精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学2023-2024学年九年级下学期 入学数学试题

2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）入学数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 B. 调查某款新能源车电池的使用寿命 C. 了解全国中学生的视力情况 D. 对2024年春节联欢晚会满意度的调查 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 把1，2，…，这个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，现将每组两个数中的一个记为x，另一个记为y，代入代数式中进行计算并求出结果，将这n组都代入后，可求得n个值，将这n个值的和记为，下列说法：①当时，有3种不同的结果；②当时，这个代数式的最小值为；③当时，的最小值为．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．） 11. ___________________． 12. 若和是同类项，则________． 13. 现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后不放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为正数的概率为_____________________． 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 _________． 15. 如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分面积为 ___________．（结果保留π） 16. 如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为______________________． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 18. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 20. 如图，在四边形中，直线分别与交于点E，F，与交于点O，，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线交于点N；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 证明：∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． 小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，请依照题意完成下面命题： 两条平行线被第三条直线所截， ． 21. 语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2班中各随机抽取20名学生的练习成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 1班20名学生的练习成绩为： 5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10 2班20名学生的练习成绩条形统计图如图： 1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 1班 7.5 a 7.5 c 2班 7.5 7 b （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？ 22. 为鼓励同学们读名著，学校购进了《朝花夕拾》和《昆虫记》若干． （1）已知某书店1本《朝花夕拾》和2本《昆虫记》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆虫记》需119元，求《朝花夕拾》和《昆虫记》的单价各多少元？ （2）由于量大从优，该书店《朝花夕拾》和《昆虫记》的价格均有所下调，其中每本《昆虫记》的价格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，学校分别花费了7000元、5500元购买《朝花夕拾》和《昆虫记》，一共购买了600本，则学校购进《朝花夕拾》和《昆虫记》各多少本？ 23. 如图，在矩形中，，动点M，N分别以每秒个单位长度的速度和每秒1个单位长度的速度同时从点C出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值． 24. 哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． （1）求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） （2）已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接． （1）如图1，若，当时，求线段的长度；； （2）如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）入学数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念作答即可． 【详解】的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 B. 调查某款新能源车电池的使用寿命 C. 了解全国中学生的视力情况 D. 对2024年春节联欢晚会满意度的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了的普查和抽样调查，解题的关键是掌握普查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的．根据普查使用的情况，逐个进行判断即可． 【详解】解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，对结果精确度要求高，适合用普查，符合题意； B．调查某款新能源车电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合用抽样调查，不符合题意； C．了解全国中学生的视力情况，调查范围太大，适合用抽样调查，不符合题意； D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查，调查范围太大，适合用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， 的周长与的周长比是， 与的相似比是， 的面积与的面积比是， 的面积为， 的面积等于， 故选：B． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的法则运算，再根据逼近法即可得到答案． 【详解】解：原式 ， ∵ ， ， ∴ ∴的值在5和6之间， 故选C． 【点睛】本题考查根式的四则运算及无理数的估算，解题的关键是正确化简根式． 6. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，分解不彻底，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 8. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，利用圆内接四边形性质得到，结合圆周角定理得到，进而推出，最后根据，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质结合正方形的性质易得，为等腰直角三角形，于是设，则 ，，进而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的对应边成比例列出等式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵平分，，， ∴， 由，，得为等腰直角三角形， ∴， 设， 则 ，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质正确表示出、的长是解题关键． 10. 把1，2，…，这个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，现将每组两个数中的一个记为x，另一个记为y，代入代数式中进行计算并求出结果，将这n组都代入后，可求得n个值，将这n个值的和记为，下列说法：①当时，有3种不同的结果；②当时，这个代数式的最小值为；③当时，的最小值为．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现数字间的规律是解答本题的关键． 根据发现的规律逐项代入计算即可判断正误． 【详解】解：①当时，有2种不同的结果，故①错误； ②当时，这个代数式的最小值为，故②正确； ③当时，的最小值为．故③不正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．） 11. ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，解题关键是掌握负整指数幂运算法则和熟记特殊角三角函数． 先运用负整指数幂运算法则计算，并把特殊三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 若和是同类项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此可得，则，再代值计算即可． 【详解】解；∵和是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后不放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为正数的概率为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用树状图或列表法求概率，画出树状图，找出所有等可能的结果，用前后两次抽取的数字之积为正数的结果数除以总的结果数即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中前后两次抽取的数字之积为正数的结果有共2种， ∴前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由一次函数解析式可得点B坐标，根据，可得点D坐标，继而可得点C的坐标，即可求出k值． 【详解】解：在函数中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分面积为 ___________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答． 【详解】过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线的判定与性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，则，根据勾股定理求出，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ∴H是的中点， ，， ， ∴， ∴， ∴F是的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，熟练掌握解不等式组是解题的关键．根据题意解出的取值范围，再利用分式方程有非负整数解求出的取值范围，将两者结合即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解集为， ， 解得， 由于分式方程有非负整数解， 且， ， 且， 且， 取整数且使方程有非负整数解， 取， 故满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 18. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据“平衡数”的定义，列式得到可求出a、b的值；再根据“平衡数”定义， 确定和的值，再由为整数分情况讨论求值即可． 本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 【详解】解： ． 则 ∵a、b为自然数， 则 ， ， ∴， x、y不可以是1和5， m和n不可以是2和3， 为整数， 当时，最大是17， (舍去)， m，n无解， 当时，最大值是17， (舍去)， (舍去)， ∴k的最大值是 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，分式的化简，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （2）运用分式混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，在四边形中，直线分别与交于点E，F，与交于点O，，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线交于点N；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 证明：∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． 小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，请依照题意完成下面命题： 两条平行线被第三条直线所截， ． 【答案】（1）见解析 （2）；；；所得的一组内错角的角平分线相互平行 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－角平分线，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）按照尺规作图的方法作出的角平分线即可； （2）证明，推出，再证明，得到，再根据角平分线的定义求得，利用“内错角相等，两直线平行”证明即可． 【小问1详解】 解：射线如图所作， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线相互平行． 故答案为：；；；所得的一组内错角的角平分线相互平行． 21. 语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2班中各随机抽取20名学生的练习成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 1班20名学生的练习成绩为： 5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10 2班20名学生的练习成绩条形统计图如图： 1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 1班 7.5 a 7.5 c 2班 7.5 7 b （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】（1）8，7，； （2） 解：1班学生掌握知识较好，理由如下： 因为1班和2班平均分相等，但是1班的众数，中位数和8分及以上人数所占百分比都比2班的高； （3）99人 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图获取信息，求众数，求中位数，用样本估计总体，正确理解相关概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出、，再求出1班成绩中，8分及以上人数占比即可求出； （2）从平均数，中位数，众数和8分及以上的人数占比的角度进行求解即可； （3）根据样本估计总体的方法，用总人数乘以样本中合格的人数所占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：1班20名学生的成绩出现次数最多的是8分，因此众数是， 将2班20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数，即中位数， 1班8分及以上人数所占百分比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参加此次练习成绩合格的学生人数是99人． 22. 为鼓励同学们读名著，学校购进了《朝花夕拾》和《昆虫记》若干． （1）已知某书店1本《朝花夕拾》和2本《昆虫记》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆虫记》需119元，求《朝花夕拾》和《昆虫记》的单价各多少元？ （2）由于量大从优，该书店《朝花夕拾》和《昆虫记》的价格均有所下调，其中每本《昆虫记》的价格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，学校分别花费了7000元、5500元购买《朝花夕拾》和《昆虫记》，一共购买了600本，则学校购进《朝花夕拾》和《昆虫记》各多少本？ 【答案】（1）《朝花夕拾》的单价为22元，《昆虫记》的单价为25元； （2）学校购进《朝花夕拾》350本，购进《昆虫记》250本 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设《朝花夕拾》的单价为元，《昆虫记》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）设学校购进《朝花夕拾》本，则学校购进《昆虫记》本，每本《朝花夕拾》价格为元，则每本《昆虫记》价格为元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设《朝花夕拾》的单价为元，《昆虫记》的单价为元， 根据题意，得， 解得， ∴《朝花夕拾》的单价为22元，《昆虫记》的单价为25元； 【小问2详解】 解：设学校购进《朝花夕拾》本，则学校购进《昆虫记》本， 根据题意，每本《朝花夕拾》价格为元，则每本《昆虫记》价格为元， 则， 解得，经检验，是该分式方程的解， ∴， ∴学校购进《朝花夕拾》350本，购进《昆虫记》250本． 23. 如图，在矩形中，，动点M，N分别以每秒个单位长度的速度和每秒1个单位长度的速度同时从点C出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值． 【答案】（1） （2）图见解析；当时，y随x的增大而增大 （3）点M，N相距4个单位长度时x的值分别为3和7.5 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象，正确地求得函数解析式是解题的关键． （1）当点在上，点在上时，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，当点，点在上时，，得到，于是得到结论； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）把代入得，把代入得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：当点在上，点在上时， 在矩形中，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 当点，点在上时，， 即， 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图所示； 当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：把代入得，把代入得， 故点，相距4个单位长度时的值分别为3和7.5． 24. 哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，两家到达入口R处后分两条线路进行游玩，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向米处，项目A在入口R的北偏西方向，在项目B的南偏西方向，项目D在入口R的东北方米处，项目C在项目D的北偏西方向，在项目B的正东方向． （1）求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号） （2）已知小西家沿线路①进行游玩，小附家沿线路②进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：，，） 【答案】（1）项目C和项目D之间的距离为米； （2）线路②更短 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过D作于E，求出米，过C作于F，则四边形是矩形，得到米，则米，即可得到米； （2）求出线路②（米）,得到米，米，得到线路①（米），比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：过D作于E， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， 过C作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 答：项目C和项目D之间的距离为米； 【小问2详解】 由（1）知， 米， ∴线路② （米）， ∵， ∴， ∴米，米， ∴线路①（米）， ∵， ∴线路②更短． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）最大值为，点； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当与的一个内角相等时，即或；当时，在中，，，，用解直角三角形的方法求出点的坐标，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解；当时，求出直线的表达式为：，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、， 由点、、的坐标得，直线的表达式为：，直线的表达式为：， 连接，设点， ∵，则， 则直线的表达式为：， 联立直线和直线的表达式得：， 解得：， 则点， 则， 故面积的最大值为，此时，则点； 【小问3详解】 解：该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当与的一个内角相等时，即或； 当时，如下图： 当点在轴左侧时， 设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 则设，则， 则，则， 则， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为； 当点在轴右侧时， 则直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点的坐标为； 当时，如下图： 则直线的表达式为：， 将上式和新抛物线的表达式联立得：， 解得： 即点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积．解直角三角形，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论． 26. 已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接． （1）如图1，若，当时，求线段的长度；； （2）如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），见解析； （3） 【解析】 【分析】（1），截取，连接，，可证明，从而得出，，，进而得出结果； （2）延长至，使，连接，，在上截取，连接，可得出，是等边三角形，从而点、、、共圆，，，可证得，从而，进一步得出结论； （3）以为边在下方作等边三角形，作的外接圆，则点在上，连接，，，取的中点，连接，作，交的延长线于，不妨设，则，可得出，，进而得出，进而得出，，，，的值，在上截取，连接，可证得，从而得出，从而，从而，当、、共线时，最小，即最小，作于，作于，设，则，由得，从而，从而得出，，由得出，进而得出，的长，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，作，截取，连接，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2， 延长至，使，连接，，在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，是等边三角形， 点、、、共圆，，， ，，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ； 【小问3详解】 解：如图3， ， 以为边在下方作等边三角形，作的外接圆， 则点在上，连接，，，取的中点，连接，作，交的延长线于， ， 不妨设，则， 是的中点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，最小，即最小， 如图4， ，，，， 作于，作于， 设，则， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $