第十一章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十一章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】正多边形的内角和是， 多边形的边数为 多边形的外角和都是， 多边形的每个外角 故选． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中． 2．（本题3分）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4． 三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 3．（本题3分）下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（    ） A．36° B．42° C．45° D．48° 【答案】D 【详解】解∶如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，180°﹣120°=60°， ∵正五边形的每一个内角=（5﹣2）•180°÷5=108°， ∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°=48°． 故选D． 4．（本题3分）下列说法正确的是(   ) A．三角形的三条高至少有一条在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线其实就是角的平分线 D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部 【答案】A 【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确； B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误； C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误； D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键． 5．（本题3分）已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（    ）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【答案】A 【分析】设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，根据三角形内角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判断． 【详解】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5， ∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°， ∴3x＋4x＋5x＝180， 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°，60°，75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及一元一次方程的应用，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 6．（本题3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7．（本题3分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果为（　　） A．2a+2b B．2a+2b﹣2c C．2b﹣2c D．2a 【答案】D 【分析】先根据三角形三条边的关系判断a+b-c和b-a-c的正负，然后根据绝对值的定义化简即可. 【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣(b﹣a﹣c) ＝a+b﹣c+c+a﹣b＝2a． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及绝对值的定义，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 8．（本题3分）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角α(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 (    ) A．7 2° B．108°或14 4° C．144° D．7 2°或144° 【答案】D 【分析】因为赛车五次操作后回到出发点，五次操作一种是“正五边形“二种是“五角星“形，根据α最大值小于180°，经过五次操作，绝对不可能三圈或三圈以上．一圈360°或两圈720度．分别用360°和720°除以5，就可以得到答案． 【详解】解：360÷5=72°， 720÷5=144°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的特点．正多边形的每个外角都相等． 9．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选择C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得． 10．（本题3分）如图，在锐角中，，BD，BE分别是的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论： ①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，一一判定即可． 【详解】， ， ， ， ， ，故①正确； ∵BE平分， ，， ， ，故②正确； ， ， ， ， 由①得， ， ， ，故③正确； 为锐角， ， 又， ， ， ，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是准确识图，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）在中，，，则这个三角形是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和求出∠C即可判断． 【详解】在中，，， ∴ ∴这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】此题主要考查三角形的分类，解题的关键是熟知三角形的内角和． 12．（本题3分）一个多边形的内角和是外角和2倍，则这个多边形是 ． 【答案】六边形 【分析】本题考查了多边形的内角和定理和外角和．能够根据多边形的内角和定理和外角和的特征，把求边数的问题就可以转化为解方程的问题是解题的关键．多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：，即这个多边形为六边形． 故答案为：六边形． 13．（本题3分）如图，直线，的顶点C，B分别在直线m，n上，且，若，则 ． 【答案】130 【分析】运用平行线的性质求出，再通过互余求出，互补求出． 【详解】解：如图，设直线交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及互余互补的知识点，掌握平行线的性质并熟练运用是解题关键． 14．（本题3分）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 （填“合格”不合格”）． 【答案】不合格 【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定． 【详解】解：如图，连接AC并延长， 由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D， ∴∠BCD＝∠3+∠4＝∠1+∠B+∠2+∠D ＝∠BAD+∠B+∠D ＝90°+25°+25° ＝140°， ∵140°≠150°， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 15．（本题3分）如图，， ． 【答案】 【分析】过点B作于E，设AD为x，则AC为3x，用面积公式表示出和，根据，即可求解． 【详解】过点B作于E， ， 设AD为x，则AC为3x， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，熟练掌握面积公式是解题关键． 16．（本题3分）如图， ．    【答案】/540度 【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得，，，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案． 【详解】解： 如图所示，    ∵， ， ， ∴①+②+③得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，是的角平分线，在上取点D，使．若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明，可得到，再根据三角形的内角和求出，最后用角平分线求出即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键． 18．（本题4分）如图，在中，，，分别是，上的点，连接，，，求的度数． 【答案】 【分析】三角形外角的性质得出，，然后利用等量代换求解即可． 【详解】解：是的外角， ． ， ． 是的外角， ， ，即． 又， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合图形建立各角之间的联系是解题关键． 19．（本题6分）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=55°，求∠ACB的度数． 【答案】 【分析】由∠GBP=55°，∠BGP=90°，得到∠BPG=35°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，由∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP，于是得到结论． 【详解】解：∵∠GBP=55°，∠BGP=90°， ∴∠BPG=35°， ∵BP平分∠CBE， ∴∠EBP=∠CBP， ∵∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°， ∵AP平分∠BAC， ∵∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP =2(∠BAP+35°-∠BAP) =70°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 20．（本题6分）在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长． 【答案】12 【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成10和18两部分，可得|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵AB=AC，BD是AC边上的中线， 即AD=CD， ∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28， 若AB＞BC，则AB-BC=8， 又∵2AB+BC=28， 联立方程组： ， 解得：AB=12，BC=4， 12、12、4三边能够组成三角形； 若AB＜BC，则BC-AB=8， 又2AB+BC=28， 联立方程组： ， 解得：AB=，BC=， 、、三边不能够组成三角形； ∴腰长AB为12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 21．（本题8分）如图，在中，点D在上，点E 在上，交于F. 已知交于G, 交于H，. （1）求的度数. （2）若，，求的度数. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据垂直的定义可得，然后求出，再根据两直线平行线，同位角相等可得； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 22．（本题10分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析. 【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得； （2）先根据直角三角形的两锐角互余可得，再由题（1）的结论和推出，联立化简求解即可得. 【详解】（1）∵在中， 在中， ，即 ； （2），理由如下： 由题（1）知， . 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差，熟记三角形的内角和定理、直角三角形的性质是解题关键. 23．（本题10分）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)若，直接写出，的度数； (2)当变化时，的值是否变化?请说明理由． 【答案】(1)， (2)的值不变．理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出的度数； （2）根据（1）中与的式子即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 在中， ； 、分别是与的外角平分线， ，， ， ． （2）的值不变．理由如下： ，分别平分，， ，． ． 同理． ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 24．（本题12分）（1）如图，中，点D、E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图，若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数； （4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和的性质求角度即可； （2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （3）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （4）的角平分线与角平分线上的点作的垂线的夹角中的锐角为15°． 【详解】解：（1）， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作于H，如图， 由（1）得， ∵． ∴， ∴； （3）作于H，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴； （4）结合上述三个问题的解决过程，得到的角平分线与角平分线上的点作的垂线的夹角中的锐角为15°． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的判定和性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题． 25．（本题12分）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中： （1）如图2，当________时，；当______时，； （2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时； ①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数； ③若使得，求的度数范围． 【答案】（1）15°，105°；（2）①不变，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90° 【分析】（1）当时，，根据平行线的性质得，解得；当时，，根据平行线的性质得，解得； （2）①连接，如图3，在中，由三角形内角和定理得，则，再在中，利用三角形内角和定理得到，所以； ②根据与的关系列方程组，然后解方程组即可；再根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，即，解得； ③由，可解得，由于，即，则，所以，解得，利用直角三角板的边、分别交、的延长线于点、得到，于是得到． 【详解】解：（1）， 当时，， 而， ，解得； 当时，， 此时， ，解得； 故答案为，； （2）①与度数的和不变． 连接，如图3， 在中，， ， 在中，， 即， ； ②根据题意得，解得； ， 即， ； ③，， ， ， ， 即， ， ，解得， 的度数范围为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了解二元一次方程组．合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键，同时运用不等式的性质解决∠α的度数范围． 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（　） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（本题3分）下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（    ） A．36° B．42° C．45° D．48° 4．（本题3分）下列说法正确的是(   ) A．三角形的三条高至少有一条在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线其实就是角的平分线 D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部 5．（本题3分）已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（    ）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 6．（本题3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果为（　　） A．2a+2b B．2a+2b﹣2c C．2b﹣2c D．2a 8．（本题3分）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角α(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 (    ) A．7 2° B．108°或14 4° C．144° D．7 2°或144° 9．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ） A．25° B．30° C．40° D．50° 10．（本题3分）如图，在锐角中，，BD，BE分别是的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论： ①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）在中，，，则这个三角形是 三角形． 12．（本题3分）一个多边形的内角和是外角和2倍，则这个多边形是 ． 13．（本题3分）如图，直线，的顶点C，B分别在直线m，n上，且，若，则 ． 14．（本题3分）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 （填“合格”不合格”）． 15．（本题3分）如图，， ． 16．（本题3分）如图， ．    三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，是的角平分线，在上取点D，使．若，，求的度数． 18．（本题4分）如图，在中，，，分别是，上的点，连接，，，求的度数． 19．（本题6分）△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D．过B作BG⊥AP于G．若∠GBP=55°，求∠ACB的度数． 20．（本题6分）在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长． 21．（本题8分）如图，在中，点D在上，点E 在上，交于F. 已知交于G, 交于H，. （1）求的度数. （2）若，，求的度数. 22．（本题10分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 23．（本题10分）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)若，直接写出，的度数； (2)当变化时，的值是否变化?请说明理由． 24．（本题12分）（1）如图，中，点D、E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图，若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“F为延长线上一点，”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数； （4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？ 25．（本题12分）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中： （1）如图2，当________时，；当______时，； （2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时； ①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由； ②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数； ③若使得，求的度数范围． 试卷第2页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$