精品解析：山东省聊城市阳谷县第二实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

九年级数学开学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共48分．） 1. －的立方根是（ ） A. -2 B. 4 C. -4 D. ﹣8 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 4. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　) A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 5. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论： （1）（2）（3）（4）（5）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，若是的直径，是的弦，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 10. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( ) A. B. C. D. 12. 求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．） 13. 因式分解：________． 14. 已知，则x的取值范围是______． 15. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 16. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 17. 若关于x的分式方程无解，则______． 18. 如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为__________cm. 三、解答题（本大题共8小题，共78分．） 19. （1）先化简，再求代数式的值，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 20. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度． 21. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 22. 如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 24. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共48分．） 1. －的立方根是（ ） A. -2 B. 4 C. -4 D. ﹣8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的意义可得，然后根据立方根的意义可得到问题解答． 【详解】解：∵，且， ∴的立方根是-2， 故选A ． 【点睛】本题考查平方根和立方根的综合运用，熟练掌握平方根、立方根的意义和性质是解题关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可． 【详解】A、不是同类项，不能合并，故选项A计算错误； B、，故选项B计算正确； C、，故选项C计算错误； D、，故选项D计算错误． 故选B． 【点睛】本题考查合了并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方、以及完全平方公式，解题关键是熟记运算法则和公式． 3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 4. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　) A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 【答案】B 【解析】 【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k， ∵AB=1300米， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2， 即，解得k=100． ∴AE=1200米，BE=500米． 设EC=x米， ∵∠DBF=60°，∴DF=x米． 又∵∠DAC=30°，∴AC=CD． ∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250． ∴DF=x=600﹣750． ∴CD=DF+CF=600﹣250（米）． ∴山高CD为（600﹣250）米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用． 5. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论： （1）（2）（3）（4）（5）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与轴交点的各数对（1）进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，由抛物线的对称轴为直线，得到，于是可对（2）进行判断；利用可对（3）进行判断；根据自变量为1时函数值为正数可对（4）进行判断；根据自变量为时函数值为负数可对（5）进行判断． 【详解】解：抛物线与轴有2个交点， ，即，所以（1）正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以（2）错误； ，即，所以（3）错误； 时，， ，所以（4）正确； 时，， ，所以（5）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．当时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 6. 如图，若是的直径，是的弦，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直径所对圆周角为直角即得出，从而由直角三角形两个锐角互余求出，最后由同弧所对圆周角相等即得出． 【详解】解：是的直径， ． ， 又， ． 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形两个锐角互余．掌握直径所对圆周角为直角和同弧所对圆周角相等是解题关键． 7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴的周长为：（8+9）×2=34． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 又因为是一元二次方程， 所以． 所以，的取值范围是且， 故选． 9. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 10. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：x＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 11. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AD=1，DB=2， ∴AB=AD+BD=1+2=3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=AD：AB=1：3． 故选B． 12. 求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值． 【详解】解：设S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020① 则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021② 由②－①得： 2019S＝20202021－1 ∴． 故答案为：C． 【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算． 二、填空题（本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 14. 已知，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得到，再利用绝对值的性质列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】根据二次根式的性质可得：, 由题意得 根据绝对值的性质：当时，， 可得： 移项得 ． 15. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 16. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 17. 若关于x的分式方程无解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解求参数，去分母得，由原方程无解得，即可求解；理解分式方程无解（增根）满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零．”是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， ， 原方程无解， ， ∴ 解得：， 故答案：． 18. 如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为__________cm. 【答案】 【解析】 【分析】由折叠可得∠D=∠AFE=90°，结合已知条件不难证明△ABF∽△FCE，由三角形相似的性质可以得出EC与CF的比值，根据比值分别设出EC、CF的长度，进而表示出EF、DE的长度，列方程解出x，进而求出CE的长度. 【详解】∵矩形ABCD， ∴AB=CD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°， ∵S△ABF=AB·BF=×6BF=24， ∴BF=8， 由折叠可得∠AFE=∠D=90°，DE=EF， ∴∠AFB+∠EFC=90°， ∵∠AFB+∠BAF=90°， ∴∠EFC=∠BAF， ∵在△ABF与△FCE中， ， ∴△ABF∽△FCE， ∴=， ∴=， 设CE=4xcm，CF=3xcm，则EF=ED=5xcm， ∴6=5x+4x， ∴x=， ∴CE=cm. 故答案为. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用. 三、解答题（本大题共8小题，共78分．） 19. （1）先化简，再求代数式的值，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1），； （2）， 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求特殊角三角函数值： （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着计算出x的值，最后代值计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴原式； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 20. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度． 【答案】 【解析】 【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函数求解即可． 【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点， 则有：，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． （1）求，两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 （2）种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【解析】 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； 【小问2详解】 解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 22. 如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）连接， 是的直径， ，即， ， 连接， ∵点C为劣弧的中点， ， ∵， ∵OC是的半径， ∴CE是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论； （2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）连接 ，， ∵点C为劣弧的中点， ， ， ， ， ∴S扇形FOC=， 即阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）9； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得 ∴点C的坐标为 ∴， ∴ ． 【小问3详解】 由图象可得，不等式的解集是或． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键． 24. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣10x+1000 （2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元 【解析】 【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 将（40，600），（80，200）代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000； 【小问2详解】 由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000， 配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵a＝﹣10＜0， ∴当x＝70时，W有最大值为9000， 答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $