精品解析：吉林省长春市第八十七中学小班2023-2024学年下学期八年级寒假学习效能验收数学试题（1-12班）

2023−2024年度下学期八年级寒假学习效能验收数学试题（1−12班） 时间：120分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， ， 即要使分式有意义，x应满足的条件是， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件． 2. 斑叶兰的种子小得简直像灰尘一样，1亿粒斑叶兰种子才50克重，因种子太小，只有放在显微镜下才能看清它的真面目，它的一粒种子重约0.0000005克，数据0.0000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.0000005=． 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 已知反比例函数y＝的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ） A. (3，－2) B. (－2，－3) C. (1，－6) D. (－6，1) 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点横坐标和纵坐标的积为k，把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断． 【详解】解: 解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6， ∴反比例解析式为y=， 则（-2，-3）在这个函数图象上， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4. 函数图象上有两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据得出函数值随的增大而减小，再根据，即可比较与的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 5. 为了解甲、乙、丙、丁四位选手射击水平，随机让四人各射击10次，计算四人10次射击命中环数平均数都是9.3环，方差（环2）如下表．则这四位选手成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.035 0.016 0.022 0.025 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差越小越稳定，比较后，选择即可． 【详解】∵乙的方差最小， ∴乙最稳定， 故选B． 【点睛】本题考查了方差的意义，正确理解方差越小越稳定是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，P是边上一点，且分别平分，若，则平行四边形的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，以及勾股定理．由题意可得，进而可推出；求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵分别平分， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（ ） A. 1.2 B. 1.25 C. 2.4 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可． 【详解】解：连接，如图： ，， ， ， 四边形是矩形， ， 要使最小，只要最小即可， 当时，最短， ，，， ， 的面积， ， 即， 故选：C． 【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 24 D. ﹣24 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b），先根据菱形面积公式求出CD的长，再利用勾股定理求出OD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标为（a，b）， ∵点A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=OC=5，， ∴CD=4， ∴， 在Rt△OCD中，， ∴a=3， ∴k=ab=-12， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算： =____． 【答案】 【解析】 【分析】有理数的-1次方等于它的倒数． 【详解】解：== 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的-1次方的计算，只要理解有理数的-1次方的意义，准确计算即可． 10. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】7 【解析】 【详解】∵=3 ∴ =(x+)2−2⋅x⋅ =32−2=7 故答案为7 11. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2． 故答案为y=-6x-2． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 12. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为分． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】只要证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明得出． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标（8，4），将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，M是y轴上的一点，且MF＝6，则M点的坐标是_____． 【答案】（0，），（0，﹣）． 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出OF的长，再根据勾股定理可求OM的长，进一步得到M点的坐标． 【详解】在Rt△ODF中，DF2+OD2＝OF2，即（8﹣OF）2+42＝OF2， 解得OF＝5， 在Rt△OMF中，OM＝＝, 故M点的坐标是（0，），（0，﹣）． 故答案为：（0，），（0，﹣）． 【点睛】考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣对称，折叠的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理求出OF的长． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 某毕业班班主任打算购买笔记本和书签作为毕业礼物送给学生已知书签的单价比笔记本的单价便宜元．且用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样．求笔记本和书签的单价． 【答案】笔记本的单价为12元，书签的单价为11元 【解析】 【分析】设书签的单价为元，则笔记本的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出书签的单价，再将其代入中，即可求出笔记本的单价． 【详解】解：设书签的单价为元，则笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：笔记本的单价为元，书签的单价为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 17. 图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上． （1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形； （2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【答案】 （1）如图： （2）如图： 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于点，由平行四边形的性质得到，，再证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 观察下面的变形规律，解答下列问题： ， （1）若为正整数，猜想_________ （2）根据上面的结论计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据变形规律，写出等式即可求解； （2）根据题意，将每一项拆解为差的形式，然后根据分式的加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为：； 【小问2详解】 ． 20. 为了解八年级学生的体质健康状况某校在八年级学生中随机抽取了名学生进行体质检测（满分分，最低分），并按照男生、女生把成绩整理如下： 平均数 中位数 众数 方差 男生 女生 根据上述信息，解答下列问题： （1）求抽取的女生人数； （2）根据统计图可知 ______ ， ______ ， ______ ． 【答案】（1）20人 （2）7.6，7.5，8 【解析】 【分析】（1）用减去男生人数即可； （2）分别根据平均数、中位数以及众数的定义解答即可； 【小问1详解】 解：人， 答：抽取的女生人数为人； 【小问2详解】 ， ， 成绩是8分的人数最多，． 故答案为：，，； 【点睛】此题考查条形统计图、扇形统计图的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，轴对称的点的坐标变化． （1）先将点坐标代入反比例函数中求出m，再将A点坐标代入反比例函数的解析式中求出n，从而确定A点的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先利用一次函数确定点的坐标，根据对称求出点的坐标，再利用割补法，将分为与两个部分，分别求得其面积后相加即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得 ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数交轴于点， ∴点坐标为， ∵点与点关于x轴对称， ∴点坐标为，， 将分为与两个部分， ∴， ， ， ∴． 22. 某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间r（分钟）之间的关系如图所示． （1）求进水管的进水速度； （2）当4<x≤12时，求y关于x的函数关系式； （3）关闭进水管后，再经过_______分钟能放空容器中的水． 【答案】（1）进水管的进水速是每分钟5升 （2） （3）再经过8分钟能放空容器中的水． 【解析】 【分析】（1）根据函数第一段利用4分钟时容器内水量除以时间即可求得进水速度； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先结合函数前两段求得每分钟的出水量，继而可求得放空容器中的水所需时间． 【小问1详解】 根据图象得：每分钟进水（升； 答：进水管的进水速是每分钟5升； 【小问2详解】 当时，设关于的函数关系式为， 图象过、， ， 解得， ； 【小问3详解】 由图象可得，每分钟的出水量为（升， 关闭进水管后，再经过分钟能放空容器中的水． 【点睛】本题考查一次函数的应用．熟练掌握一次函数的性质并能正确识图是解题关键． 23. 问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容． 例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）． ． 又， ≌． ． 【结论应用】 如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明； 【拓展提升】 如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点； （1）则四边形的形状为______ ； （2）若正方形的面积为．则四边形的面积为______ ． 【答案】 结论应用：四边形是平行四边形， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 同理， ， 四边形是平行四边形； 拓展提升：（1）矩形；（2） 【解析】 【分析】结论应用：根据平行四边形的性质证明，可得，同理，可得，所以四边形是平行四边形，进而可得结论； 拓展提升：（1）如图，连接，交于点，根据正方形的性质得到，，得到，根据平行四边形的性质得到，推出▱是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，，得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据正方形性质得到，求得，由勾股定理得到，根据，求得四边形的面积的面积． 【详解】解：结论应用略 拓展提升（1）矩形， 理由：如图，连接，交于点， 四边形是正方形， ，， 、分别是和的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； （2）正方形的面积为， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 四边形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形和平行四边形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握同高三角形面积的关系是解题的关键． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段的长为________（用含的代数式表示）． （2）当点恰好落在线段上时，求的值． （3）求与之间的函数关系式． （4）当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）2或 【解析】 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）先求出的长，然后证明和都是等腰直角三角形，利用勾股定理和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可； （4）分和两种情况讨论求解即可； 【小问1详解】 解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴ R， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时， 由（2）可知，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； 【小问4详解】 解：当，是直角三角形时，由（2）可知此时R在上，则； 当，是直角三角形时， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴由（2）可知， 解得， 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024年度下学期八年级寒假学习效能验收数学试题（1−12班） 时间：120分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 斑叶兰的种子小得简直像灰尘一样，1亿粒斑叶兰种子才50克重，因种子太小，只有放在显微镜下才能看清它的真面目，它的一粒种子重约0.0000005克，数据0.0000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数y＝的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ） A. (3，－2) B. (－2，－3) C. (1，－6) D. (－6，1) 4. 函数图象上有两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 为了解甲、乙、丙、丁四位选手射击水平，随机让四人各射击10次，计算四人10次射击命中环数平均数都是9.3环，方差（环2）如下表．则这四位选手成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.035 0.016 0.022 0.025 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在平行四边形中，P是边上一点，且分别平分，若，则平行四边形的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. D. 7. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（ ） A. 1.2 B. 1.25 C. 2.4 D. 2.5 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 24 D. ﹣24 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算： =____． 10. 已知，则代数式的值为_________． 11. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____． 12. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标（8，4），将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，M是y轴上的一点，且MF＝6，则M点的坐标是_____． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某毕业班班主任打算购买笔记本和书签作为毕业礼物送给学生已知书签的单价比笔记本的单价便宜元．且用元购买的书签的数量与用元购买的笔记本的数量一样．求笔记本和书签的单价． 17. 图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上． （1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形； （2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 观察下面的变形规律，解答下列问题： ， （1）若为正整数，猜想_________ （2）根据上面的结论计算：． 20. 为了解八年级学生的体质健康状况某校在八年级学生中随机抽取了名学生进行体质检测（满分分，最低分），并按照男生、女生把成绩整理如下： 平均数 中位数 众数 方差 男生 女生 根据上述信息，解答下列问题： （1）求抽取的女生人数； （2）根据统计图可知 ______ ， ______ ， ______ ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 22. 某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间r（分钟）之间的关系如图所示． （1）求进水管的进水速度； （2）当4<x≤12时，求y关于x的函数关系式； （3）关闭进水管后，再经过_______分钟能放空容器中的水． 23. 问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容． 例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）． ． 又， ≌． ． 【结论应用】 如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明； 【拓展提升】 如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点； （1）则四边形的形状为______ ； （2）若正方形的面积为．则四边形的面积为______ ． 24. 如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段的长为________（用含的代数式表示）． （2）当点恰好落在线段上时，求的值． （3）求与之间的函数关系式． （4）当为直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $