精品解析：山东省 菏泽市牡丹区第二十一初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

初三学情检测试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（ ） A. 0.21836×109 B. 2.1386×107 C. 21.836×107 D. 2.1836×108 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：218360000＝2.1836×108， 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值． 3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4. 广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能的结果数，其中选中“地理、生物”的有2种， 她在“2”中选地理、生物的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查了的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 5. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得：x≥-1， 解不等式②，得：x＜2， 将不等式的解集表示在同一数轴上： 所以不等式组的解集为-1≤x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将解集表示在同一数轴上． 7. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为(　　) A. 70° B. 60° C. 55° D. 35° 【答案】A 【解析】 【详解】∵AC为切线，OC为半径， ∴∠ACB=90°， ∵∠A=55°， ∴∠B=90°－55°=35°， ∵∠COD和∠B是 所对的圆心角和圆周角， ∴∠DOC=2∠B=35°×2=70°． 8. 如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为和，其中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征；首先根据抛物线的开口方向得到，抛物线交轴于正半轴，则，而抛物线与轴的交点中，，，说明抛物线的对称轴在和轴之间，即，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】由图知：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且． ①由图可得：当时，，即，故①正确； ②已知，且，所以，故②正确； ③由于抛物线的对称轴，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于，即 ，由于，所以，即，故③正确； ④，，则，抛物线与轴交于正半轴，则 ，故④正确， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 10. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式的意义，掌握判别式的使用是本题关键． 根据方程有两个实数根可知该方程为一元二次方程且，然后据此列不等式求解即可． 【详解】解：有两个实数根， ，且 且， 故答案为：且 ． 11. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解． 【详解】解：，即， ， 或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角，都有． 12. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5 则根据图2可得：． 故填． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键． 13. 如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接交于点，由四边形是菱形，得，，，则有，，，再通过勾股定理求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共78分） 15. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简，零指数幂等，先根据特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，零指数幂进行化简，再进行合并计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】化简时先算括号，再算除法，化为最简分式后，将的值代入计算即可． 【详解】解： = = =； 将代入得：． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，将结果化为最简分式是解题的关键．本题还考查了二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 17. 在正方形中，对角线所在的直线上有两点E、F满足，连接，如图所示，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证得结论． 【详解】证明：连接，交于点O， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为． 【解析】 【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 19. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下： 【数据收集】 4　4　3　3　5　5　5　7　7　7　 7　6　6　6　6　6　6　8　8　8　 8　9　9　10　10　10　10　11　12　13 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示阅读时间）； 统计量 平均数 众数 中位数 阅读时间（h） 【数据分析】 请根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为______； （4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数． 【答案】（1）补全图形见解析 （2）众数是6小时；中位数为：小时 （3） （4）人 【解析】 分析】（1）由统计数据可得：C．，有8个；D．，有6个，再补全图形即可； （2）根据众数的中位数的含义可得答案； （3）由A组所占的百分比乘以即可得到答案； （4）由样本中不少于9小时的学生人数的占比乘以总人数3000即可． 【小问1详解】 解：由统计数据可得：C．，有8个；D．，有6个， ∴补全图形如下： 【小问2详解】 出现次数最多的数据是6小时， ∴众数m是6小时； 30个数据排在最中间是数据是第15个，第16个数据，都为7小时， ∴中位数n为：（小时） 【小问3详解】 A组的圆心角为：； 【小问4详解】 该校有3000名学生，估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时学生人数有 （人）． 【点睛】本题考查的是整理统计数据，频数分布直方图，中位数，众数的含义，扇形统计图某部分所对应的圆心角，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答 （2）根据函数图象结合解析式即可判断 （3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答 【详解】（1）∵点， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在第二象限， ∴ ， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为：， 把代入得：， ∴ 因此，； （2）由图象可以看出的解集为：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于， 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴ 【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 22. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形，理由见详解；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 23. 如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 24. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B．抛物线经过A，B两点，与轴的另外一个交点为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是第一象限抛物线上一动点，连接交直线于点，设点的横坐标为，设，求与的函数关系式，并求出的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2），最大值为； （3）或． 【解析】 【分析】（1）通过一次函数的解析式分别确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令即可得C点坐标； （2）过点作垂直轴于点，交于点，设点，则点，，可求得，再根据平行线分线段成比例定理可得，据此即可求解； （3）分二种情况分类讨论进行解答即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点A，与轴交于点， ， ， ， ， ， ， 把点A，的坐标分别代入抛物线中， 得：， 抛物线的解析式为：． 令，有， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作垂直轴于点，交于点． 设点，则点，， ， ∽． ， 即， 整理得：， ， ， 的最大值为； 【小问3详解】 解：①当点在的下方时，如图2，设与x轴交于点F． ，， ， ， ， ． 又，， ． 设直线的解析式为， 把点F的坐标代入解析式，得， 解得， 直线的解析式为． 由， 解得：（舍去），， ； ②当点在的上方时，如图3．作正方形，设的延长线交于点． ， ，， ． 又，， ， ． ． 设直线的解析式为． 将点代入得， 解得：． 直线的解析式为． 解得：（舍去），， ， 综上所述，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了函数图象与坐标轴交点的确定，以及利用待定系数法求抛物线解析式，再者考查了利用数形结合的思想将图形线段长度的比化为坐标轴上点之间的线段长度比的思维能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三学情检测试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（ ） A 0.21836×109 B. 2.1386×107 C. 21.836×107 D. 2.1836×108 3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2度数为( ) A. B. C. D. 4. 广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为(　　) A. 70° B. 60° C. 55° D. 35° 8. 如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为和，其中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　 　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 10. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 11. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA=________． 12. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 13. 如图，在菱形中，点对角线上一点，且，连接，若，，则______． 14. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为______． 三、解答题（本题共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 在正方形中，对角线所在的直线上有两点E、F满足，连接，如图所示，试判断四边形的形状，并说明理由． 18. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 19. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下： 【数据收集】 4　4　3　3　5　5　5　7　7　7　 7　6　6　6　6　6　6　8　8　8　 8　9　9　10　10　10　10　11　12　13 【数据整理】 将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示阅读时间）； 统计量 平均数 众数 中位数 阅读时间（h） 【数据分析】 请根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为______； （4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 22. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 23. 如图，为直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 24. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B．抛物线经过A，B两点，与轴的另外一个交点为． （1）求抛物线解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是第一象限抛物线上一动点，连接交直线于点，设点的横坐标为，设，求与的函数关系式，并求出的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$