精品解析：甘肃省武威市凉州区十六中片2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十六中学八年级数学开学学情评估卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段不可以组成三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 5，7，4 C. 4，5，8 D. 2，4，6 3. 如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ） A. 20 B. 30 C. 25 D. 15 4. 如图，B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A. 2cm2 B. 2acm2 C. 4acm2 D. （a2﹣1）cm2 6. 如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 7. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③ 8. 如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则________． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 13. 已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝______． 14. 若点关于轴的对称点是点，则________，________． 15. 如图，已知，，使得．这个条件可以是：_________________．（只填一个条件即可） 16. 如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． 17. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 18. 如图，在中，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为________． 三、分解因式与解方程（共16分） 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题（共50分） 21. 如图，在中，是的平分线，在同一条直线上， ，．求的度数． 22. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 23. 若分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交，于点交BE于点Q． （1）求证：； （2）求的度数． 26. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ 27. 如图，在中，，于点D，，E，F分别是直线上的动点，连结． （1）求的长． （2）若点E在边上，且，求证：平分． （3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十六中学八年级数学开学学情评估卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，故符合题意； B选项图形是轴对称图形，故不符合题意； C选项图形是轴对称图形，故不符合题意； D选项图形是轴对称图形，故不符合题意． 故选A． 【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键． 2. 下列长度的各组线段不可以组成三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 5，7，4 C. 4，5，8 D. 2，4，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系解答． 【详解】解：∵2+2>3，∴此三条线段能组成三角形，故A选项不符合题意； ∵4+5>7，∴此三条线段能组成三角形，故B选项不符合题意； ∵4+5>8，∴此三条线段能组成三角形，故C选项不符合题意； ∵2+4=6，∴此三条线段不能组成三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查三角形的三边关系，将两条较短边相加大于第三边即可判断此三条线段可以构成三角形，熟记三角形三边关系即可正确解答． 3. 如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ） A. 20 B. 30 C. 25 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，求三角形面积，过点E作于F，根据角平分线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，根据全等三角形的判定定理(、、、)逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A、∵， ∴，即， ∵， ∴，故选项A不符合题意； B、∵，，， ∴，故选项B不符合题意； C、∵，，， ∴不能证明，故选项C符合题意； D、∵，，， ∴，故选项D不符合题意， 故选：C． 5. 如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A. 2cm2 B. 2acm2 C. 4acm2 D. （a2﹣1）cm2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，求出即可： 【详解】解：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2 =a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1） =4a（cm2）． 故选C． 6. 如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 【答案】B 【解析】 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 7. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP， BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°， ∠PAH＝∠BAP＝∠BFP， PA＝PF， ∴△APH≌△FPD， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，ED． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8. 如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，进而根据三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，最后根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质及角平分线的定义可以得到②正确；由直角三角形的性质和角平分线定义可以得到③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF正确． 【详解】解：由已知可得： ∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A， 故①正确； ∵EFBC，∴∠AEF=∠ABC， ∴∠EBO=∠AEF，故②正确； 由已知得：∠OCB=∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝∠DOC+∠OCD＝90°，故③正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF =AE⋅OM+AF⋅OD =OD⋅(AE+AF)=mn，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的定义及性质定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积的求法是解题关键． 10. 与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可． 【详解】由题意可得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形的性质得，利用三角形内角和得，结合，可求出，进而可求出的值． 【详解】解：由作法知，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不能为零求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 13. 已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝______． 【答案】20 【解析】 【详解】因为x－2y＝－5，xy＝－2,所以2x2y－4xy2＝2xy(x-2y)=2（-2）=20. 14. 若点关于轴的对称点是点，则________，________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点关于轴的对称点的坐标是进而得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点是点， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，已知，，使得．这个条件可以是：_________________．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理：、、，即可得出答案． 【详解】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解． 【详解】解：∵绕C点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角α度数为或. 故答案为：或． 17. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在中，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作，交于点E，过点E作于点F，则，根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，从而可得，即当C、E、F三点共线，且时，的值最小，最小值为的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交于点E，过点E作于点F，则， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴点F、关于对称， ∴， ∴当C、E、三点共线，且时，的值最小，最小值为的值， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】直角三角形的性质、角平分线的性质、轴对称的性质及点到直线的距离垂线段最短，运用轴对称的性质解决线段最短问题是解题的关键． 三、分解因式与解方程（共16分） 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）分式方程无解． 【解析】 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ，解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； 【小问2详解】 解：， ，解得：， 当时，， ∴分式方程无解． 四、解答题（共50分） 21. 如图，在中，是的平分线，在同一条直线上， ，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，根据平行线的性质得出的度数，进而利用角平分线的定义解答即可，关键是根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 证明：因为，所以， 在△ABD和△ACE中 因为 所以． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据证明即可． 【详解】略 23. 若分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 等腰三角形； 理由： ， ∴， ∵为三边， ∴，即， 是以a、b为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． 【详解】解：略． 24. 如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平分，，得到，又由，即可证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交，于点交BE于点Q． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由可得； （2）结合（1），由三角形的内角和和三角形的外角性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 26. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ 【答案】 【解析】 【分析】设3月的售价为元，4月的售价则为元，根据题意列出方程解出即可． 【详解】解：设3月的售价为元，4月的售价则为元， 根据题意得： 解得： 经检验，，是原分式方程的解， ∴3月份这种商品的售价是元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，关键在于理解题意找出等量关系． 27. 如图，在中，，于点D，，E，F分别是直线上的动点，连结． （1）求的长． （2）若点E在边上，且，求证：平分． （3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，∵， ∴，即． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）存在，符合条件的DF的长是 【解析】 【分析】（1）先求出的长，再用面积法求解即可； （2）先证明，再根据证明即可； （3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∵于点D， ∴． ∴，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等． 由题意，以C，E，F为顶点的三角形与全等， 是公共边，有四种情形： ①如图2，若点E，F在线段上． 当时， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图3，若点E，F在射线上． 同①可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ③如图4，若点E在线段上，点F在线段上． 当时， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ④如图5，若点E在射线上，点F在射线上． 当时， ∵， ∴，此时， ∴． 综上所有符合条件的的长是． 【点睛】本题考查了勾股定理，面积法，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $