第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪教版2020第1-2章） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第1-2章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）试用列举法表示集合： ； 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若面积为的正方形的边长为，则 ．（填“”或“”） 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的 条件． 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，，，则 . 6．（2023·上海奉贤·一模）设集合，，则 ． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 11．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 14．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习），，，用列举法表示M，N，P． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：沪教版第1-2章 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解可求不等式的解集. 【详解】因为，故且， 故，解得，故原不等式的解集为， 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）试用列举法表示集合： ； 【答案】 【分析】根据一元一次不等式结合集合的描述法分析求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若面积为的正方形的边长为，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系判断即可. 【详解】因为正方形面积为， 所以，， 所以， 所以是无理数， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的 条件． 【答案】必要非充分 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若四边形为平行四边形则平行四边形相邻两边不一定相等不一定是菱形， 所以“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的不充分条件； 若四边形为菱形则菱形是平行四边形，所以“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的必要条件； 故答案为：必要非充分. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，，，则 . 【答案】0或2 【分析】根据集合的包含关系，确定集合的元素的关系，即可求解. 【详解】因为集合，，，且， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以0或2. 故答案为：0或2. 6．（2023·上海奉贤·一模）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合，然后求解. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，得出，再将其转化为一元二次不等式，求解即可得出实数的取值范围. 【详解】∵，∴，即， ∴，所以或， 即实数的取值范围是． 故答案为： 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【答案】 【分析】先利用三角不等式得到所以时，满足，，然后利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为， 故答案为： 11．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 14．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式得到，再根据定义确定范围. 【详解】，则，故. 故选：D. 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断四个选项中所表示的集合范围，得到答案. 【详解】A选项，表示的为④，错误； B选项，表示的为③④⑤⑥⑦，错误； C选项，表示的为⑤，正确； D选项，表示的为①②③④⑧，错误. 故选：C 16．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）先判断 分母的正负情况再化简解一元二次不等式. 【详解】（1）因为, 所以， 所以, 所以, 所以不等式的解集为. （2）因为 所以与同解， 所以不等式的解集为 18．（24-25高一上·上海·随堂练习），，，用列举法表示M，N，P． 【答案】，， 【分析】根据题意，求出的值域可得M,求出上面的点集得到N，根据，求出得到P. 【详解】，即为，也就是， 代入求值，即得到； 令得到，由于，则，故. 由于，则，代入求值得到， 则. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)22或37． 【分析】（1）根据给定条件，构造一元二次方程，再利用韦达定理求解即得. （2）变形给定条件，构造一元二次方程，求出方程的解即可. 【详解】（1）由，，得m，n可看作方程的两个不相等的实数根， 则，， 所以． （2）由，， 得xy，可看作一元二次方程的两个实数根，解得或， 于是，或，， 当，时，； 当，时，． 所以的值为22或37． 学科网（北京）股份有限公司 $$