第二章复习课 一元二次方程的应用专项练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章复习课 一元二次方程的应用专项练习 类型一．数字问题 1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A．x（x+2）＝783 B．（2x+1）（2x﹣1）＝783 C．x（x+1）＝783 D．x（x﹣2）＝783 2．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（　　） A．x（x+8）＝161 B．x（x+16）＝161 C．（x﹣8）（x+8）＝161 D．x（x﹣16）＝161 3．学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73 C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73 4．某市开展青少年篮球比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　） A．x（x+1）＝45 B．＝45 C．x（x﹣1）＝45 D．＝45 类型二．增长率 5．某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为 　 　． 6．2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．26% 7．一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工出花生油50kg）．现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，设新品种花生产量的增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 类型三．古代问题 8．《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（　　） A．（3x）2＝（7x）2﹣102 B．（3x）2+（7x）2＝102 C．（3x）2＝（7x﹣10）2 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 9．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 10．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为　 　． 类型四．利润问题 11．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价　 　元． 13．一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒．要使超市每天盈利4500元，并且使顾客得到实惠，请问该超市如何定价？ 类型五．图形动点问题 14．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　） A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60 C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60 15．如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（　　） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2﹣32 C．（x﹣1）2+42＝x2+32 D．（x﹣1）2+32＝x2+42 16．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 17．如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x厘米），如图所示，求宽度x． 18．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝8cm，AB＝8cm． （1）点P从点A开始沿AC向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BA向A点以2cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，经过t秒后，AP的长度为 　 　，AQ的长度为 　 　． （2）在（1）的背景下，经过几秒△PAQ的面积等于3cm2． （3）点P从点A开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动．如果PQ同时出发，经过几秒△BPQ的面积等于6cm2． 类型六．任务方案问题 19．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 20．根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高5cm，容积4680cm3的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于32cm（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm，横着裁剪y cm（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当x＝y时，求x的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式． 第二章复习课 一元二次方程的应用专项练习（解析版） 类型一．数字问题 1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A．x（x+2）＝783 B．（2x+1）（2x﹣1）＝783 C．x（x+1）＝783 D．x（x﹣2）＝783 解：∵较小的奇数为x，∴较大的奇数为x+2， 由题意可得：x（x+2）＝783， 故选：A． 2．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（　　） A．x（x+8）＝161 B．x（x+16）＝161 C．（x﹣8）（x+8）＝161 D．x（x﹣16）＝161 解：设最小数为x，则最大数为x+16， 根据题意得出：x（x+16）＝161， 故选：B． 3．学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73 C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73 解：依题意得：1+x+x2＝73， 故选：C． 4．某市开展青少年篮球比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　） A．x（x+1）＝45 B．＝45 C．x（x﹣1）＝45 D．＝45 解：设共有x支队伍参加比赛， 依题意得：＝45， 故选：D． 类型二．增长率 5．某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为 　63200（1+x）2＝91008　． 解：根据题意得：63200（1+x）2＝91008； 故答案为：63200（1+x）2＝91008． 6．2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．26% 解：设该款上衣销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该款上衣销售量的月平均增长率为20%． 故选：A． 7．一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工出花生油50kg）．现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，设新品种花生产量的增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 解：设新品种花生产量的增长率为x，则新品种花生出油率的增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 类型三．古代问题 8．《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（　　） A．（3x）2＝（7x）2﹣102 B．（3x）2+（7x）2＝102 C．（3x）2＝（7x﹣10）2 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 解：如图，这时乙行驶AC＝3x步，甲共行驶AB+BC＝7x步， ∵AB＝10步，∴BC＝（7x﹣10）步， ∵∠A＝90°，由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2． 故选：D． 9．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2． 故选：D． 10．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为　x（x+12）＝864　． 解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 类型四．利润问题 11．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 解：当每顶帐篷降价x元时，每顶帐篷利润为（200﹣x）元，平均每天可售出（60+×4）顶， 根据题意得：（200﹣x）（60+×4）＝12160． 故选：B． 12．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价　6或10　元． 解：设每件降价x元，则平均每天可售出（40+10x）件， 依题意，得：（20﹣x）（40+10x）＝1400， 整理，得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10． 故答案为：6或10． 13．一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒．要使超市每天盈利4500元，并且使顾客得到实惠，请问该超市如何定价？ 解：设每盒牛奶降价x元． （2.2﹣1.5﹣x）×（5000+x÷0.1×2000）＝4500 化简得：20x2﹣9x+1＝0，即（4x﹣1）（5x﹣1）＝0 解得x1＝0.2（舍去），x2＝0.25 ∴x＝0.25， 2.2﹣0.25＝1.95（元）． 答：每盒牛奶应价1.95元． 类型五．图形动点问题 14．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　） A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60 C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60 解：由题意可得：（10﹣x）（9﹣x）＝10×9﹣×10×9，即（10﹣x）（9﹣x）＝60． 故选：D． 15．如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（　　） A．x2+42＝（x+1）2+32 B．x2+42＝（x+1）2﹣32 C．（x﹣1）2+42＝x2+32 D．（x﹣1）2+32＝x2+42 解：设AB'＝x m， ∵AC'＝AC， ∴根据勾股定理得：AB'2+B'C'2＝AB2+BC2， 即x2+42＝（x+1）2+32． 故选：A． 16．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为x cm， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形． 根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝80． 故选：D． 17．如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x厘米），如图所示，求宽度x． 解：由题意得：6×18+20×3x+4x（15﹣3x）＝20×15， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8（不符合题意，舍去）， 答：宽度x为2厘米． 18．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝8cm，AB＝8cm． （1）点P从点A开始沿AC向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BA向A点以2cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，经过t秒后，AP的长度为 　t cm　，AQ的长度为 　（8﹣2t）cm　． （2）在（1）的背景下，经过几秒△PAQ的面积等于3cm2． （3）点P从点A开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动．如果PQ同时出发，经过几秒△BPQ的面积等于6cm2． 解：（1）由题意得得：AP＝t cm，AQ＝AB﹣BQ＝（8﹣2t）cm， 故答案为：t cm，（8﹣2t） cm； （2）设经过t秒，△PAQ的面积等于3cm2， 由题意得，t（8﹣2t）＝3， 化简得t2﹣4t+3＝0， 解得t1＝2﹣3，x2＝2+3， 答：经过（2﹣3）秒或（2+3）秒，△PAQ的面积等于3cm2； （3）如图，连结PQ，过Q作QH⊥BP于点H， ∵QH⊥BP，∠B＝30°， ∴QH＝BQ＝t， 而BP＝8﹣t， 当△BPQ的面积等于6cm2时，×BP×QH＝6， ∴×（8﹣t）×t＝6， 整理得：t2﹣8t+12＝0， 解得：t1＝4+6（不合题意，舍去），t2＝4﹣6． 答：经过（4﹣6）秒，△BPQ的面积等于6cm2． 类型六．任务方案问题 19．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝114， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝50，y2＝80， 又∵要尽可能让车企得到实惠， ∴y＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元． 20．根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高5cm，容积4680cm3的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于32cm（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪x cm，横着裁剪y cm（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当x＝y时，求x的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式． 解：任务1：根据题意得： （50﹣x﹣2×5）×（40﹣2×5）×5＝4680， 解得：x＝8.8， 此时长方体盒子的长为：50﹣8.8﹣2×5＝31.2（cm）， ∵31.2＜32， ∴初始方案是不可行． 任务2：当x＝y时，根据题意得： （50﹣x﹣2×5）×（40﹣x﹣2×5）×5＝4680， 解得：x1＝4或x2＝66， 当x1＝4时，盒子的长为50﹣25﹣4＝36＞32，符合题意； 当x2＝66时，盒子的长为50﹣2×5﹣66＝﹣26＜32，不符合题意； ∴x的值为4； 任务3：根据题意得： （50﹣x﹣2×5）×（40﹣y﹣2×5）×5＝4680， 整理得：y＝30﹣， ∵纸盒的长不小于32cm， ∴50﹣5×2﹣x≥32， 解得：x≤8， ∴0≤x≤8， 把x＝0代入y＝30﹣，得 y＝6.6， 把x＝8代入y＝30﹣，得 y＝0.75， ∴0.75≤y≤6.6． 第9页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$