2.2 认识有理数 学案 2024--2025学年鲁教版六年级数学上册

第二章 有理数及其运算 2.2认识有理数 知识点一 正数和负数的意义 1.正数的概念：像+3，+15，+2.4%，…都是正数，即大于0的数叫做正数。“+”读作“正”，如“+2”读作“正2”。正号“+”通常省略不写，简记为2. 2.负数的概念：像-3，-8，-1.4%，…都是负数，即在正数前面加上“-”的数叫做负数。负数都比0小。“-”读作“负”，如“-9”读作“负9”。负号“-”不能省略。 3.0的特征：0既不是正数又不是负数。-3，-8，-1.4%，…都是负数，即在正数前面加上“-”的数叫做负数。负数都比0小。“-” 注意：用字母表示数时，带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数，带有“-”号的数不一定是负数.如，当时，为0，不是负数. 例1 在+5，-3,7,143，-11,0，-37，，0.8中，正数有 ；负数有 。 知识点二 用正、负数表示具有相反意义的量 “加分与扣分”“零上温度与零下温度”“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。例如，“加3分”记为+3分，“扣4分”就记为-4分。 注意：在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时，应注意：①“正”和“负”是相对而言的；②不要少了后面的单位；③具有相反意义的量必须是同类量，只要求意义相反，不要求数量相等；④并不是所有的“基准”都必须为零，如本例(1)中的标准水位；⑤“零”并不总是表示“没有”，有时也有确定的意义，如本例(1)中的标准水位. 例2 （1）如果某蓄水池的水位比标准水位高3 m，记作+3 m，那么比标准水位低0.9 m，应记作 ；恰好等于标准水位应记作 。 （2）某地区的平均高度高于海平面320 m，记作海拔+320 m，则海拔-260 m表示 . +5，-3,7,143，-11,0，-37，，0.8中，正数有 ；负数有 。 知识点三 有理数的有关概念 1.整数：正整数、零和负整数统称为整数。（整数包括奇数和偶数） 2.分数：正分数和负分数统称为分数。（有限小数和无限循环小数都属于分数） 3.有理数：整数与分数统称为有理数。 例3 在下列各数中，哪些是正数，哪些是负数，哪些是整数，哪些是分数？ 2023，-3.1416，，0,0.5,1，+3.3，-5%，300，-3，， 知识点四 有理数的分类 1.按定义分类： 2.按性质分类： 例4 下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③0既不是正数也不是负数；④0是最小的自然数；⑤0是最小的整数；⑥0既不是奇数，也不是偶数；⑦0是最小的非负数；⑧自然数就是正整数。其中正确的有 . 知识点五 有理数集（拓展） 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集，所有的有理数组成的数集叫做有理数集。类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集等。 例5 把下列各数填入相应的集合里.28，-5.5,2002，，-1,95%，3.14,0，，-0.001，-2,1. （1）负数集合：{ …}；（2）正分数集合：{ …}；（3）正数集合；{ …}； （4）负整数集合：{ …}；（5）非负数集合：{ …}；（6）非正数集合：{ …}。 知识点六 数轴的概念及画法 1.用直线上的点表示有理数：在一条水平直线上取一点（称为原点）表示0,选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。 2.数轴的概念 ：规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。如图2-2-1所示。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可。 3.数轴的画法：数轴的画法可按以下步骤进行:(1)画：先画一条直线（通常画成水平直线）。(2)定：确定正方向（通常选择向右的方向为正方向）,用箭头表示出来；再在直线上任意取一点为原点（通常取图上适中的位置，若所需的都是正数，则也可偏向左边）,用0表示出来。(3)选:选取适当的单位长度（单位长度根据实际情况而定）。(4)标:从原点向左每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次标上-1,-2, -3，…，从原点向右每隔一个单位长度在直线上取一个点，依次标上1, 2,3，…。 注意：（1）原点的确定和单位长度的大小，可根据实际需要选取；（2）同一条数轴上的单位长度必须统一；（3）数轴是一条直线，两端不能画点. 例6 下列选项中，表示数轴正确的是（ ） A. B. C. D. 知识点七 数轴上的点与有理数的关系 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.（还可以表示无理数） 例7 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：-3,-1.5，-0.5,0,1，，4，. 知识点八 在数轴上比较有理数的大小 1.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 2.比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 归纳：因为正数都大于0，也就是大于0的数都是正数，所以可以用表示是正数；反之，若是正数，则。同理，表示是负数；反之，若是负数，则。（表示是非负数） 例8 在数轴上表示下列各数，并用“＜”将这些数连接起来：-3，，1,0，+4.5，-1.5，. 知识点九 绝对值的概念与符号表示 1.绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做这个数的绝对值。从几何意义上看，一个数的绝对值是表示这个数的点与原点间的距离，所以绝对值不可能为负数。 2.绝对值的符号表示：通常用表示数的绝对值。读作“的绝对值”。 例9 求下列各数的绝对值：3，-6，，-1.5,0. 【规律总结】 （1）绝对值具有非负性，即； （2）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，也可表示为。 知识点十 相反数的概念及几何意义 1.相反数的代数定义：像3与-3, 与, 5与-5这样符号不同、绝对值相同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 2.相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。 3.相反数的求法：在一个数前面添上一个“-”号就表示这个数的相反数。一般地，数的相反数是。这里是任意的数，可以是正数、负数或0。 提示：（1）相反数总是成对出现，不能单独存在；（2）相反数等于它本身的数只有一个，是0；（3）如果，互为相反数，那么；反之，也成立。 例10 （1）分别写出与的相反数；（2）化简：；；。 提方法技巧：多重符号的化简：可以依据前面“-”号的个数，其规律为“奇负偶正”，即当“-”号的个数是奇数时，结果为负；当“-”号的个数是偶数时，结果为正。 知识点十一 一个数的绝对值与这个数的关系 （1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 用式子表示： 例11 （1）的绝对值是 ；（2）若，则的取值范围是 。 知识点十二 利用绝对值比较两个负数的大小 1.法则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.比较两个负数的大小的步骤：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；（3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”作出正确的判断。 例12 比较下列每组数的大小：（1）与；（2）与；（3）与。 例13 把下列各数用“＞”连接起来：，，0.7，-0.7，，，，0。 习题追练 题型一 用正数、负数表示具有相反意义的量 例1 文具店、书店和玩具店依次位于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m处，玩具店在书店东边100 m处，小明从书店沿街向东走了40 m，接着又向东走了-60 m，此时小明的位置在（ ） A.文具店 B.玩具店 C.文具店西40 m处 D.玩具店西60 m处 练1 以下表示“-80元”的实际意义（规定收入为正）正确的是（ ） ①收入80元；②收入-80元；③支出80元；④支出-80元. A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 题型二 正、负数的应用 例2 一种零件标明的要求是（单位：mm，表示直径），这种零件的合格的最大直径是多少？最小直径是多少？直径是49.8 mm的产品合格吗？ 练2 某方便面厂生产的100 g袋装方便面外包装上印有“(100±5)g”的字样，请问：“±5”表示什么意思？若某同学购买一袋这样的方便面，称了以下发现只有97 g，厂家有没有欺诈行为？ 题型三 与正、负数有关的规律探索问题 例3 观察下面一列数：-1,2，-3,4，-5,6，-7,8，-9，…。 （1）请写出这一列数中的第100个数和第2024个数； （2）在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ （3）2024和-2024是否都在这一列数中？若在，请指出是第几个数；若不在，请说明理由. 练3 观察下面依次排列的一列数，请你直接写出后面的三个数，并写出第17个数和第2024个数。 （1）-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，…； （2）-1，，-3，，-5，，-7，， ， ， ，…. 题型四 利用正、负数解决图标信息题 例4 一位病人手术后，某一天五次所测体温的变化情况（与前一次的体温比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是38℃）如下表： 时间 6:00 10:00 14:00 18:00 22:00 体温变化/℃ +1.1 +0.4 -1 +0.5 -0.1 实际体温/℃ （1）完成上面的表格； （2）计算这一天该病人的平均体温； （3）与前一天最后一次测量的体温相比，该病人这天的平均体温是上升了还是下降了？ 练4 下表是工作人员记录的某水库连续5天的水位（标准蓄水位为135 m）情况（单位：m）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 水位变化 -5 +3 -1 +3 +2 （1） 这5天中每天的水位各是多少米？ （2） 到第5天，水位是高了，还是低了？高（或低）了多少米？ 题型五 有理数与数轴上的点 例5 在数轴上有一点离原点的距离是5个单位长度，这个点表示的数为 . 例6 在数轴上，点M表示-6，把点M向左移动3个单位长度到点N，再把点N向右移动6的单位长度到点P，那么点P表示什么数？ 练5 在数轴上，与表示数-4的点的距离是2的点表示的数是 . 练6 点A从数轴上表示+5的位置开始移动，第一次沿数轴先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点；第二次从点开始，沿数轴先向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点；第三次从点开始，沿数轴向右移动5的单位长度，再向左移动6个单位长度到达点，…。 （1）数轴上点表示的数是 ； （2）数轴上点表示的数是 ； （3）数轴上点 表示的数是-3. 题型六 利用数轴比较有理数的大小 例7 如图所示，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为-1.5，-3，2，3.5.回答下列问题： （1）将A，B，C，D表示的数按从小到大的顺序用“＜”连接； （2）若将原点改在点C，则各点所对应的数分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接； （3）改变原点的位置后，点A，B，C，D所表示的数的大小排列顺序改变了吗？ 练7 有理数，，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，试用“＜”把它们连接起来. 题型七 相反数的几何意义 例8 已知数轴上有两点M，N，它们分别表示互为相反数的两个数，（其中），并且M，N两点间的距离为10，求，两数. 练8 如图所示，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是 . 题型八 由绝对值求有理数 例9 ，，三个数在数轴上的位置如图所示，，,.求，，的值. 练9 已知，，则的值为 . 题型九 利用绝对值的非负性求值 例10 已知，求，的值. 练10 已知，求的值. 题型十 有理数大小的比较 例11 已知为正数，为负数，且，比较，，，的大小. 练11 有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示，用“＞”“＝”或“＜”填空。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 题型十一 绝对值和相反数的综合 例12 数轴上A点表示的数为-5，B点表示的数的绝对值为7，C点表示的数与A点表示的数互为相反数，则B点与C点之间的距离是 . 练12 数轴上点A表示-3，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数的绝对值是 . 题型十二 实践应用题 例13 足球比赛中，对所用的足球有严格的规定，下表是5个足球的质量检测结果（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）。 号码 1 2 3 4 5 质量/g +10 +12 -8 -11 -20 请你指出哪个足球的质量更好一些，并用所学的知识加以说明。 练13 某天出租车司机小王驾车在南北走向的公路上行驶，从某一地点出发，若规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程记录如下（单位：km）：+2，-6，+4，-7，+12，+8，-9，-10，+5.若出租车每行驶1 km耗油0.08 L，请你计算一下小王驾驶的出租车这天上午共耗油多少升。 综合提升练 1.下列说法正确的是（ ） A.非负数包括0和整数 B.正整数包括自然数和0 C.有理数分为正有理数和负有理数 D.0是自然数，也是有理数 2.-2024的绝对值的相反数是（ ） A. B. C.2024 D.-2024 3.如图所示，数轴上点A，B，C，D分别对应实数，，，，下列各式的值最小的是（ ） A. B. C. D. 4.下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（ ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/℃ -183 -253 -196 -268.9 A.液态氧 B.液态氢 C.液态氮 D.液态氦 5.近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果。如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907 m，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的“极目一号”Ⅲ型浮空艇，最高升空至海拔9050 m，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录。如果把海平面以上9050 m记作“+9050 m”，那么海平面以下10907 m记作 m. 6.若，则的取值范围是 。 7.将一刻度尺按如图所示放在一条数轴上，刻度尺上“0 cm”“6 cm”和“8 cm”分别对应数轴上的-3,0和，那么的值为（ ） A.8 B.5 C.2 D.1 8.把下列各数填入相应集合的括号内：，+0.33，0，3.1415，12，-8，0.1，-5，，-10%。 （1）正有理数集合：{ …}；（2）负分数集合：{ …}； （3）非正整数集合；{ …}；（4）有理数集合：{ …}。 9.在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：3，-(-1)，-1.5,0，，. 10.一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4 km到达小明家，继续向东走了1.5 km到达小红家，然后向西走了8.5 km到达小刚家，最后返回百货大楼。 （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1的单位长度表示1 km，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置。（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示） （2）该货车此次送货共行驶了多少千米？ 11.三个有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数，互为相反数。试求解以下问题： （1）判断，，的正负性；（2）化简。 学科网（北京）股份有限公司 $$