级成绩不低于90分的：（人）； （人）； 答：两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有人． 22. 某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． （1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ （2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 【答案】（1）安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； （2）今年的成本定每套万元． 【解析】 【分析】（）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元，根据题意列分式方程，解方程并检验即可； 本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系列出方程． 【小问1详解】 设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子， 由题意得， 解得：， ∴， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； 【小问2详解】 设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元 ， 根据题意得， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解 ， ∴， 答： 今年的成本定每套万元． 23. 如图，菱形的面积为24，对角线，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线着方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2）画函数图象见解析，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，得出总的运动时间为10秒，分两种情况：当时，当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质； （3）结合图象利用分别求解即可． 【小问1详解】 连接交于， 在菱形中，菱形的面积为24，对角线， ， ，， ， 总的运动时间为： 秒）， 连接， 当点在上，点在上运动时，由题意是等腰三角形， 即时，由， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上，点在上运动时，是等腰三角形， 即时，由， 同理， ， ， ， 综上所述； 【小问2详解】 函数图象如图： 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 当时的取值范围为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了动点问题，一次函数的图象及性质，相似三角形的性质和判定，菱形的性质及等腰三角形的判定和性质，正确理解动点问题是解题的关键． 24. 如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，） （1）求的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 【答案】（1）的距离为77海里 （2）维修船能在货船之前到达小岛C 【解析】 【分析】（1）过C作交延长线于M，由题意可得，设，则，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可； （2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答． 【小问1详解】 过C作交延长线于M， 由题意得，海里， 由题意得，在中，， ∴， 设 ，则， 在中，， ∴， 解得， ∴海里， 在中，， ∴海里； 【小问2详解】 ∵海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， ∴海里， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， 货船从B到C用时：（小时）， ∵6分钟小时， ∴（小时） ∴（海里）， ∵（海里）， ∴能在货船之前到达小岛C． 【点睛】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，点为抛物线上之间一个动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线对称轴与轴的交点，连接，点为新抛物线对称轴右侧平面内一点，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点P的坐标为， （3）点Q的坐标是或或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标是，其中，得到，根据二次函数性质即可得到答案； （3）分两种情况分别画图，进行解答即可． 【小问1详解】 解：将、点代入函数解析式得到， ， 解得， ∴ 【小问2详解】 当，， 当，，解得或， ∴点A点的坐标是， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为 同理可得的解析式为 设点P的坐标是，其中 ∵轴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 当时，由最大值， 此时点P的坐标为， 【小问3详解】 直线的解析式为 ∴ ∵原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴原抛物线沿y轴正方向平移，沿x轴正方向平移 ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， 设点Q的坐标为， 当时，如图1，过点D作轴于点F，过点Q作轴于点E， ∴， ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 当时，如图2，过点D作轴于点M，过点Q作于点G， ∴， ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 当时， 解得 ∴点Q的坐标是（不合题意，舍去） 综上可知，点Q的坐标是或或 26. 如图，在中，，点是射线上一动点，为射线上一动点． （1）如图1，当在线段上，且，连接，，过点作于点，，求线段的长． （2）如图2，当，连接并延长到，使，连接．请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若，连接，将绕点顺时针旋转，得到，若为的中点，为平面内任意一点，把沿直线翻折后得到，当最小时，求点到的距离． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由求出，利用即可求出答案； （2）连接，过点F作交的延长线于点G，证明，则，证明，则，进一步得到是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到，过点A作轴，过点D作于点M，过点作于点N，证明，得到，证明点在直线上，作点A关于直线的对称点，连接，得到，得到，则在以点F为圆心，4为半径的圆上，当三点共线时，最小，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴, ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 ，理由如下； 如图2，连接，过点F作交的延长线于点G， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 【小问3详解】 以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∵ ∴ 过点A作轴，过点D作于点M，过点作于点N， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点的横坐标为 ∴点在直线上， 作点A关于直线的对称点，连接， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵沿直线翻折后得到， ∴， ∴在以点F为圆心，4为半径的圆上， 当三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 设点坐标为， ∴, 即 解得，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线 ∴ 解得， ∴解析式， 则平行直线与y轴交点为， ∴ 过点G作于点H， ∵ ∴, ∴， 解得，， ∴点到直线的距离为 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、一次函数的图象和性质、轴对称的性质等知识，准确添加辅助线和数形结合是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A B. C. 2024 D. 2. 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，也是重要数学发现与创造中的重要美学因素，下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 7 B. 5 C. D. 6 4. 如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为3，则的周长为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（ ） A. 19个 B. 22个 C. 25个 D. 28个 8. 如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则长为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A. α B. C. D. 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_____________． 12. 若正n边形的每个内角的度数均为．则n的值是_______． 13. 近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______． 14. 盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为__________． 15. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 16. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________． 17. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 18. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为．例如：，因为，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：，，所以．若是最大的“平衡数”，则______；若都是“平衡数”，其中，，（，，，，都是整数），规定：，当是一个完全平方数时，则的最小值为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：在上截取，连接，作的角平分线，分别交于点F、G，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：∵是的角平分线， ∴　　　　　， ∵， ∴　　　　　， ∴， ∴　　　　　， 又∵， ∴　　　　　， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21. 熊猫作为我国独有的珍稀动物，因其萌态可掬深受全世界人们的喜爱．成都大熊猫繁育研究基地的“和花、和叶”，重庆动物园的“渝可、渝爱”，北京动物园的“萌兰”等被称为“熊猫界的顶流”倍受人们的关注．某校举办了“珍爱自然，珍爱熊猫，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组；；；）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100． 八年级10名学生的成绩在组中的数据是：91，94，93，92． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 91 29.8 八年级 91 95 17.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：  ，  ，  ； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有800人，八年级有900人参加了此次知识竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 22. 某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． （1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产桌椅正好配套？ （2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 23. 如图，菱形的面积为24，对角线，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线着方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x取值范围． 24. 如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，） （1）求的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，点为抛物线上之间的一个动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，连接，点为新抛物线对称轴右侧平面内一点，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 26. 如图，在中，，点是射线上一动点，为射线上一动点． （1）如图1，当在线段上，且，连接，，过点作于点，，求线段的长． （2）如图2，当，连接并延长到，使，连接．请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若，连接，将绕点顺时针旋转，得到，若为的中点，为平面内任意一点，把沿直线翻折后得到，当最小时，求点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $