精品解析：湖南省衡阳市耒阳市第一中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

2024级高一年级入学考试数学试卷 命题人：陈娟 审题人：周小平 分值：70分 时间：60分钟 一、单选题（共6题，每题3分，共18分） 1. 耒阳一中开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 A 3，3 B. 3，2 C. 2，3 D. 2，2 3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，点、分别是、的中点，交于点G，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 或3 二、多选题（本题共2小题，每题4分，共8分） 7. 二次函数的图象为下图，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，或 8. 已知集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共4题，每题3分，共12分） 9 计算：________ 10. 若关于x分式方程无解，则m的值为________ 11. 已知二元一次方程组，则的值为________． 12. 我们规定：若,则．例如,则．已知，当时，x的值为________． 四、解答题 13. 分解因式： （1）； （2） 14. 如图，是的直径，过外一点P作的两条切线，切点分别为C，D，连接．求证：; 15. 如图，同一坐标系中，直线交x轴于点P，直线过点P． （1）求a值； （2）点M、N分别在直线上，且关于原点对称，求点M、N的坐标 16. 抛物线交x轴于两点，交y轴于点，点Q为线段上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最小值； （3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与面积分别为，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一年级入学考试数学试卷 命题人：陈娟 审题人：周小平 分值：70分 时间：60分钟 一、单选题（共6题，每题3分，共18分） 1. 耒阳一中开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习， 共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4种可能的结果， 所以小明恰好选中“烹饪”的概率为. 故选：C 2. 每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 A 3，3 B. 3，2 C. 2，3 D. 2，2 【答案】B 【解析】 【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案． 【详解】∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2； ∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3； 故B符合题意， 故选：B． 3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式根据题意列方程求解即可 【详解】设这个多边形的边数为， 因为多边形的内角和是它外角和的4倍， 所以，解得， 故选：D 4. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点所在象限求出的取值范围可得答案. 【详解】因为点在第二象限，所以， 解得， 则的取值范围在数轴上表示正确的为C选项. 故选：C. 5. 如图，平行四边形中，点、分别是、的中点，交于点G，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据三角形中位线，相似三角形及平行四边形性质得解. 【详解】解：连接，与相交于， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴， ∴，∴， ∴，即为的中点， ∴，又， ∴． 故选：B． 6. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而得到方程，求出的值，检验后得到答案. 【详解】由韦达定理得， 故，解得或， 当或时，均满足， 故的值是或3. 故选：D 二、多选题（本题共2小题，每题4分，共8分） 7. 二次函数的图象为下图，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对称轴判断A；根据时的函数值符号判断B；根据该函数图象与轴有两个交点判断C；由点的坐标为，根据对称性求出A的坐标判断D. 【详解】因为二次函数的图象的对称轴为，所以，得，故A正确； 由图可知，当时，，故B正确； 由图可知，该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确； 因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为， 所以点的坐标为，由图可知，当时，或，故D错误. 故选:ABC. 8. 已知集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得集合，集合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以集合可表示为，所以C正确， 根据元素与集合的关系，可得，，所以A正确，B不正确，D不正确. 故选：AC. 三、填空题（共4题，每题3分，共12分） 9. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】从左到右依次计算开方、零次幂、绝对值，求出算式值即可. 【详解】原式. 故答案为：. 10. 若关于x的分式方程无解，则m的值为________ 【答案】或1 【解析】 【分析】解分式方程，再由方程无解的条件求出值. 【详解】由且，去分母得，整理得， 当，即时，方程无解； 当，即时，解得， 而原方程无解，即，解得， 所以m的值为或1. 故答案为：或1 11. 已知二元一次方程组，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先解方程组得，再求即可. 【详解】因为，所以， 则， 故答案为：1. 12. 我们规定：若,则．例如,则．已知，当时，x的值为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】由定义的新运算，列方程解出即可. 【详解】，依题意有， 即，解得或. 故答案为：或2. 四、解答题 13. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由因式分解的相关知识求解即可； （2）用十字相乘法分解因式即可. 【小问1详解】 ； 小问2详解】 . 14. 如图，是的直径，过外一点P作的两条切线，切点分别为C，D，连接．求证：; 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】判断出是的垂直平分线，即可得出结论. 【详解】连接，则有， 是的两条切线，切点分别为C，D，则有， 且，易得，即， 所以直线是线段的垂直平分线，有. 15. 如图，在同一坐标系中，直线交x轴于点P，直线过点P． （1）求a的值； （2）点M、N分别在直线上，且关于原点对称，求点M、N的坐标 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，进而求出a的值. （2）由直线的方程设出点的坐标，再结合对称性及直线的方程，求解即得. 【小问1详解】 在中，令，得，即点， 由直线过点P，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，直线， 设直线上的点，则点关于原点对称点， 由点在直线上，得，解得， 所以点，. 16. 抛物线交x轴于两点，交y轴于点，点Q为线段上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最小值； （3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与面积分别为，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）由抛物线交x轴于两点，设，将代入，解出，即可求得抛物线的解析式； （2）作点关于直线的对称点，连接，可得，由，可得，即求得的最小值； （3）连接，过点作轴交于点，可求得直线的解析式为，由，则，则，设，则，则，则，即可求得点P坐标， S的最大值． 【小问1详解】 因为抛物线交x轴于两点， 设，将代入，得，解得， 所以， 所以抛物线的解析式为. 【小问2详解】 作点关于直线的对称点，连接， 因为， 则垂直平分，垂直平分， 所以四边形是正方形， 所以， 在中，， ， 因为， 所以， 即点Q位于直线与交点时，有最小值. 【小问3详解】 如图2，连接，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 因为，， 所以，解得， 所以直线的解析式为， 因为，所以， 因为记与面积分别为，设， 所以， 设，，则， 所以， 所以， 所以时，最大， 即时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：小问（2），作点关于直线的对称点，可得四边形是正方形，进而得到坐标，再利两点间线段最短；小问（3），连接，过点作轴交于点，由，得，得，设出点P坐标，则可以表示成的二次函数，然后求二次函数的最值和取最值时的值，问题得到解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$