2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练 第11讲 第11章三角形复习小结

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第11讲 第11章三角形复习小结 老师告诉你 本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形主要学习了三角形有关的线段和三角形的内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和外角和，一般考查的题型包括三角形的计数、三角形的三边关系、三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及三角形外角的性质，多边形的内角和与外角和，本章热门考点概括为两个概念、三种线段、三个关系、两种计算、两个技巧和三种思想。 考点1两个概念 概念1与三角形有关的概念 例1-1图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 针对训练1 1．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　个三角形；图③有　5　个三角形；图④有　 　个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 2．已知△ABC的周长为45cm， （1）若AB＝AC＝2BC，求BC的长； （2）若AB：BC：AC＝2：3：4，求△ABC三条边的长． 概念2与多边形有关的概念 例1-2．下列是正多边形的是（　　） A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形 针对训练2 1．下列图形中，是正八边形的是（　　） A． B． C． D． 2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 3．下列多边形中，对角线是5条的多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 考点2三种线段 线段1三角形的高 例2-1．如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 针对训练3 1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为 　 　． 2．如图，在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，则AB与BC的比值是 　　． 3．如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝75°，∠C＝35°，则∠DAE＝　 　． 4．在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的角平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC＝52°，∠CAD＝28°，则∠FEC的度数为 　度． 线段2三角形的中线 例2-2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　 　． 针对训练4 1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 2．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝　 　，AB＝　 　． 4．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 线段3三角形的角平分线 例2-3．如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝75°，∠C＝35°，则∠DAE＝　 　． 针对训练5 1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 ． 2．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　 3．如图，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CAD，∠D＝35°，则∠BAD＝　 　度． 考点3三个关系 关系1三角形三边的关系 例3-1．△ABC的三边长为a、b、c，若a＝4，b＝2，c是偶数，则该三角形的周长等于 　 　． 针对训练6 1．若a、b、c分别为△ABC的三边的长，则|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝　 　． 2．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　． 关系2三角形内角、外角的关系 例3-2．△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF所在的直线交于点O，∠BOC的度数是　 针对训练7 1．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 　 　． 2．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　 　． 7．如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝30°，∠D＝38°，则∠M＝　 　度． 关系3多边形内、外角的关系 例3-3．如图，是一张撕掉一个角的四边形纸片，根据图中所标示的数据，可得被撕掉的∠A大小为 　 　． 针对训练8 1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 2．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　 °　． 考点4两种计算 计算1三角形中边的计算 例4-1．△ABC的三边a，b，c满足（3﹣a）2+|7﹣b|＝0，且c为偶数，则c＝　 　． 针对训练9 1．已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足|b﹣3|+（c﹣5）2＝0，a为方程|a﹣3|＝1的解，则△ABC的周长为 　． 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　 　． 点的连线叫做三角形的中线． 3．在△ABC中，BC＝8，AB＝1． （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长． 计算2多边形中边的计算 例4-1．一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 针对训练10 1．若一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的，则这个正多边形的边数为（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 2．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为 　 　． 考点5两个技巧 技巧1巧用面积法解决问题 例5-1．不等边三角形的两条边上的高分别为4和12，若第三条边上的高的长也是整数，则这条高的值为 　 　． 技巧2巧用整体法解决问题 例5-2 .在△ABC中，AD是中线，且AB＝10cm，AC＝4cm，则△ABD与△ACD的周长之差为　 　cm． 针对训练11 1．如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝5，AD，BE分别为BC，AC边上的中线，若△ABD与△ACD的周长相差4，则△ABE与△BCE周长的差为　 ． 考点6三种思想 思想1转化思想 例6-1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　 　． 针对训练12 1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 2．如图，小明从六边形草地ABCDEF的边AB上一点S出发，步行一周回到原点．在步行过程中，小明转过的角度的和等于 　 °　． 3.如图所示的几何图形，的度数为（  ）    A． B． C． D． 思想2分类讨论思想 例6-2 .等腰三角形的周长为20cm,一边为8cm,则腰长为（　　） A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm 针对训练13 1.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,则底边长为_____cm. 2.在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°． 思想3方程思想 例6-3 .在等腰三角形ABC中，，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，这个等腰三角形的三边长为__________ 针对训练14 1.如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第11讲 第11章三角形复习小结（解析版） 老师告诉你 本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形主要学习了三角形有关的线段和三角形的内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和外角和，一般考查的题型包括三角形的计数、三角形的三边关系、三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及三角形外角的性质，多边形的内角和与外角和，本章热门考点概括为两个概念、三种线段、三个关系、两种计算、两个技巧和三种思想。 考点1两个概念 概念1与三角形有关的概念 例1-1图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【考点】三角形．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【解答】解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义． 针对训练1 1．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　5　个三角形；图④有　7　个三角形；…猜测第七个图形中共有　13　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　（2n﹣1）　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【考点】三角形．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数． 【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 2．已知△ABC的周长为45cm， （1）若AB＝AC＝2BC，求BC的长； （2）若AB：BC：AC＝2：3：4，求△ABC三条边的长． 【考点】三角形．版权所有 【答案】（1）BC的长是9cm． （2）AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm． 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于BC的方程并解答即可求得答案； （2）设AB＝2x，则BC＝3x，AC＝4x，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【解答】解：（1）由题意，得AB+AC+BC＝2BC+2BC+BC＝45cm， 解得BC＝9cm． 即BC的长是9cm． （2）设AB＝2x cm，则BC＝3x cm，AC＝4x cm， 由题意，得2x+3x+4x＝45， 解得x＝5． 故2x＝10，3x＝15，4x＝20． 所以AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm． 【点评】本题主要考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 概念2与多边形有关的概念 例1-2．下列是正多边形的是（　　） A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形 【考点】多边形．版权所有 【答案】D 【分析】正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形．要满足两个条件：角都相等，边都相等． 【解答】解：根据正多边形的概念，各条边都相等，各个角都相等的多边形是正多边形，所以选项D是正确的． 选项B只满足了四个角都是直角的四边形，而四条边不一定相等，有可能是矩形，不满足条件． 选项A和C只满足了各条边相等．而角不一定，所以不正确． 故答案选：D． 【点评】本题考查正多边形的概念．解题的关键是概念中的两个条件都需要满足． 针对训练2 1．下列图形中，是正八边形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】多边形．版权所有 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义判断即可． 【解答】解：由正八边形的定义可知，C选项中的图形是正八边形， 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形的定义，掌握正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形是解题的关键． 2．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【考点】多边形．版权所有 【答案】C 【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点评】多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数＝多边形的边数﹣1． 3．下列多边形中，对角线是5条的多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【考点】多边形．版权所有 【答案】B 【分析】根据n边形的对角线有条，把5代入即可得到结论． 【解答】解：由题意得，＝5， 解得：n＝5，（负值舍去）， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形，掌握n边形的对角线有条是解题的关键． 考点2三种线段 线段1三角形的高 例2-1．如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】D 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 针对训练3 1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为 　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】． 【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG＝EF＝3，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 【解答】解：过F作FG⊥BC于G， ∵BF平分∠ABC，FG⊥BC，EF⊥AB， ∴FG＝EF＝3， ∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴FD为△BFC的BC边上在中线，又BC＝9， ∴S△CDF＝S△CBF＝××BC×FG＝×9×3＝， 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，掌握三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 2．如图，在△ABC中，高AD＝2，CE＝4，则AB与BC的比值是 　　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】． 【分析】利用三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：S△ABC＝AB•CE＝BC•AD， ∴4AB＝2BC， ∴＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 3．如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝75°，∠C＝35°，则∠DAE＝　 　． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】20°． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，由直角三角形的性质求出∠BAD的度数，根据∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，∠B＝75°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣35°＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣15°＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 4．在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的角平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC＝52°，∠CAD＝28°，则∠FEC的度数为 　92或144　度． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】92或144． 【分析】分两种情况讨论，第一种情况：∠ACB为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE＝25°，∠BAD＝40°，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，∠ACB为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE＝25°，∠BAE＝20°，再由三角形内角和定理求出∠AEB＝135°，即可求解． 【解答】解：第一种情况：∠ACB为锐角，如图示： ∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝52°， ∴∠ABE＝＝26°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣52°＝38°， ∴∠BAE＝38°+28°＝66°， ∵∠FEC＝∠ABF+∠BAE， ∴∠FEC＝66°+26°＝92°； 第二种情况，∠ACB为钝角，如图示： ∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝50°， ∴∠ABE＝＝26°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣52°＝38°， ∴∠BAE＝38°﹣18°＝10°， ∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣26°﹣10°＝144°， ∴∠FEC＝144°， 故答案为：92或144． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 线段2三角形的中线 例2-2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】19． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+CD+AD＝18， ∵AC＝7， ∴CD+AD＝18﹣7＝11， ∴BD+AD＝11， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝8+11＝19， 故答案为：19． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 针对训练4 1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】8． 【分析】由题意易得AC﹣AB＝3，AC+AB＝13，然后问题可求解． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵C△ADC＝AD+CD+AC，C△ABD＝AD+BD+AB， ∴C△ADC﹣C△ABD＝AD+CD+AC﹣AD﹣BD﹣AB＝AC﹣AB＝3，① ∴AC+AB＝13，② ∴①+②得：2AC＝16， ∴AC＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 2．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝　 　，AB＝　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD， 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， 分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40， 则4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48，AB＝28； ②AC+CD＝40，AB+BD＝60， 则4x+x＝40，x+y＝60， 解得：x＝8，y＝52， 即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16， 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC＝48，AB＝28． 故答案为：48；28． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论． 4．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 线段3三角形的角平分线 例2-3．如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝75°，∠C＝35°，则∠DAE＝　 　． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】20°． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，由直角三角形的性质求出∠BAD的度数，根据∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，∠B＝75°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣35°＝70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣15°＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 针对训练5 1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】α+2β＝180°． 【分析】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ，则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ，∠ABC＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°，即θ+φ＝90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ＝180°，据此可得α与β之间的数量关系． 【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， ∴设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ， 则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝180°﹣2φ， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°， 整理得：θ+φ＝90°+α， 在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°， ∴β+θ+φ＝180°， ∴β+90°+α＝180°， 整理得：α+2β＝180°． ∴α与β之间的数量关系为α+2β＝180°． 故答案为：α+2β＝180°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 3．如图，BD平分∠ABC，若∠C＝∠CAD，∠D＝35°，则∠BAD＝　 　度． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】110． 【分析】根据∠C＝∠CAD，∠D＝35°，得出BC∥AD，∠ABC＝70°，再根据平行线的性质，即可求得∠BAD的度数． 【解答】解：∵∠C＝∠CAD， ∴BC∥AD， ∵∠D＝35°， ∴∠CBD＝∠D＝35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBD＝70°， ∵BC∥AD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝110°， 故答案为：110． 【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 考点3三个关系 关系1三角形三边的关系 例3-1．△ABC的三边长为a、b、c，若a＝4，b＝2，c是偶数，则该三角形的周长等于 　 　． 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】10． 【分析】利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC 的三边，a＝4，b＝2， ∴2＜c＜6， ∵c是偶数， ∴c＝4， ∴该三角形的周长等于4+2+4＝10． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 针对训练6 1．若a、b、c分别为△ABC的三边的长，则|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝　 　． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【答案】2c． 【分析】利用三角形的三边关系去绝对值，然后合并同类项． 【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边的长， ∴a+c＞b，a＜b+c， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c． 故答案为：2c． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　． 【考点】三角形三边关系；数轴．版权所有 【答案】＜x＜． 【分析】依据题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6，则AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x，结合能组成三角形，则，从而，计算可以得解，再由D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解，从而可以得解． 【解答】解：由题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6， ∴AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x． 若能组成三角形， ∴． ∴． ∴＜x＜． 当D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解． 综上所述，＜x＜． 故答案为：＜x＜． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系、数轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 关系2三角形内角、外角的关系 例3-2．△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF所在的直线交于点O，∠BOC的度数是　 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】本题中因为“高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、C重合”排除了三角形是直角三角形的可能，所以要分两种情况讨论． 【解答】解：本题要分两种情况讨论如图： ①当交点在三角形内部时（如图1）， 在四边形AFOE中，∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝50°， 根据四边形内角和等于360°得， ∠EOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， 故∠BOC＝130°； ②当交点在三角形外部时（如图2）， 在△AFC中，∠A＝50°，∠AFC＝90°， 故∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∵∠1＝∠2， ∴在△CEO中，∠2＝40°，∠CEO＝90°， ∴∠EOF＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 即∠BOC＝50°， 综上所述：∠BOC的度数是130°或50°． 故答案为：130°或50°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 针对训练7 1．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 　 　． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】50°． 【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得：∠A+∠1＝∠P+∠3，根据∠ACD﹣∠ABD＝64°，可推出∠3﹣∠1＝32°，又因为∠P＝18°，即可求出∠A． 【解答】解：如图， ∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3， ∵∠ACD﹣∠ABD＝64°， 即∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝64°， ∴∠3﹣∠1＝32°， ∵∠P＝18°， ∴∠A＝∠P+∠3﹣∠1＝18°+32°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，若∠A＝50°，则∠P＝　 　． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】115°． 【分析】由角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴，， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD ＝ ＝ ＝ ＝115°． 故答案为：115°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，关键是三角形内角和定理的应用． 7．如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝30°，∠D＝38°，则∠M＝　 　度． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠D、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM＝∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM， 所以，∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B， 同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M， ∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD， ∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M， ∴∠M＝（∠B+∠D）， ∵∠B＝30°，∠D＝38°， ∴∠M＝（30°+38°）＝34°． 故答案为：34． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 关系3多边形内、外角的关系 例3-3．如图，是一张撕掉一个角的四边形纸片，根据图中所标示的数据，可得被撕掉的∠A大小为 　 　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】100°． 【分析】先根据邻补角互补求出∠ABC的度数，再根据四边形内角和定理即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠EBC+∠ABC＝180°，∠EBC＝62°， ∴∠ABC＝180°﹣62°＝118°， ∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠A＝360°﹣118°﹣80°﹣62°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握四边形内角和的度数为360°是解题的关键． 针对训练8 1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360°　． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】360° 【分析】首先利用三角形的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠BGH＝∠A+∠B，∠FHG＝∠C+∠D，∠GIF＝∠E+∠F， 又∵∠BGH+∠FHG+∠GIF＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故答案为：360°． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解有关定理是关键． 2．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为　40°　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【解答】解： ∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 考点4两种计算 计算1三角形中边的计算 例4-1．△ABC的三边a，b，c满足（3﹣a）2+|7﹣b|＝0，且c为偶数，则c＝　6或8　． 【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形的三边关系及c为偶数求出c的值即可． 【解答】解：∵△ABC的三边a，b，c满足（3﹣a）2+|7﹣b|＝0， ∴a＝3，b＝7，根据三角形的三边关系定理即任意两边之和＞第三边得到4＜c＜10， ∵c为偶数，∴c＝6或8． 【点评】本题考查三角形的三边关系定理以及推论，即任意两边之和＞第三边，两边之差＜第三边． 针对训练9 1．已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足|b﹣3|+（c﹣5）2＝0，a为方程|a﹣3|＝1的解，则△ABC的周长为 　． 【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】12． 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b＝3、c＝5，再解绝对值方程可得a＝2或a＝4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长． 【解答】解：∵|b﹣3|+（c﹣5）2＝0， ∴b﹣3＝0且c﹣5＝0， ∴b＝3、c＝5． ∵a为方程|a﹣3|＝1的解， ∴a＝2或a＝4， 又2+3＝5，不能构成三角形， ∴a＝4， 则△ABC的周长为5+3+4＝12， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7，若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为 　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】19． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+CD+AD＝18， ∵AC＝7， ∴CD+AD＝18﹣7＝11， ∴BD+AD＝11， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝8+11＝19， 故答案为：19． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 3．在△ABC中，BC＝8，AB＝1． （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长． 【考点】三角形三边关系；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB， ∴7＜AC＜9， ∵AC是整数， ∴AC＝8； （2）∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD，AB+AD+BD＝17， ∵AB＝1， ∴AD+BD＝16， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+BD＝8+16＝24． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 计算2多边形中边的计算 例4-1．一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】C 【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解． 【解答】解：依题意有： （n﹣2）•180°＝720°， 解得n＝6． 故答案为：C． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 针对训练10 1．若一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的，则这个正多边形的边数为（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】设多边形的边数为n，则根据“一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的”可知多边形各外角相等，然后根据多边形外角和为360°进行解答即可 【解答】解：三角形内角和＝180°， ∵一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的， ∴多边形各外角都为30°， 设多边形的边数为n， ∴30n＝360， 解得：n＝12． 故多边形的边数为12， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角和外角及三角形内角和定理，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和外角的概念以及多边形外角和等于360°． 2．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为 　 　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】8． 【分析】先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为n，列出关于n的方程式即可得出答案． 【解答】解：∵多边形的内角和比外角和多720°， ∴多边形的内角和为360°+720°＝1080°， 设多边形的边数为n， 则180°×（n﹣2）＝1080°， 解得：n＝8． 故答案为8． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角与外角和公式是解题的关键． 考点5两个技巧 技巧1巧用面积法解决问题 例5-1．不等边三角形的两条边上的高分别为4和12，若第三条边上的高的长也是整数，则这条高的值为 　 　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】5． 【分析】先设长为4和12的高分别为a、b边上的高，边c上的高设为h，三角形ABC的面积设为S，根据三角形面积公式可有a＝，b＝，c＝，再结合三角形三边关系建立不等式，解出即可． 【解答】解：设长为4和12的高分别为a、b边上的高，边c上的高设为h，三角形ABC的面积设为S， 则a＝，b＝，c＝， 由三角形三边关系可得a﹣b＜c＜a+b， 即﹣＜＜+， 化简后得：3＜h＜6，又h为整数， 则h＝4或5， 当h＝4时，c＝＝＝a，这与三角形ABC不等边矛盾， 故h＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，解不等式，求出整数值后，特别注意要检验解是否符合要求． 技巧2巧用整体法解决问题 例5-2 .在△ABC中，AD是中线，且AB＝10cm，AC＝4cm，则△ABD与△ACD的周长之差为　 　cm． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝DC＝BC， ∴△ABD和△ADC的周长的差 ＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD） ＝AB﹣AC ＝10﹣4 ＝6． 则△ABD与△ACD的周长之差是6cm． 【点评】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法． 针对训练11 1．如图，在△ABC中，AC＝7，BC＝5，AD，BE分别为BC，AC边上的中线，若△ABD与△ACD的周长相差4，则△ABE与△BCE周长的差为　6　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】6． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，AE＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD，BE分别为BC，AC边上的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE， ∵△ABD与△ACD的周长相差4， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝4， ∴AB﹣AC＝4， ∵AC＝7， ∴AB＝11， ∴△ABE与△BCE周长的差为：（AB+BE+AE）﹣（BC+BE+CE）＝AB﹣BC＝11﹣5＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查的是三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、BC的长度的差是解题的关键． 考点6三种思想 思想1转化思想 例6-1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　 　． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解． 【解答】解：如图， ∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 故答案为：180°． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 针对训练12 1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】360° 【分析】首先利用三角形的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠BGH＝∠A+∠B，∠FHG＝∠C+∠D，∠GIF＝∠E+∠F， 又∵∠BGH+∠FHG+∠GIF＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故答案为：360°． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解有关定理是关键． 2．如图，小明从六边形草地ABCDEF的边AB上一点S出发，步行一周回到原点．在步行过程中，小明转过的角度的和等于 　 °　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据六边形的外角和是360°解答即可． 【解答】解：小明转过的角度恰为该六边形的外角和为360°． 故答案为：360° 【点评】本题考查了多边形的外角和，关键是根据六边形的外角和是360°解答． 3.如图所示的几何图形，的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，根据三角形的内角和等于，可得，再根据，即可求解． 【规范解答】解；如图，连接，则， ∵， ∴ ， 故选：D．    【考点评析】本题考查三角形内角和定理、对顶角相等，整体思想的利用是解题的关键． 思想2分类讨论思想 例6-2 .等腰三角形的周长为20cm,一边为8cm,则腰长为（　　） A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm 【答案】D 【解析】分8cm是等腰三角形的腰长与底边长两种情况进行讨论． 解：∵等腰三角形的周长为20cm, ∴当8cm是腰长时，底边=20-8-8=4cm； ∴当8cm是底边长时，腰长==6cm, ∴腰长为8cm或6cm, 故选：D． 针对训练13 1.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,则底边长为_____cm. 【答案】6或8 【解析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解． 解：①6cm是底边时，腰长=（20-6）=7cm, 此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm, 能组成三角形， ②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm, 此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm, 能组成三角形， 综上所述，底边长为6或8cm. 故答案为：6或8． 2.在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°． 【答案】54或126 【解析】首先在直角△ACD中，分两种情况利用三角形内角和定理和邻补角的定义求得∠BCA的度数． 解：当△ABC时锐角三角形时，如图1． 在直角△ACD中，∠ACB=90°-∠DAC=90°-36°=54°； 当△ABC是钝角三角形时，如图2． ∠ACD=90°-∠DAC=90°-36°=54°， 则∠ACB=180°-∠ACD=180°-54°=126°． 则∠ACB的度数是54°或126°． 故答案为：54或126． 思想3方程思想 例6-3 .在等腰三角形ABC中，，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，这个等腰三角形的三边长为__________ 答案：10cm，10cm，1cm 解析：设，，则， AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分， 有两种情况： （1）当，且， 解得：，， 三边长分别为10cm，10cm，1cm； （2）当且时， 解得：，，此时腰长为4， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在. 腰长只能是10cm. 故答案为：10cm，10cm，1cm. 针对训练14 1.如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数． 【解析】（1）利用外角性质及∠EAD=∠EDA，可得∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，又由角平分线的定义可得：∠EAC=∠B=54°． （2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠BAD=2x,则∠EDA=∠EAD=∠CAD+∠EAC=2x+54°，在三角形EDA中再由三角形内角和为180°建立方程求解x即可求解此题． 解：（1）∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD． ∴∠EAC=∠B． ∵∠B=54°， ∴∠EAC=54°． （2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠DAB=2x, ∵∠B=54°， ∴∠EDA=∠EAD=2x+54°． ∵∠EDA+∠EAD+∠E=180°， ∴2x+54°+2x+54°+5x=180°． 解得x=8°． ∴∠E=5x=40°． 学科网（北京）股份有限公司 $$